天津市河东区2024-2025学年高一上学期期中质量检测数学试卷（解析版）

这是一份天津市河东区2024-2025学年高一上学期期中质量检测数学试卷（解析版），共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本大题共8个小题，每小题4分，满分32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确结论的代号填在下表内.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由集合，，
则，
故选：B.
2. 若，则的否定为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】命题是存在量词命题，其否定是全称量词命题，
所以命题的否定为.
故选：.
3. 下列关系中，正确的有（ ）．
①；②；③；④．
A .1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】对于①：因为为实数集，所以，正确；
对于②④：因为为有理数集，所以，，②正确，④错误；
对于③：因为为自然数集，，正确；
所以正确的有3个.
故选：C.
4. 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由，所以选项A不正确；
由，所以选项B不正确；
由，所以选项C正确；
当时，显然不成立，所以选项D不正确，
故选：C
5. 函数的部分图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为的定义域为，又，所以是偶函数，因为，排除BC选项.
当时，，所以，
令，所以，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
即在上单调递增，在上单调递减，
又，，，
所以存在，，使得，，
所以当时，，当时，，
当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，故A符合.
故选：A.
6. 已知函数的定义域为.则“”是“为奇函数”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 既不充分也不必要条件D. 充要条件
【答案】B
【解析】因函数的定义域是，若为奇函数，则，
令，可得，故“”“为奇函数”，
但，函数不一定是奇函数，比如，
故“”“为奇函数”，
因此“”是“为奇函数”的必要不充分条件.
故选：B.
7. 已知不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）
A. B. {或}
C. D. 或x>1
【答案】A
【解析】因为不等式的解集为，
的两根为，2，且，即，，
解得，，则不等式可化为，解得，则不等式的解集为．
故选：A.
8. 已知是定义在R上的奇函数，对，都有.若，则满足的的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，是定义在R上的奇函数，所以，
因为，都有，
所以是R上的减函数，
因为，
所以，解得，故的取值范围是，
故选：A
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，满分24分.请将答案填在题中横线上.
9. 函数的定义域为________．
【答案】
【解析】由题要使得有意义，则，
故且，
从而的定义域为，
故答案为：.
10. 已知正实数满足，则最小值为______．
【答案】9
【解析】正数，满足：，
，
当且仅当，即，时 “”成立，
故答案为：.
11. 已知幂函数，则________.
【答案】
【解析】由为幂函数，则，解得，则，
故答案为：.
12. 已知函数，则________.
【答案】
【解析】由，则，
故答案为：.
13. 调查显示，垃圾分类投放可以带来约元/千克的经济效益.为激励居民垃圾分类，某市准备给每个家庭发放一张积分卡，每分类投放积分分，若一个家庭一个月内垃圾分类投放总量不低于，则额外奖励分（为正整数）.月底积分会按照元/分进行自动兑换.
当时，若某家庭某月产生生活垃圾，该家庭该月积分卡能兑换_____元；
为了保证每个家庭每月积分卡兑换的金额均不超过当月垃圾分类投放带来的收益的%，则的最大值为___________.
【答案】 ；
【解析】若某家庭某月产生生活垃圾，则该家庭月底的积分为分，
故该家庭该月积分卡能兑换元；
设每个家庭每月产生的垃圾为，每个家庭月底月积分卡能兑换的金额为元.
若时，恒成立；
若时，，可得.
故的最大值为.
故答案为：；.
14. 关于的不等式在上恒成立,则实数的取值范围是_________．
【答案】
【解析】若,得,符合题意；若,由题知,解得；
综上实数的取值范围是
故答案为：
三、解答题：本大题共5小题，满分44分.解答应写出文字说明，演算步骤或推理过程.
15. （1）计算；
（2）已知，求的最大值.
解：（1）
.
（2）由，则，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以当时，的最大值为.
16. 设全集，集合，集合，其中．
（1）当时，求，；
（2）若，求的取值范围．
解：（1）由，即，解得或，
所以，则，
由，即，解得，
所以，
当时，，
所以，.
（2）因为且，
所以或，
解得或，
即的取值范围为.
17. 已知都是正实数，
（1）试比较与的大小，并证明；
（2）当时，求证：．
（1）结论：，当且仅当时，等号成立.
证明：
，
因为都是正数，所以，当且仅当时，等号成立，
即，当且仅当时，等号成立；
（2）解：因为都是正数，且，
所以
，
当且仅当时，等号成立．
18. 已知函数是定义在上的函数．
（1）判断并证明函数的奇偶性；
（2）判断函数的单调性，并用定义法证明；
（1）函数为奇函数
证明如下：函数的定义域为，
.
所以函数为奇函数.
（2）在上为单调递增函数
证明如下：设－1＜x1＜x2＜1，
则.
因为，
所以，
则.
故在上为单调递增函数.
19. 已知函数，．
（1）当时求的解集；
（2）当时．若存在使得对任意的，都存在使得成立，求实数的取值范围．
解：（1）
，解集为
（2）令，，则，，，记，记值域为集合．
则由题意得，，对称轴，开口向上
当即时在单增，
∴
当即时在单减，单增，
∴
当即时在单减单增，
当即时在单减，
∴
综上：