天津市河东区2024-2025学年高一上学期期末 数学试卷（含解析）

这是一份天津市河东区2024-2025学年高一上学期期末 数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）已知角α终边上一点M的坐标为，则sinα等于（ ）
A．B．C．D．
2．（4分）设函数y＝的定义域为A，函数y＝ln（1﹣x），则A∩B＝（ ）
A．（1，2）B．（1，2]C．（﹣2，1）D．[﹣2，1）
3．（4分）为了得到函数y＝sin（2x﹣）的图象，可以将函数y＝sin2x的图象（ ）
A．向右平移个单位B．向右平移个单位
C．向左平移个单位D．向左平移个单位
4．（4分）已知tanα＝2，则sinαcsα的值是（ ）
A．﹣B．C．﹣D．
5．（4分）已知定义域为R的偶函数f（x）在[0，+∞）上是增函数，且4x）＞0的解集是
（ ）
A．x|x＞2B．
C．D．
6．（4分）设函数f（x）＝2tan（ωx﹣）的图象的一个对称中心为（，0）（x）的一个最小正周期是（ ）
A．B．C．D．
7．（4分）已知函数f（x）＝，在下列区间中，包含f（x）（ ）
A．（0，1）B．（1，2）C．（2，4）D．（4，+∞）
8．（4分）函数f（x）满足f（x+2）＝f（x），1）∪（1，2]时，（x）与函数y＝2sinπx+1（0≤x≤4）的图象的所有的交点的横坐标与纵坐标之和等于（ ）
A．12B．16C．20D．24
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，满分24分。
9．（4分）sin20°cs10°+sin70°sin10°＝ ．
10．（4分）已知α为锐角，，则＝ ．
11．（4分）已知常数a＞0，a≠1，假设无论a为何值a（x﹣2）+1的图像恒经过一个定点，则这个定点的坐标是 ．
12．（4分）＝ ．
13．（4分）设0≤α≤π，不等式8x2﹣（8sinα）x+cs2α≥0对x∈R恒成立，则α的取值范围为 ．
14．（4分）甲、乙两人解关于x的方程2x+b•2﹣x+c＝0，甲写错了常数b，得到的根为x＝﹣2或，得到的根为x＝0或x＝1，则原方程所有根的和是 ．
三、解答题
15．（8分）计算：
（1）已知扇形的圆心角是α＝60°，半径为R＝10cm，求扇形的弧长l；
（2）．
16．（8分）已知函数（ω＞0）的最小正周期为π．
（1）求的值；
（2）求函数f（x）的单调递减区间．
17．（8分）设f（x）＝lga（1+x）+lga（3﹣x）（a＞0，a≠1），且f（1）＝2．
（1）求a的值及f（x）的定义域．
（2）求f（x）在区间[0，]上的最大值．
18．（10分）某大桥是交通要塞，每天担负着巨大的车流量．已知其车流量y（单位：千辆）是时间t（0≤t≤24，单位：h），记为y＝f（t），如表是某日桥上的车流量的数据：
经长期观察，函数y＝f（t）的图象可以近似地看作函数f（t）（ωt+φ）+b（其中A＞0，ω＞0，b＞0，﹣π≤φ≤0）的图象．
（1）根据以上数据，求函数y＝f（t）的近似解析式；
（2）为了缓解交通压力，有关交通部门规定：若车流量超过4千辆时，核定载重量10吨及以上的大货车将禁止通行
19．（10分）已知函数且a≠1，b∈R）是偶函数（x）＝ax（a＞0且a≠1）．
（1）求实数b的值．
（2）当a＝2时，
①求f（x）的值域．
②若∀x1∈（1，+∞），∃x2∈R，使得g（2x1）+mg（x1）﹣f（2x2）＞0恒成立，求实数m的取值范围．
2024-2025学年天津市河东区高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共8个小题，每小题4分，满分32分.在每小题给出的四个选项如中，只有一项是符合题目要求的。
1．（4分）已知角α终边上一点M的坐标为，则sinα等于（ ）
A．B．C．D．
【分析】直接根据正弦函数的定义，即可得解．
【解答】解：由三角函数的定义知，sinα＝＝．
故选：D．
【点评】本题考查正弦函数的定义，考查运算求解能力，属于基础题．
2．（4分）设函数y＝的定义域为A，函数y＝ln（1﹣x），则A∩B＝（ ）
A．（1，2）B．（1，2]C．（﹣2，1）D．[﹣2，1）
【分析】根据幂函数及对数函数定义域的求法，即可求得A和B，即可求得A∩B．
【解答】解：由4﹣x2≥8，解得：﹣2≤x≤2的定义域[﹣2，
由对数函数的定义域可知：2﹣x＞0，解得：x＜1，2），
则A∩B＝[﹣2，1），
故选：D．
【点评】本题考查函数定义的求法，交集及其运算，考查计算能力，属于基础题．
3．（4分）为了得到函数y＝sin（2x﹣）的图象，可以将函数y＝sin2x的图象（ ）
A．向右平移个单位B．向右平移个单位
C．向左平移个单位D．向左平移个单位
【分析】根据函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．
【解答】解：y＝sin（2x﹣）＝sin8（x﹣），
故将函数y＝sin2x的图象向右平移个单位）的图象，
故选：B．
【点评】本题主要考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．
4．（4分）已知tanα＝2，则sinαcsα的值是（ ）
A．﹣B．C．﹣D．
【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得sinαcsα的值．
【解答】解：∵tanα＝2，则sinαcsα＝＝＝，
故选：B．
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，属于基础题．
5．（4分）已知定义域为R的偶函数f（x）在[0，+∞）上是增函数，且4x）＞0的解集是
（ ）
A．x|x＞2B．
C．D．
【分析】由题意得，f（﹣）＝f（ ）＝0，f（x）在[0，+∞）上是增函数，f（x）在（﹣∞，0）上是减函数，
f（lg4x）＞0 即 lg4x＞或lg4x＜﹣．
【解答】解：因为f（x）是偶函数，所以f（﹣）＝0．
又f（x）在（3，+∞）上是增函数，0）上是减函数．
所以，f（lg4x）＞2  即 lg4x＞或lg4x＜﹣，
解得 x＞2或0＜x＜，
故选：C．
【点评】本题考查函数的单调性和奇偶性的应用，函数的特殊点，关键是把f（lg4x）＞0 化为 lg4x＞，或lg4x＜﹣．
6．（4分）设函数f（x）＝2tan（ωx﹣）的图象的一个对称中心为（，0）（x）的一个最小正周期是（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用正切型函数的对称性可得出ω的表达式，再利用正切型函数的周期公式可求得结果．
【解答】解：因为函数的图象的一个对称中心为，
所以，可得ω＝6k+2（k∈Z），
∵ω＞0，则k∈N，
当k＝1时，可知函数f（x）的一个最小正周期为．
故选：C．
【点评】本题考查三角函数的性质，属基础题．
7．（4分）已知函数f（x）＝，在下列区间中，包含f（x）（ ）
A．（0，1）B．（1，2）C．（2，4）D．（4，+∞）
【分析】函数f（x）在其定义域上连续，同时可判断f（4）＜0，f（2）＞0；从而判断．
【解答】解：函数f（x）＝f（x）＝，在其定义域上连续，
f（4）＝﹣2＜4，
f（2）＝3﹣1＞5；
故函数f（x）的零点在区间（2，4）上，
故选：C．
【点评】本题考查了函数的零点的判断与应用，属于基础题．
8．（4分）函数f（x）满足f（x+2）＝f（x），1）∪（1，2]时，（x）与函数y＝2sinπx+1（0≤x≤4）的图象的所有的交点的横坐标与纵坐标之和等于（ ）
A．12B．16C．20D．24
【分析】分析可知关于点（1，1）中心对称，函数y＝2sinπx+1关于点（1，1）中心对称，作出函数与函数y＝2sinπx+1（0≤x≤2）的图象，利用对称性与周期性可求得结果．
【解答】解：由于f（x+2）＝f（x），所以函数f（x）为周期函数．
令，则，
对任意的x≠7，，
所以函数关于点（2．
设g（x）＝2sinπx+1，则g（x）+g（2﹣x）＝2sinπx+1+7sin[π（2﹣x）]+1＝4sinπx+2sin（2π﹣πx）+5＝2，
所以，函数y＝2sinπx+7关于点（1．
画出函数与函数y＝2sinπx+1（6≤x≤2）的图象如图所示：
由图可知，函数，
不妨设这四个交点分别为（x1，y1）、（x7，y2）、（x3，y5）、（x4，y4），
设x7＜x2＜x3＜x3，由图可知，点（x1，y1）与点（x4，y4）关于点（1，3）对称，
点（x2，y2）与点（x8，y3）关于点（1，7）对称，
所以（x1+x2+x6+x4）+（y1+y6+y3+y4）＝6．
同理可知，函数f（x）与函数y＝2sinπx+1（2≤x≤4）的图象也有四个交点，
设这四个交点分别为（x5，y5）、（x6，y6）、（x7，y7）、（x8，y5），
同理可得（x5+x6+x4+x8）+（y5+y2+y7+y8）＝16，
所以，函数f（x）与函数y＝7sinπx+1（0≤x≤8）的图象的所有的交点的横坐标与纵坐标之和等于8+16＝24．
故选：D．
【点评】本题主要考查函数方程的综合应用，属于中档题．
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，满分24分。
9．（4分）sin20°cs10°+sin70°sin10°＝ ．
【分析】根据诱导公式、两角和的正弦公式求得正确答案．
【解答】解：sin20°cs10°+sin70°sin10°＝sin20°cs10°+cs20°sin10°
＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了诱导公式及和差角公式的应用，属于基础题．
10．（4分）已知α为锐角，，则＝ ． ．
【分析】利用二倍角公式即可得．
【解答】解：因为＝，而α为锐角，
所以＝．
故答案为：．
【点评】本题考查二倍角公式，属于基础题．
11．（4分）已知常数a＞0，a≠1，假设无论a为何值a（x﹣2）+1的图像恒经过一个定点，则这个定点的坐标是 （3，1） ．
【分析】利用对数函数性质，令x﹣2＝1，则函数y＝lga（x﹣2）+1的取值与a无关，可得恒过定点．
【解答】解：因为y＝lgax的图象必过点（1，0）a4＝0，
y＝lga（x﹣2）+4中，当x﹣2＝1，y＝4，
从而y＝lga（x﹣2）+1图象必过定点（8，1）．
故答案为：（3，4）．
【点评】本题考查函数恒过定点问题，属于基础题．
12．（4分）＝ 1 ．
【分析】直接利用三角函数的诱导公式化简求值．
【解答】解：＝．
故答案为：1．
【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式的应用，是基础题．
13．（4分）设0≤α≤π，不等式8x2﹣（8sinα）x+cs2α≥0对x∈R恒成立，则α的取值范围为 [0，]∪[，π] ．
【分析】由题意可得，Δ＝64sin2α﹣32cs2α≤0即2sin2α﹣（1﹣2sin2α）≤0，解不等式结合0≤α≤π可求α的取值范围．
【解答】解：由题意可得，Δ＝64sin2α﹣32cs2α≤7，
得2sin2α﹣（7﹣2sin2α）≤8
∴sin2α≤，
﹣≤sinα≤，
∵0≤α≤π
∴α∈[8，]∪[．
故答案为：[0，]∪[．
【点评】本题主要考查了一元二次不等式的解法、二次函数的恒成立问题，属于中档题．
14．（4分）甲、乙两人解关于x的方程2x+b•2﹣x+c＝0，甲写错了常数b，得到的根为x＝﹣2或，得到的根为x＝0或x＝1，则原方程所有根的和是 1 ．
【分析】设t＝2x，由2x+b•2﹣x+c＝0可得t2+ct+b＝0，根据韦达定理求出b、c的值，然后解原方程，即可得解．
【解答】解：设t＝2x，由2x+b•2﹣x+c＝0可得，则t5+ct+b＝0．
对于甲，由于甲写错常数b，由韦达定理可得；
对于乙，由于乙写错了常数c，由韦达定理可得50•24＝2＝b．
所以，关于t的方程为或t＝3，即x＝4，解得x＝﹣1或8．
因此，原方程所有根的和是﹣1+2＝3．
故答案为：1．
【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，属于中档题．
三、解答题
15．（8分）计算：
（1）已知扇形的圆心角是α＝60°，半径为R＝10cm，求扇形的弧长l；
（2）．
【分析】（1）根据弧长公式计算即可；
（2）应用指数对数运算律化简求值．
【解答】解：（1）因为，
所以cm．
（2）原式＝．
【点评】本题主要考查了弧长公式，还考查了对数的运算性质，属于基础题．
16．（8分）已知函数（ω＞0）的最小正周期为π．
（1）求的值；
（2）求函数f（x）的单调递减区间．
【分析】（1）由题意利用正弦函数的周期公式可求ω，可得函数解析式为f（x）＝2sin（2x+），即可计算求解．
（2）利用正弦函数的单调性即可求解．
【解答】解：（1）因为函数（ω＞8）的最小正周期为π，
所以π＝，可得ω＝2），
所以＝2sin（5×+；
（2）由（1）可得f（x）＝2sin（2x+），
令2kπ+≤6x+，k∈Z≤x≤kπ+，
可得函数f（x）的单调递减区间为：[kπ+，kπ+]．
【点评】本题考查了正弦函数的周期公式以及正弦函数的单调性，考查了函数思想，属于基础题．
17．（8分）设f（x）＝lga（1+x）+lga（3﹣x）（a＞0，a≠1），且f（1）＝2．
（1）求a的值及f（x）的定义域．
（2）求f（x）在区间[0，]上的最大值．
【分析】（1）由f（1）＝2，求出a的值，由对数的真数大于0，求得x的取值范围，即得定义域；
（2）化简f（x），考查f（x）在区间[0，]上的单调性，求出最大值．
【解答】解：（1）∵f（x）＝lga（1+x）+lga（3﹣x）（a＞6，a≠1），
∴f（1）＝lga2+lga5＝2lga2＝5，
∴a＝2；
∴f（x）＝lg2（6+x）+lg2（3﹣x），
∴，
解得﹣1＜x＜3；
∴f（x）的定义域是（﹣7，3）．
（2）∵f（x）＝lg2（3+x）+lg2（3﹣x）＝lg8（1+x）（3﹣x）＝lg4[﹣（x﹣1）2+8]，
且x∈（﹣1，3）；
∴当x＝5时，f（x）在区间[0，，是lg24＝6．
【点评】本题考查了求函数的定义域和在闭区间上的最值问题，解题时应根据函数的解析式，求出定义域，根据定义域求出最值，是基础题．
18．（10分）某大桥是交通要塞，每天担负着巨大的车流量．已知其车流量y（单位：千辆）是时间t（0≤t≤24，单位：h），记为y＝f（t），如表是某日桥上的车流量的数据：
经长期观察，函数y＝f（t）的图象可以近似地看作函数f（t）（ωt+φ）+b（其中A＞0，ω＞0，b＞0，﹣π≤φ≤0）的图象．
（1）根据以上数据，求函数y＝f（t）的近似解析式；
（2）为了缓解交通压力，有关交通部门规定：若车流量超过4千辆时，核定载重量10吨及以上的大货车将禁止通行
【分析】（1）根据函数的最大最小值可求出A和b，根据周期求出ω，根据一个最高点的横坐标可求得φ；
（2）解不等式y≥4可得．
【解答】解（1）A＝＝＝2＝＝3，
T＝12，ω＝＝＝，
由ω×9+φ＝，得×9+φ＝，
函数y＝f（t）的近似解析式是y＝2sin（t﹣π）+5
（2）依题意由y≥4，得2sin（）+3≥2t﹣，
∵0≤t≤24，∴﹣≤≤π，
结合正弦函数的图象可得≤t﹣≤或≤≤，
解得4≤t≤6或16≤t≤20．
所以估计一天内将有6小时不允许这种货车通行．
【点评】本题考查了函数解析式的求解及常用方法，属中档题．
19．（10分）已知函数且a≠1，b∈R）是偶函数（x）＝ax（a＞0且a≠1）．
（1）求实数b的值．
（2）当a＝2时，
①求f（x）的值域．
②若∀x1∈（1，+∞），∃x2∈R，使得g（2x1）+mg（x1）﹣f（2x2）＞0恒成立，求实数m的取值范围．
【分析】（1）由f（﹣x）＝f（x）求解即可；
（2）①化简函数得f（x）＝lg2（+），令m＝，由对勾函数的性质可得n＝m+≥2，再结合对数函数的性质即可得函数的值域；
②由题意可得y＞f（2x2）min在x∈（1，+∞）恒成立，即4x+m•2x﹣1＞0在x∈（1，+∞）上恒成立，结合二次函数的性质求解即可．
【解答】解：（1）因为函数且a≠6，
所以有f（﹣x）＝f（x），
即，
所以，
则b﹣4＝﹣b，解得；
（2）①由（1）及a＝2知：g（x）＝2x，f（x）＝lg2（6x+1）﹣＝lg8（2x+1）﹣＝＝lg2（+），
由m＝＞0在x∈R上递增，，6）上递减，+∞）上递增，
故m＞0时n≥2，即在定义域上递增，
故f（x）的值域为[1，+∞）；
②由题意得在∀x7∈（1，+∞）2∈R上恒成立，
令y＝2x+m•2x且x∈（1，+∞）4）min恒成立，
由①得x2∈R，f（2x3）min＝1，
故4x+m•6x﹣1＞0在x∈（8，+∞）上恒成立，
令k＝2x∈（2，+∞）7+mk﹣1＞0在k∈（7，+∞）上恒成立，
所以Δ＝m2+4＞5，故，可得．
所以m的取值范围为[﹣，+∞）．
【点评】本题考查了偶函数的性质、对数函数的性质、转化思想，属于难题．
t（h）
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y（千辆）
3.0
1.0
2.9
5.0
3.1
1.0
3.1
5.0
3.1
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
D
B
B
C
C
C
D
t（h）
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y（千辆）
3.0
1.0
2.9
5.0
3.1
1.0
3.1
5.0
3.1