天津市河东区2024-2025学年高一下4月期中质量检测数学试卷（解析版）

这是一份天津市河东区2024-2025学年高一下4月期中质量检测数学试卷（解析版），共99页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本大题共8个小题，每小题4分，满分32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1. 在五边形中（如图），（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】.
故选：B
2. 平行四边形中，点是的中点，点是的一个三等分点 （靠近），则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由题意：是的中点，点是的一个三等分点，
∴.
故选：D.
3. 已知复数，则（ ）
A. B. 的实部为
C. 的虚部为D. 的共轭复数为
【答案】C
【解析】由复数的运算法则可得：，
则，选项A错误；
的实部为，选项B错误；
的虚部为，选项C正确；
的共轭复数为，选项D错误.
本题选择C选项.
4. 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为3、圆心角为的扇形，则该圆锥的高是（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】C
【解析】设此圆的底面半径为，高为，母线为，
∵圆锥的侧面展开图是一个半径为，圆心角为的扇形，∴，
又，解得，
因此，此圆锥的高．
故选：C．
5. 用斜二测画法画水平放置的的直观图，得到如图所示的等腰直角.已知是斜边的中点，且，则的边上的高为（ ）
A. 1B. 2C. D. 2
【答案】D
【解析】因为直观图是等腰直角，，，所以，根据直观图中平行于轴的长度变为原来的一半，所以的边上的高.
故选：D.
6. 对于下列四个命题：
①任何复数的绝对值都是非负数；
②如果复数，，，，那么这些复数的对应点共圆；
③的最大值是，最小值为0；
④轴是复平面的实轴，轴是虚轴.
其中正确的有（ ）
A. 0个B. 1个
C. 2个D. 3个
【答案】D
【解析】①正确.因为若，则，若，；
②正确.因为，，，，这些复数的对应点均在以原点为圆心，为半径的圆上.
③错.因为为定值，最大、最小值相等都是1.
④正确.由复平面的定义，是成立的.
故选：D
7. 在中，三个内角所对边分别为，若且则的面积等于（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】A
【解析】因为，由正弦定理可得，即，解得或（舍）.
由余弦定理可得，
解得，故，
因为，则角为锐角，所以，，
因此，.
故选：A.
8. 设两个向量和，其中为实数，若，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由，得所以
又，
所以.所以.
将代入上式，得，解得，
所以．
故选：A
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，满分24分.
9. 已知，则____________．
【答案】
【解析】.
故答案为：.
10. 已知向量，若，则实数__________．
【答案】
【解析】由题意，又，∴，解得．
故答案为：．
11. 已知直三棱柱的6个顶点都在球的球面上，若，，，，则球的表面积为______.
【答案】
【解析】由题意，直三棱柱的底面为直角三角形，
可把直三棱柱的补成一个长方体，
则直三棱柱的外接球和长方体的外接球是同一个球，
又由长方体的对角线长等于球的直径，且，
即，即，
所以球的表面积为．
故答案为
12. 已知向量若在方向上的投影向量为，则______________.
【答案】3
【解析】在方向上的投影向量为，故，解得，
故答案为：
13. 在直角梯形中，点为腰的中点，则．
【答案】
【解析】以点为原点，所在的直线为轴，建立直角坐标系，
则,因为，，
所以为腰的中点，
则点到的距离等于，
到的距离为，
所以，所以.
故答案为：2
14. 在中，内角所对的边分别为，且；则的取值范围为 ___________.
【答案】
【解析】由，所以，
由正弦定理，得，
有，又，故；
，
因为，所以，则，
所以，即.
故答案为：
三、解答题：本大题共5小题，满分44分.解答应写出文字说明，演算步骤或推理过程.
15. 已知复数 求满足下列条件的实数的值或取值范围.
（1）复数与复数 相等；
（2）复数在复平面内对应的点在轴上方.
解：（1）由题意可得，
，；
（2），
其在复平面对应的点为，
该点在轴上方，则
或.
16. （1）已知单位向量与夹角为60°，且，求的值.
（2）已知，求与夹角的余弦值.
解：（1）∵单位向量与夹角为60°，
∴.
∴.
（2），，即，
∴，
∴.
故与夹角的余弦值为.
17. 如图所示，有一块扇形铁皮，要剪下来一个扇环，作圆台形容器的侧面，并且在余下的扇形内剪下一块与其相切的圆形使它恰好作圆台形容器的下底面(大底面)．试求：
（1）的长；
（2）容器的容积．
参考公式：圆台的体积公式：分别是上、下底面面积，为台体的高）
解：（1）如图1，设与圆相切与，
设圆台上、下底面圆的半径分别为、，
∵，∴
在中，，，∴
∴().
\
（2）∵，∴
圆台的轴截面为图2，圆台的高
∴
即容器的容积为 .
18. 如图，在梯形中，，，.
（1）若，求的长；
（2）若，求.
解：（1）在中，由正弦定理得，
则.
（2）因为，所以.
由余弦定理得，
则，
所以.
19. 在中，角的对边分别为，且．
（1）求角的大小；
（2）若为锐角三角形，其外接圆半径为，求周长的取值范围．
解：（1）中，由，
利用正弦定理
可得，
因为，所以，
又，所以或；
（2）若为锐角三角形，由（1）知，且外接圆的半径为，
由正弦定理得，可得，
由正弦定理得，所以；
因为，
所以，
又为锐角三角形，则，且，
又，则，所以；
所以；
所以，即周长的取值范围是．