江西省上饶市弋、铅、横联考2024-2025学年高一下学期5月月考 数学试题（含解析）

这是一份江西省上饶市弋、铅、横联考2024-2025学年高一下学期5月月考 数学试题（含解析），共15页。试卷主要包含了，若，则实数为，6 B，已知，，则，已知函数满足，且当时，，则等内容，欢迎下载使用。
1.，若，则实数为（ ）
A. B. C. D.
2.某个弹簧振子在完成一次全振动的过程中的位移（单位：）与时间（单位：）之间满足关系式，则该弹簧振子运动的最小正周期为（ ）
A.0.6 B.0.5 C.0.4 D.0.3
3.如图，这是一块扇形菜地，是弧的中点，是该扇形菜地的弧所在圆的圆心，D为和的交点，若米，则该扇形菜地的面积是（ ）
A.平方米 B.平方米 C.平方米 D.平方米
4.如图，在平面直角坐标系内，角的始边与轴非负半轴重合，终边与单位圆交于点.若线段绕点逆时针旋转得，则点的纵坐标为（ ）
A. B. C. D.
5.在中，内角的对边分别为，若，，且，则的面积（ ）
A. B. C. D.
6.已知，，则（ ）
A. B. C. D.
7.已知函数满足，且当时，，则（ ）
A. B.
C. D.
8.已知平面向量满足，，若，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分）
9.设，是两个非零向量，且，则下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C.，的夹角为钝角 D.若实数使得成立，则为负数
10.函数的部分图象可能为（ ）
A. B.
C. D.
11.将锐角三角形置于平面直角坐标系中，，为轴上方一点，设中的对边分别为且，则的外心纵坐标可能落在以下（ ）区间内.
A. B. C. D.
三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12.在正方形中，是的中点.若，则的值为__________.
13.在中，若，则__________.
14.已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，点D是AB的中点.若且，，则__________.
四､解答题（共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15.（本小题13分）
已知点在角的终边上.
（1）求的值；
（2）求的值.
16.（本小题15分）
将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，且当时取得最大值.
（1）求的解析式；
（2）若函数的图象与的图象关于轴对称，求函数在区间内的值域.
17.（本小题15分）
已知平面上的两个向量（），.
（1）求证：向量与垂直；
（2）当向量与的模相等时，求的大小.
18.（本小题17分）
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，且.
（1）若边，，的平分线交BC边于点D.求AD的长；
（2）若E为BC边上任意一点，，.
（i）用，表示；
（ii）求的最小值.
19.（本小题17分）
在中，对应的边分别为.
（1）求；
（2）奥古斯丁•路易斯･柯西，法国著名数学家.柯西在数学领域有非常高的造诣.很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式､柯西积分公式.其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用.
①用向量证明二维柯西不等式：；
②已知三维分式型柯西不等式：，当且仅当时等号成立.若是内一点，过作的垂线，垂足分别为，求的最小值.
弋横铅高一数学参考答案
一､单选题
1.【答案】B
【详解】因为，
由，可得，解得.
故选：B.
2.【答案】A
【详解】由已知可得该弹簧振子振动的最小正周期
故选：A.
3.【答案】A
【详解】如图，连接.因为是弧的中点，所以米.
因为，所以，所以，
所以是等边三角形，则.
因为米，所以米，米，
则该扇形菜地的面积是平方米.
故选：A.
4.【答案】D
【详解】因为角的终边与单位圆交于点，所以，
设点为角的终边与单位圆的交点，则，
所以，
所以点的纵坐标为.
故选：D
5.【答案】B
【详解】因为，由余弦定理有
，
由正弦定理有，
所以，
所以的面积.
故选：B.
6.【答案】B
【详解】已知，
所以，
所以
.
故选：B.
7.【答案】D
【详解】因为，
所以，
因为函数在上都单调递增，
所以函数在上单调递增，
又，
所以，
所以，
故选：D.
8.【答案】C
【详解】①由于，
故所以.
这就得到，故.
②另一方面，对，原条件全部满足，此时.
综合①②两方面，可知的最小值为2.
故选：C.
二､多选题
9.【答案】AD
【详解】由可知不会同向共线，因此：
对于A，当不共线时，根据向量的减法法则可得，
当反向共线时，，即可得，即A正确，
对于B，由A中等号成立的条件，可得B错误；
对于C，当的夹角为锐角时，根据向量加法的平行四边形法则可得，即C错误；
对于D，若实数使得成立，则共线，
由于，则反向共线，所以为负数，即D正确.
故选：AD
10.【答案】ABC
【详解】对于选项A，由图可知，的最小值为0，则，
当时，的部分图象可以如选项A所示.
对于选项B，当时，的部分图象可以如选项B所示.
对于选项C，由，得，即，
当时，的部分图象可以如选项C所示.
对于选项D，由，得，即，则，此时，排除D.
故选：ABC
11.【答案】BD
【详解】由题知，，由余弦定理得，
又，解得，同理：，
所以，
所以，
由二次函数性质可得，即，
又，所以，
因为A为锐角，所以，
即外接圆半径为，则，即，
由外心定义可知，的外心在轴上，
记的外心纵坐标为，则，
因为与和交集非空，与和交集为空间，
所以BD正确，AC错误.
故选：BD
三､填空题
12.【答案】
【详解】在正方形中，以点A为原点，直线分别为轴､轴建立平面直角坐标系，如图，
设正方形的边长为2，则，，
因为，即，
于是得，解得，
所以的值为.
故答案为：.
13.【答案】
【详解】
.
由余弦定理得.
由正弦定理得，从而.
所以.
故答案为：.
14.【答案】
【详解】根据题意，，由，即为，
由正弦定理得，
又因为，
所以，
因为，可得，所以
又因为为的一条中线，可得，
所以，
即，解得或（舍）.
由余弦定理得.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：发现，从而可变为，利用正弦定理可进行边化角.
四､解答题
15.【答案】（1）（2）
【详解】（1）因为点在角的终边上，
所以.
（2）因为，
，
所以.
16.【答案】（1）（2）.
【详解】（1）依题意，，由当时，取得最大值，得，则，解得，而，则，
所以的解析式是.
（2）由（1）得，则，
由，得，则，
因此，
所以函数在区间内的值域为.
17.【答案】（1）证明见解析
（2）.
【分析】（1）根据已知计算即可得证明.
（2）由，两边平方求解.
【详解】（1）证明：
因为，
所以与垂直.
（2）由，
两边平方，得，
整理，得，
而，所以，
即.
即，
，即.
又.
18.【答案】（1）
（2）（i）；（ii）
【详解】（1）由得，，即，
，由得，，
，
由余弦定理得，，即64，得，
为的平分线，，
，
.
（2）（i）由已知得，，即，
.
（ii）易知，
，
，即，
，当且仅当
时等号成立，
的最小值为.
19.【答案】（1）
（2）①证明见解析；②
【详解】（1）在中，，
由正弦定理得，，
因为，所以，
所以，
所以，即，
因为，
所以，
因为，所以，
故，又，所以；
（2）①设，由，得，
从而，即；
②.
又，
.
由三维分式型柯西不等式有.
当且仅当即时等号成立.
由余弦定理得，
所以，即，
则，
令，则.
因为，得，当且仅当时等号成立，
所以，则，
令，则在上递减，
当即时，有最大值，
此时有最小值（此时与可以同时取到）