江西省上饶市2024−2025学年高二下学期弋横铅联考 数学试卷（含解析）

这是一份江西省上饶市2024−2025学年高二下学期弋横铅联考 数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．设等差数列前项和为，若，则（ ）
A．12B．18C．24D．36
2．已知函数是定义在上的函数，且满足，其中为的导数，设，，，则、、的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
3．数列中，，且对任意都有，若，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知函数，若对任意两个不等的正数，，都有恒成立，则a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
5．设函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
6．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
7．若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．过点可以做三条直线与曲线相切，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．设正项等比数列的公比为，前项和为，前项的积为，并且满足，，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．的最大值为D．没有最大值
10．朱世杰（1249年-1314年），字汉卿，号松庭，元代数学家，教育家，毕生从事数学教育，有“中世纪世界最伟大的数学家”之誉.他的一部名著《算学启蒙》是中国最早的科普著作，该书中有名的是“堆垛问题”，其中有一道问题如下：今有三角锥垛果子，每面底子四十四个，问共积几何？含义如下：把一样大小的果子堆垛成正三棱锥形（如图所示，给出了5层三角锥垛从上往下看的示意图），底面每边44个果子，顶部仅一个果子，从顶层向下数，每层的果子数分别为，共有44层，问全垛共有多少个果子？现有一个层三角锥垛，设从顶层向下数，每层的果子数组成数列，其前项和为，则下列结论正确的是（ ）（参考公式：）
A．是等差数列
B．
C．函数单调递增
D．原书中该“堆垛问题”的结果为15180
11．如图，由函数与的部分图象可得一条封闭曲线，则（ ）

A．有对称轴
B．的弦长的最大值为
C．对内任意一点，均存在过且平分围成区域的面积的直线
D．的面积大于
三、填空题
12．在等比数列中，，，则 ．
13．若函数在处取得极小值，则实数的取值范围是 .
14．若无穷数列满足：只要，必有，则称数列为“阶对等递进数列”.若数列是“1阶对等递进数列”，且，则 ，设，数列的前项和为，则 .
四、解答题
15．已知数列的各项均为正数，前项和为，且，是与的等差中项.
（1）证明：数列是等差数列；
（2）设，求数列的前项和.
16．已知函数
（1）讨论的单调性；
（2）若恒成立，求实数的取值范围.
17．2024年巴黎奥运会上，网球女单决赛中，中国选手郑钦文击败克罗地亚选手维基奇获得中国在该项目上首枚金牌！展现了祖国至上，为国争光的赤子情怀．已知网球比赛为三局两胜制，在郑钦文与维基奇的单局比赛中，郑钦文获胜的概率为，且每局比赛相互独立．
（1）在此次决赛之前，两人交手记录为2021年库马约尔站：郑钦文0比2不敌维基奇；2023年珠海WTA超级精英赛：郑钦文以2比1战胜维基奇．若用这两次交手共计5局比赛记录来估计．
（ⅰ）为多少？
（ⅱ）请利用上述数据，若郑钦文再次遇到维基奇，求比赛局数的分布列．
（2）如果比赛可以为五局三胜制，若使郑钦文在五局三胜制中获胜的概率大于三局两胜制中获胜的概率，求的取值范围？
18．已知函数.
（1）当时，求的解集；
（2）若有极值，求实数的取值范围；
（3）设，若，求的最大值.
19．泰勒公式是一个非常重要的数学定理，它可以将一个函数在某一点处展开成无限项的多项式．当在处的阶导数都存在时，它的公式表达式如下：．注：表示函数在原点处的一阶导数，表示在原点处的二阶导数，以此类推，和表示在原点处的阶导数．
(1)求的泰勒公式（写到含的项为止即可），并估算的值（精确到小数点后三位）；
(2)当时，比较与的大小，并证明；
(3)设，证明：．
参考答案
1．【答案】C
【详解】由题意可知， 则，
则.
故选C.
2．【答案】D
【详解】令，则，
因为，而恒成立，所以，
所以在上单调递增，
又，所以，
因为，，，
所以，即.
故选D.
3．【答案】D
【详解】由任意都有，所以令，则，且，所以是一个等比数列，且公比为，则
所以，
故选D.
4．【答案】A
【详解】对任意都有恒成立，不妨设，
则不等式变形为，
设函数，该函数在定义域的任意子区间内不是常函数，
则，在上单调递增，
所以在上恒成立，
，当时恒成立，
，当时恒成立，
，
故选A
5．【答案】B
【详解】的定义域为，
且，
所以为偶函数，，
当时，，所以，单调递增；
当时，，所以，单调递减；
，即，
所以，即，解得，
所以不等式的解集为.
故选.
6．【答案】B
【详解】令，所以，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，所以，所以，
当且仅当时取等号，则当时，，
即，所以；
因为，故，当且仅当时等号成立，
故，故．
综上可知．
故选B．
7．【答案】B
【详解】解：令，则，∴．
不等式恒成立，
①当时，，恒成立；
②当时，令，
，在单调递增，
即等价于，
在恒成立．
即，在恒成立.
令，则，可得，
∴在递增，在递减，
∴，∴，
∴的取值范围为．
故选B．
8．【答案】A
【详解】设切点为，，，
点处的切线斜率，
则过点的切线方程为，
又切线过点，所以，化简得，
过点可以作三条直线与曲线相切，
方程有三个不等实根．
令，求导得到，
令，解得，，
则当时，，在上单调递减，且时，，
当时，，在上单调递增，且，，
当时，，在上单调递减，且时，，
如图所示，

故，即．
故选A．
9．【答案】ABD
【详解】因为，所以或，即或
若，又，，又,，所以，符合题意，
若，又，则，又，则，与矛盾，不符合题意，
所以没有最大值，所以A、D正确，
因为前项均小于1，从项起均大于1，所以无最大值，故C错误；
又由，所以B正确．
故选ABD．
10．【答案】ACD
【详解】依题意，每层的果子数分别为，
则数列的通项，
对于A，时，，为等差数列，A正确；
对于B，，B错误；
对于C，
，则，单调递增，C正确；
对于D，，D正确.
故选ACD
11．【答案】ACD
【详解】A项，由题意，由，
的反函数为，两者关于对称，
故A正确，
B项，，
令，
当时，；当时，；
在上单调递减；上单调递增，
注意到，
在内有一个零点，
另一个零点为，
，故B错误.
C项，设的中点为

设上存在一点，
则关于点的对称点为
∵函数与互为反函数，
∴在上，
∴关于中点对称，
即在封闭图形中，总存在与任意一点关于中点对称的点，
使得直线平分封闭图形，
∴对内任意一点，均存在过且平分围成区域的面积的直线，C正确；
对于D，如图，只需考察曲线上到距离的最大值即可，
找出过与曲线相切且与平行的点即可，
令，令，此时，
到的距离，
，故D正确.
故选ACD.
12．【答案】
【详解】在等比数列中，，则，
设，
设等比数列的公比为，则，
所以，，同号，又，
所以．
13．【答案】
【详解】，则，
令，
.
①当时，恒成立，即在上单调递增，
所以当时，则，当时，则，
故函数在上单调递增，在上单调递减，
故在处取得极小值，符合题意；
②当时，恒成立，即在上单调递减，
当时，则，若时，则，
故函数在上单调递减，在上单调递增，
故在处取得极大值，不符合题意；
③当时，使得，即，
但当时，即，在上单调递减，
故，即在单调递减，不符合题意.
综上所述：的取值范围是.
14．【答案】
【详解】①由题干可知，又因为数列是“阶对等递进数列”，
所以，即，同理可得
所以数列是以为周期的周期数列，即，所以；
②因为，所以，
又，所以数列也是以为周期的周期数列，
所以.
15．【答案】（1）证明见解析
（2）
【详解】（1）因为是与的等差中项，所以，
所以，
因为数列的各项均为正数，所以，
所以，所以，
所以数列是公差为1，首项为的等差数列；
（2）因为数列是公差为1，首项为的等差数列，
所以，
所以，当时，，
当时，，
所以,
所以，
16．【答案】（1）答案见解析
（2）
【详解】（1）由题意可知：的定义域为，且，
当时，，可知在上单调递减；
当时，由得；由得；
可知在上单调递减，在上单调递增；
综上所述：当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）解法一：（分离参数法）由已知得在上恒成立，
等价于在上恒成立，
构建，
则
构建，可知在上单调递减，且，
当时，，即；
当时，，即；
可知在上单调递增，在上单调递减，则，
可得，即实数的取值范围为；
解法二：（分类讨论法）由题意可知： 在上恒成立，
由（1）知，当时，在上单调递减；
且，不合题意；
当时，可知，
构建，可知在上单调递增，且，
若，则，可得，
故实数的取值范围为
17．【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ）分布列见解析
（2）
【详解】（1）（ⅰ）根据两次交手记录，郑钦文共胜2局，负3局，因此的估计值为．
（ⅱ）由题知，可取值为、，
，，
所以的分布列为
（2）三局两胜制郑钦文最终获胜概率，
五局三胜制中郑钦文最终获胜的概率
所以，化简得，
因为，，所以，即，所以，
所以使得五局三胜制获胜的概率大于三局两胜获胜的概率的取值范围是．
18．【答案】（1）
（2）
（3）2
【详解】（1）当时，因为，
所以，
所以在上单调递增，又，
所以当时，；当时，，
故的解集为.
（2）因为有极值，
所以在上有变号零点，
即在上有变号零点，
因为的对称轴为，所以只需，
所以.
（3）由，得，
设，
则，
令，得（舍去），或，
当时，单调递减；当时，单调递增，
所以，
因为，所以，即，
令，
因为与在上都单调递减，
所以在上单调递减，
又，
所以在存在唯一的零点，
当时，，
所以由可得，
又，所以的最大值为2.
19．【答案】(1)，；
(2)，证明见详解；
(3)证明见解析.
【分析】（1）求出，根据泰勒公式可得；
（2）构造函数，利用导数判断单调性，结合可证；
（3）利用（2）中结论令，结合裂项相消法可证，构造函数证明，令，利用裂项相消法可证.
【详解】（1）因为，
所以
所以的泰勒公式为：，
所以
（2）记，
因为，所以在0,+∞上单调递增，
又，所以时有，
所以.
（3）由（2）知，，即，
所以，
即.
令，则，
所以hx在0,+∞上单调递减，所以，故，
所以，
则，即.
综上，时，.
【思路导引】第三问关键在于构造差函数证明，结合（2）中结论令，使用裂项相消法即可得证.2
3
0.52
0.48