2024-2025学年江西省上饶市高一（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年江西省上饶市高一（下）期末数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知角α的终边上一点P(5,−12)，则sinα=( )
A. 513B. −1213C. −512D. −125
2.若z=−2−3i，则复数z在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3.已知向量a与b的夹角为π6，|a|= 3，|b|=2，则|a+b|=( )
A. 1B. 2− 3C. 2+ 3D. 13
4.设a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列四个命题中正确的是( )
A. 若a⊂α，b⊂β，a//b，则α//βB. 若a//α，b//β，α//β，则a//b
C. 若a⊄α，b⊂α，a//b，则a//αD. 若a//α，b⊂α，则a//b
5.已知sin(α−π3)=13，则cs(2α+π3)=( )
A. 79B. −79C. 29D. −29
6.已知平面上不共线的四点O，A，B，C，满足OA−4OB+3OC=0，则|BC||CA|等于( )
A. 14B. 32C. 34D. 43
7.如图，在山脚A处测得山顶P的仰角为45°，朝山顶沿坡度为15°的斜坡向上走3km到点B处，此时测得山顶P的仰角为75°，则山高为( )km．
A. 3 62
B. 2 3+13
C. 2 3
D. 3( 2+ 6)4
8.已知棱长为4的正方体ABCD−A1B1C1D1，点E是棱AB的中点，点F是棱CC1的中点，动点P在正方形AA1D1D(包括边界)内运动，且PB1//平面DEF，则PD的长度最小值为( )
A. 19B. 2 5C. 3 355D. 12 1717
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数z满足z(1−i3)=2，则( )
A. z−的虚部为iB. |z|= 2C. z2=2−2iD. z⋅z−=2
10.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|1，则△ABC为锐角三角形
D. 若C=π4，点O为△ABC的外心，满足csBsinACB+csAsinBCA=2mCO，则m的值为 22
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知扇形的弧长为6，半径为4，则扇形的面积为______．
13.如图，AB和CD是异面直线，AB=CD=6，E，F分别为线段AD，BC上的点，且AEED=BFFC=12，EF= 10，则AB与CD所成角的余弦值为______．
14.已知△ABC中，AB=4，AC=2，|λAB+(2−2λ)AC|(λ∈R)的最小值为2 3，若M为边AB上任意一点，N为边BC的中点，则NM⋅CM的最小值是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知a=(m−1,2)，b=(1,m)．
(1)若(a+b)⊥b，求m的值；
(2)若|a+b|=2且m0，y3>0，有：经x12y1+x22y2+x32y3≥(x1+x2+x3)2y1+y2+y3，当且仅当x1y1=x2y2=x3y3时等号成立.求T=|AB||PD|+4|BC||PE|+|AC||PF|的最小值．
答案解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于一般题，由题意利用任意角的三角函数的定义，求得sinα的值．
【解析】
解：∵角α的终边上一点P(5,−12)，则sinα=−12 52+(−12)2=−1213，
故选B．
2.【答案】C
【解析】解：由z=−2−3i，得复数z在复平面内对应的点为(−2,−3)，位于第三象限．
故选：C．
根据复数的意义可得出复数z在复平面内对应的点坐标．
本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
3.【答案】D
【解析】解：∵向量a与b的夹角为π6，|a|= 3，|b|=2，
∴a⋅b=|a||b|csπ6=3，
∴(a+b)2=a2+2a⋅b+b2=3+6+4=13，
∴|a+b|= 13．
故选：D．
先求a⋅b，再根据模长的平方关系结合数量积的运算律运算求解．
本题考查了平面向量的数量积运算问题，是基础题．
4.【答案】C
【解析】解：已知a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，
对于A，若a⊂α，b⊂β，a/​/b，
则α/​/β或α与β相交，
即A错误；
对于B，若a/​/α，b/​/β，α/​/β，
则a/​/b或a与b异面或a与b相交，
即B错误；
对于C，若a⊄α，b⊂α，a/​/b，
则a/​/α，
即C正确；
对于D，若a/​/α，b⊂α，
则a/​/b或a与b异面，
即D错误．
故选：C．
结合空间点、线、面的位置关系逐一判断即可．
本题考查了空间点、线、面的位置关系，属基础题．
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式及二倍角的余弦，是基础题．
由已知可得cs(π6+α)=−13，再由二倍角的余弦求解．
【解答】
解：∵sin(α−π3)=13，∴sin(π3−α)=−13，
则cs(π6+α)=−13，
∴cs(2α+π3)=2cs2(π6+α)−1
=2×19−1=−79．
故选：B．
6.【答案】A
【解析】解：由题意可知，OA−OB=3(OB−OC)，即BA=3CB，
所以AB=3BC，所以|BC|=13|AB|，
因为CA=CB+BA=13BA+BA=43BA，所以|CA|=43|AB|，
所以|BC||CA|=13|AB|43|AB|=14．
故选：A．
根据已知条件求得BA=3CB，进一步得到|BC|=13|AB|，根据向量的线性运算得CA=43BA，进一步得到|CA|=43|AB|，求比值运算即可求解．
本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】解：根据题意可知，AB=3，∠QAB=15°，
∴CQ=ABsin15°=3sin(45°−30°)=3× 6− 24，
∵∠PBC=75°，∠ABC=180°−15°=165°，∴∠ABP=120°，
又∠PAB=45°−15°=30°，∴∠BPA=30°，∴PB=AB=3，
在△PBC中，PC=PBsin75°=3sin(45°+30°)=3× 6+ 24，
∴山高PQ=PC+CQ=3 62．
故选：A．
先求得CQ=3× 6− 24，再结合角的关系求得PB=AB=3，最后在直角△PBC中求解即可．
本题考查了解三角形，属于中档题．
8.【答案】D
【解析】解：取BB1上靠近点B的四等分点G，连接EG、FG，
因为E是棱AB的中点，点F是棱CC1的中点，所以EG//DF，则EG⊂平面DEF，
取C1D1、A1A中点H、J，取DD1上靠近点D1的四等分点I，连接B1H、HI、IJ、JB1，
由正方体的性质易得HI//JB1，JB1//EG，则HI//EG，
又因为HI⊄平面DEF，EG⊂平面DEF，
所以HI//平面DEF，
同理IJ//平面DEF，
又因为IJ∩IH⊂I，IJ，IH⊂平面HIJB1，
故平面HIJB1//平面DEF，
又因为PB1//平面DEF，P∈平面AA1DD1，
所以P∈IJ，即点P的轨迹为线段IJ，
设点D到IJ的距离为d，
则S△DIJ=12×4×3=12 1+42×d，
解得d=12 1717，
所以PD的长度最小值为12 1717．
故选：D．
过点B1作出平面HIJB1//平面DEF，即可得到点P的轨迹为线段IJ，然后利用等面积法即可求最小值．
本题考查立体几何中的动点轨迹问题，属于难题．
9.【答案】BD
【解析】解：由z(1−i3)=2，得z=21−i3=21+i=2(1−i)(1+i)(1−i)=1−i，
对于A，z−=1+i，其虚部为1，故A错误；
对于B，|z|= 1+1= 2，故B正确；
对于C，z2=(1−i)2=−2i，故C错误；
对于D，z⋅z−=(1−i)(1+i)=2，故D正确．
故选：BD．
利用复数的除法运算法则化简z，再结合共轭复数、模的概念判断AB；根据复数的乘法法则判断CD．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的模及复数的基本概念，是基础题．
10.【答案】BC
【解析】解：由图可知A=2，π3−π12=T4⇒T=π，ω=2πT=2，故A错误；
根据f(x)=2sin(2x+φ)，图象经过点(π12,2)，
可得f(π12)=2sin(2×π12+φ)=2，所以π6+φ=π2+2kπ，k∈Z，
结合|φ|a，则B>A，故B有两角，故A正确；
对于B：因为bcsC+ccsB=b，
由余弦定理角化边可得：b×a2+b2−c22ab+c×a2+c2−b22ac=b，
整理可得a=b，所以△ABC为等腰三角形，故B正确；
对于C：A=90°，B=C=45°，sin2A+sin2B+cs2C=2，
但△ABC为直角三角形，不是锐角三角形，故C错误；
对于D：因O为△ABC的外接圆圆心，
则CB⋅CO=|CB||CO|cs∠OCB=a×(12a)=12a2，
CB⋅CO=|CB|CO|csα=12a2,CA⋅CO=12b2，
因为csBsinACB+csAsinBCA=2mCO，
可得csBsinACB⋅CO+csAsinBCA⋅CO=2mCO2，
则csBsinA⋅12a2+csAsinB⋅12b2=2m|CO|2，
即csBsinA⋅a24|CO|2+csAsinB⋅b24|CO|2=m，
由正弦定理可得a24|CO|2=a24R2=sin2A，b24|CO|2=b24R2=sin2B，
可得m=sinAcsB+sinBcsA=sin(A+B)=sinC= 22，故D正确；
故选：ABD．
对于A：利用正弦定理运算求解即可；对于B：利用余弦定理运算求解即可；对于C：举反例说明即可；对于D：利用数量积可得csBsinA⋅a24|CO|2+csAsinB⋅b24|CO|2=m，结合正弦定理运算求解即可．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理，向量数量积性质的应用，属于中档题．
12.【答案】12
【解析】解：因为扇形的弧长为6，半径为4，
所以扇形的面积S=12lr=12×6×4=12．
故答案为：12．
由扇形的面积公式S=12lr直接可求．
本题考查了扇形的面积公式的应用，属于基础题．
13.【答案】58
【解析】解：在平面ABD中，过E作EG/​/AB，交DB于点G，连接GF，如图，
因为AEED=12，所以BGGD=12，
又因为BFFC=12，所以BGGD=BFFC，
则GF/​/CD，
所以∠EGF(或其补角)即为AB与CD所成角，
在△EGF中，EG=23AB=4，GF=13CD=2，EF= 10，
由余弦定理可得，cs∠EGF=42+22−( 10)22×4×2=58，
所以AB与CD所成角的余弦值为58．
故答案为：58．
过E作EG/​/AB，交DB于点G，连接GF，利用比例性质得GF/​/CD，则∠EGF(或其补角)即为AB与CD所成角，利用余弦定理得cs∠EGF=58，即可得解．
本题主要考查了异面直线所成的角，属于基础题．
14.【答案】1516
【解析】解：延长AC，使得AD=2AC，
令AG=λAB+(2−2λ)AC=λAB+(1−λ)AD(λ∈R)，
所以B，G，D三点共线，
即当AG⊥BD时，|λAB+(2−2λ)AC|(λ∈R)有最小值为2 3，
在Rt△ABG中，由AG=2 3，AB=4，得∠B=60°，
又因为AB=AD=4，所以△ABD是等边三角形，所以BC⊥AD，
在Rt△ABC中，BC=2 3，
取NC中点为H，则MN+MC=2MH，MN−MC=2CH，
所以MN=MH+CH，MC=MH−CH，
所以NM⋅CM=MN⋅MC=|MH|2−|HC|2=|MH|2−|BC4|2=|MH|2−34，
故当|MH|最小，即MH⊥AB时，NM⋅CM有最小值，
在Rt△BMH中，BH=34BC=3 32，MH=12BH=3 34，
所以NM−⋅CM−min=(3 34)2−34=1516．
故答案为：1516．
延长AC，使得AD=2AC，设AG=λAB+(2−2λ)AC，可知B，G，D三点共线，则AG⊥BD时为AG最小值2 3，然后求得NM⋅CM=|MH|2−34即可确定最小值．
本题考查平面向量数量积的性质及运算，属中档题．
15.【答案】m=0或−3；
−7 55．
【解析】(1)a=(m−1,2)，b=(1,m)．
则a+b=(m,m+2)，
由于(a+b)⊥b，所以(a+b)⋅b=m2+3m=0，
所以m=0或−3．
(2)由(1)可知，a+b=(m,m+2)，
若|a+b|=2且m