江西省上饶市多校2024-2025学年高一下学期4月月考数学试卷（解析版）

这是一份江西省上饶市多校2024-2025学年高一下学期4月月考数学试卷（解析版），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8个小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 和相等的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】，
对于A，，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D正确.
故选：D.
2. 若是平面内的一个基底，则下列四组向量中可以作为平面向量基底的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为，所以不能作为平面向量的基底，A不正确；
因为不共线，所以能作为平面向量的基底，B正确；
因为，所以不能作为平面向量的基底，C不正确；
因为，所以不能作为平面向量的基底，D不正确.
故选：B.
3. 已知，，点P在直线上，且，则点P的坐标为（ ）
A. B.
C. 或D. 或
【答案】C
【解析】设点P的坐标为，，，
则，．
由且点P在直线上，得或．
∴或解得或
∴点P的坐标为或．
故选：C.
4. 已知是平面内两个非零向量，，那么“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】若，，
所以，，
当时，，
当时，，此时，
故“”是“”的不充分条件，
因为，若，则，
当且仅当方向相同时取到等号，则恒成立，故，
但两个向量间的系数不确定，不能推出“”；
综上可知，，那么“”是“”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
5. 斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”，它的画法是：以斐波那契数1，1，2，3，5，8，…为边长比例的正方形拼成矩形，然后在每个正方形中画一个圆心角为90°的圆弧，这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线．如图，矩形是由若干符合上述特点的正方形拼接而成，其中，则图中的斐波那契螺旋线的长度为（ ）
A. 11πB. 12πC. 15πD. 16π
【答案】B
【解析】不妨设正方形边长为，则，解得，
所以图中斐波那契螺旋线的长度为．
故选：B．
6. 函数（且）的大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由题意，，化简得，
根据函数的图象和性质，
可得在内为增函数且为正值，
在内为增函数且为负值，在内为减函数且为负值，故C正确.
故选：C.
7. 古希腊数学家特埃特图斯（Theaetetus）利用如图所示的直角三角形来构造无理数. 已知与交于点，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的坐标系，
由题意得，
则，.
因为，故，
因为，所以（负值舍去），
所以，
故.又，则，
因为，所以，
解得，所以.
故选：A.
8. 已知定义在上的函数，则不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】令，则函数定义域为关于原点对称，
且，
所以函数是奇函数，
所以不等式
，
因为函数和在上均为增函数，
所以函数为定义在上的增函数，
所以，所以不等式的解集是.
故选：C.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有错选的得0分）
9. 下列命题中正确的是（ ）
A. “”是“”的必要不充分条件
B. 若角是第三象限角，则可能在第三象限
C. 若且，则为第二象限角
D. 锐角终边上一点坐标为，则
【答案】BCD
【解析】A选项：若，则，有充分性；
若，则或没有必要性.A错误；
B选项：若角是第三象限角，则，
则，当时，为第一象限角；
时，为第三象限角；当时，为第四象限角；
所以可能在第三象限.B正确；
C选项：，则为第二象限或第四象限角；，
则为第一象限或第二象限角，同时满足上述条件，所以为第二象限角.C正确；
D选项：锐角终边上一点坐标为，
则有，，
所以，且为锐角，所以，D正确.
故选：BCD.
10. 函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，且函数图象与函数图象有相同的对称中心，则（ ）
A.
B. 函数的图象关于直线对称
C. 在区间上存在函数图象的2个对称中心
D. 若函数在区间上单调递增，则
【答案】ACD
【解析】因为函数与函数有相同的对称中心，
所以，且，又函数的对称中心为，
所以，
又，所以，所以，
所以，
对于A，，故A正确；
对于B，令，
所以函数的对称轴方程为，
令，所以函数的图象不关于直线对称，故B错误；
对于C，令，
所以函数的对称中心为，
在区间上存在函数的两个对称心为和，故C正确；
对于D，区间，
令，
当时，得到函数在单调递增，所以，故D正确.
故选：ACD．
11. 已知是平面内的两个单位向量，且，则的值可能为（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】CD
【解析】如图，设，则，设，
易知在直线上，由可得，
，，
又，
则，
过作，易知，
又，故，
结合选项，可能取值为或.
故选：CD.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知平面内给定三个向量.若，则实数的值为__________.
【答案】
【解析】因为，又，
所以，所以.
13. 已知函数，则______.
【答案】
【解析】因为，
所以
，
故.
14. 已知函数，若在区间上单调递增，且在区间上有且只有一个零点，则的取值范围是________.
【答案】
【解析】令，则，
解得，
令，则，而在区间上单调递增，
得到，解得，
令，得到，解得，
令，，令，，令,得到，
因为在区间上有且只有一个零点，所以，
解得，综上，的取值范围是.
四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 在平面直角坐标系中，锐角的顶点是坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边交单位圆于点．将角的终边按逆时针方向旋转得到角．
（1）求；
（2）求的值.
解：（1）∵点在单位圆上，∴，
∵为锐角，则，∴解得．
∴，
∴，．
（2）
．
16. 如图，在中，.设.
（1）用表示；
（2）若为内部一点，且.求证：三点共线.
解：（1），
.
（2），
又，故，
故三点共线.
17. 如图，四边形是正方形.在边上运动，在边上运动，与交于点.
（1）若是的中点，，，求实数的值；
（2）若，，求的最大值.
解：（1）如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为6，
则，所以，，
设点，则，
由，得，
所以，即，得到，
设，则，
所以，解得.
（2）因为三点共线，且，
所以，
设正方形的边长为1，，
则，
所以，，，
所以，
又，所以，所以，，
所以，
若，则，
若，则，
当且仅当，即时，等号成立，
综上所述：的故大值为1.
18. 已知，相邻两个最值点间的距离为.
（1）求函数的解析式及其对称中心；
（2）求不等式在上的解集；
（3）若关于的方程在上有三个不相等的实数根，求实数的取值范围.
解：（1）因为，所以，
因为相邻两个最值点间的距离为，
所以由勾股定理得，
解得，则，
令，解得，
故的对称中心为.
（2）由，因此，
得，
得，
因为，所以或，故或，
故不等式在上的解集为或.
（3）由，得，故，
因此函数的值域为，函数设，
要使关于的方程在上有三个不相等的实数根，
当且仅当关于的方程在和上分别有一个实数根，
或有一个实数根为1，另一实数根在区间上；
令，
①当关于的方程在和上分别有一个实数根时，
解得：；
②当方程的一个根是时，，
另一个根为，不满足条件；
③当方程的一个根是1时，，
另一个根为，不满足条件.
综上，满足条件的实数的取值范围是.
19. 已知两个函数，，，若对任意的，存在唯一的，使得成立，则称为的“友好函数”.
（1）判断函数，是否为，的“友好函数”，并说明理由；
（2）若函数，是，的“友好函数”，求的最小值；
（3）已知函数，，，，若是的“友好函数”，且也是的“友好函数”，求实数的值及的最大值.
解：（1），不是，的“友好函数”，理由如下：
取，因为，所以不存在，使得，
所以，不是，的“友好函数”.
（2）由题意，对任意，存在唯一使成立，
即，所以函数的值域是函数值域的子集.
因为，，所以，其值域为，
而在上单调递增，故值域为，
从而，即，所以.
（3）当是的“友好函数”时，
由题意，对任意的，存在唯一的，使成立，
即，则的值域是值域的子集.
当是的“友好函数”时，
由题意，对任意的，存在唯一的使成立，
即，则的值域是值域的子集.
所以的值域与值域相同（且值域中的数值一一对应）.
当是的“友好函数”时，因为，
若存在使得，则不存在，使得，
所以当时，，所以，
因为在上单调递减，所以，
①当时，，不符合要求；
②当时，，，
因为，所以，不符合要求；
③当时，，，
若，则在上单调递减，
从而在上单调递增，故，
从而时，，
因为的值域与值域相同，所以，
即，所以，又在上单调递增，
所以当时，的最大值为1.
若，则在上单调递减，在上单调递增，
此时值域与值域中的数值不可能一一对应，不符合要求.
综上：，的最大值为1.