福建省漳州市乙丙校联盟2024-2025学年高一上学期期中教学质量检测数学试题（解析版）

这是一份福建省漳州市乙丙校联盟2024-2025学年高一上学期期中教学质量检测数学试题（解析版），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为集合，，
所以．
故选： C.
2. 命题，，则命题的否定形式是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】命题，，为全称量词命题，
则该命题的否定为：，.
故选：C．
3. 下列关系式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】对A：无理数，故A错误；
对B：不是自然数，故B错误；
对C：整数不都是自然数，如是整数但不是自然数，故C错误；
对D：有理数都输实数，故D正确.
故选：D.
4. 幂函数在区间上单调递减，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 或
C. 是奇函数D. 是偶函数
【答案】C
【解析】函数为幂函数，则，解得或.
当时，在区间0,+∞上单调递增，不满足条件，排除A，B；
所以，定义域关于原点对称，且，
所以函数是奇函数，不是偶函数，故C正确，D错误.
故选：C.
5. “，且”是“，且”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】若，且，根据不等式的加法和乘法法则可得，且，即必要性成立；
当，满足，且，但是，故充分性不成立，
所以“，且”是“，且”的必要不充分条件.
故选：B
6. 函数的大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由知：，
，偶函数，AC错，
，B错，
故选：D
7. 已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为函数为减函数，
所以，
又因为，
所以.
故选：A.
8. 已知，且关于的不等式的解集为，则的最小值为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由已知，、是方程的两根，所以，，
所以，，
且，
当且仅当时，取等号，因此，的最小值为.
故选：A．
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是( ).
A. 若，则的定义域为
B. 和表示同一个函数
C. 函数的值域为
D. 已知函数，则
【答案】ACD
【解析】对于A选项，由题意得，解得且，
则的定义域为故A正确；
对于B选项，的定义域为，的定义域为，
定义域不同，不是同一个函数，故B错误；
对于C选项，因为，，则，
则函数的值域为，故C正确；
对于D选项，令，可得所以，
因此的解析式为，故D正确.
故选：ACD.
10. 下列说法错误的是（ ）
A. 函数的最小值为2
B. 若，则的最大值为
C. 的最小值为2
D. 若，则
【答案】ACD
【解析】对于A，因为，故A错误；
对于B，，
当且仅当，即时等号成立，
故最大值为，故B正确；
对于C，令，
因为在上单调递增，
则当时，函数取得最小值，
即的最小值为，故C错误；
对于D，因为，所以，，所以，即，故D错误.
故选：ACD
11. 已知定义在R上的函数满足，当时，，，则（ ）
A. B. 为奇函数
C. 在R上单调递减D. 当时，
【答案】ABD
【解析】A选项，中，
令中，令得，
令得，即，A正确；
B选项，中，令得，
解得，中，令得，
故为奇函数，B正确；
C选项，中，令，且，
故，即，
当时，，故，
即，故在R上单调递增，C错误；
D选项， 由A知，，
又，故，又在R上单调递增，所以，D正确.
故选：ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若函数为指数函数，则________．
【答案】
【解析】因为函数为指数函数，
所以且且，解得.
故答案为：
13. 已知函数则______.
【答案】3
【解析】，，
故答案为：3
14. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：对于实数，符号表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如，，定义函数，则下列命题中正确的序号是________．
①函数的最大值为； ②函数的最小值为；
③函数的图象与直线有无数个交点 ④
【答案】②③④
【解析】由题意得：，
由解析式可得函数图形如下图所示，

对于①，函数，①错误；对于②：函数的最小值为，②正确；
对于③，函数的图象与直线有无数个交点，③正确；
对于④，函数满足，④正确；
故答案为：②③④
四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知全集，集合，或x>5.
（1）求，；
（2）求.
解：（1）因为，或x>5，
则或x>5，或，
故或x>5.
（2）因为或x>5，则，
因此，.
16. 化简求值：
（1）
（2）
（3）已知，求的值;
解：（1）原式；
（2）原式；
（3）因为，所以.
17. 已知定义域为的函数是奇函数．
（1）求的值；
（2）判断并证明函数的单调性．
解： (1）因为是的奇函数，所以=0，即, 经检验b=1符合题意.
（2） 在上为减函数．现证明如下：
由（Ⅰ）知，
设，则，
因为函数y=在R上是增函数且
∴>0，又>0
∴>0即
∴ 在上为减函数．
18. 某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜地将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某水果树的单株产量（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：，肥料成本投入为元，其他成本投入（如培育管理､施肥等人工费）元．已知这种水果的市场售价大约15元/千克，且销售畅通供不应求，记该水果单株利润为（单位：元）．
（1）求单株利润关于施用肥料的关系式；
（2）当施用肥料的成本投入为多少元时，该水果单株利润最大？最大利润是多少？
解：（1）依题意可得， ，
所以，．
（2）当时，，
根据二次函数的性质，可知在单调递减，单调递增，
且，，
所以；
当时，.
因为，所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以，，.
所以，当投入4元时，该水果单株利润最大，最大利润为480元．
19. 设函数在区间D上有定义，若对任意，都存在使得：，则称函数在区间D上具有性质
（1）判断函数在R上是否具有性质，并说明理由;
（2）若函数在区间上具有性质，求实数a的取值范围;
（3）设，若存在唯一的实数m，使得函数在上具有性质，求t的值.
解：（1）指数函数在R上不具有性质，
理由如下：指数函数的定义域为R，
对于，，因为，，
所以不存在，满足，
因此函数在R上不具有性质；
（2）因为函数在区间上具有性质，
所以对于任意，都存在，
使得，即，
因为，所以，
得；
（3）设，
若函数在上具有性质，
则对任意，都存在，使得，
即，因为，
所以，所以，
①当时，，
因为，所以且，
即，因为m唯一，
所以，得
②当时，
因为，所以且，
即，因为m唯一，所以，
得，综上，t的值为或