福建省漳州市2024-2025学年高一上学期1月期末教学质量检测数学试题（解析版）

这是一份福建省漳州市2024-2025学年高一上学期1月期末教学质量检测数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项、是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，，
则，或，或，
解得，或，或，
所以，所以.
故选：B.
2. 下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）
A. 与B. 与
C. 与D. 与
【答案】C
【解析】对于A选项，对于，根据根式的性质，
所以，其定义域为.
而，其定义域为.
但是与的对应关系不同，当时，，所以A选项错误.
对于B选项，对于，其定义域为.
的定义域为.
与定义域不同，所以B选项错误.
对于C选项，对于，因为，所以，，
定义域为.
，定义域为.
与定义域相同，对应关系也相同，所以C选项正确.
对于D选项，对于，其定义域为，且.
的定义域为.
与定义域不同，所以D选项错误.
故选：C.
3. 已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，点在角的终边上，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据三角函数的定义，若角终边上一点，则.
已知点在角的终边上，则.
所以.
根据诱导公式.
因为，所以.
故选：A.
4. 已知关于的一元二次不等式的解集为，则（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】D
【解析】一元二次不等式的解集为，
则说明方程有两个相等的根.
根据韦达定理，由于方程的根，
那么两根之和，即，解得.
两根之积，解得.
将，代入，可得.
故选：D.
5. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，，所以，
又因为，所以.
故选：D.
6. 用二分法求函数在区间上的零点近似解，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】C
【解析】开区间的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，
经过n此操作后，区间长度变为，
因为用二分法求函数在区间上的零点近似解，要求精确度为0.01，
，因为，，所以，
即所需二分区间的次数最少为
故选：C.
7. 某同学用“五点法”画函数在一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
根据这些数据，要得到函数的图象，需要将函数的图象（ ）
A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度
【答案】A
【解析】由表中的数据可得，，解得，，
所以，，
将图象向左平移单位后，得到的图象.
故选：A.
8. 用表示与的最大者，记，其中，都是正数，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，所以，
则，
又，都是正数，所以，当且仅当，即时取等号，
，当且仅当，即时取等号，
故，得到，当且仅当，时取等号.
故选：B.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 如图，某池塘里浮萍的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系为，则（ ）
A. B. 第4个月时，浮萍面积超过
C. 浮萍每月增加的面积都相等D. 浮萍每月的增长率为2
【答案】ABD
【解析】由图可知，函数过点，将其代入解析式，可得，A正确；
所以，可得第4个月浮萍面积为，超过了，B正确；
前3个月的浮萍面积，分别为，，，，
从前3个月浮萍面积可看出，每月增加的面积不相等，C不正确；
每月增长率为，故每月增长率为2，D正确.
故选：ABD.
10. 已知函数，若，且，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】对于：，，且，
所以，，即，即，所以，故错误；
对于：，所以，，
当且仅当，且，即时等号成立，
又，所以，故正确；
对于：，
当且仅当，且，即时等号成立，
又，所以，故错误；
对于：，且，
函数在上单调递增，所以，即，故正确.
故选：.
11. 如图正方形的边长为1，，分别为边，上的点，且，则（ ）
A. B.
C. 周长为定值D. 面积的最大值为
【答案】AC
【解析】在正方形中，延长到，使，连接，则≌，
，由，
得，
于是≌，，B错误；
周长为，C正确；
，
则，当且仅当时取等号，，D错误；
由，得，
于是，整理得，
，A正确.
故选：AC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 函数的定义域为__________．
【答案】
【解析】由，得到，得到，
所以函数的定义域为.
13. 已知为上奇函数，，，则__________．
【答案】6
【解析】因为为上奇函数，所以且，
又，所以是以为周期的周期函数，
则，，，
，所以，
又，即，
解得，所以.
14. 已知函数的图象过点，且在区间单调递增，则的取值范围为__________．
【答案】
【解析】因为函数的图象过点，
代入函数可得：，即.
又因为，所以，则函数.
对于余弦函数，其单调递增区间为.
那么对于函数，有.
解不等式可得：.
解不等式可得：.
因为在区间单调递增，所以.
由可得：.
由可得：.
因为，所以，解得，所以.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知集合，集合．
（1）若，求；
（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．
解：（1）由，得，解得，
所以，
若，，，
所以．
（2）因为“”是“”的充分不必要条件，所以，
所以，解得，所以实数的取值范围为．
16. 已知幂函数在区间单调递增．
（1）求的值；
（2）若函数，，则是否存在实数，使得的最小值为4？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
解：（1）因为是幂函数，所以，解得或，
当时，在区间0,+∞单调递减，不符合题意，
当时，在区间0,+∞单调递增，符合题意，
所以．
（2）由（1）函数的解析式为，函数，
即，，
函数对称轴为，
①当，即时，则，解得，满足题意；
②当时，即，则，无解，舍去；
③当时，即时，则，解得，不满足，舍去；
综上所述，存在使得的最小值为4．
17. 如图，已知直线，是，之间的一个定点，到，的距离分别为，，是上一个动点，设，作直线，且与直线交于点．
（1）写出与的面积之和关于的函数解析式；
（2）判断函数的单调性，并用定义法加以证明．
解：（1）由已知，，，
所以，
又因为，所以，
所以，已知，，，得，
所以，，
函数的解析式为．
（2）函数在单调递减．
证明如下：由（1），
任取，且，
则，
因为，所以，，，
所以，
即，，
所以在单调递减．
18. 长泰摩天轮位于长泰天柱山，是欢乐大世界的地标式游乐设施，被誉为“长泰之眼”．游客坐在摩天轮的座舱里慢慢的往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图1，该摩天轮最高点距离地面高度为90米，转盘直径为88米，设置有56个座舱，摩天轮上的座舱运动可以近似的看作是质点在圆周上做匀速圆周运动，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要18分钟．如图2，设座舱距离地面最近的位置为点，以轴心为原点，与地面平行的直线为轴建立直角坐标系．
（1）游客小明坐上摩天轮的座舱，开始转动分钟后距离地面的高度为米，求在转动一周的过程中，关于的函数解析式；
（2）坐上摩天轮转动一圈，当距离地面68米及以上高度时游客就能俯瞰全景，大有“一览众山小”之感．小明能有多长时间感受这个过程？
（3）小明在摩天轮上发现朋友小华刚要入舱乘坐摩天轮，而且小华的座舱和自己的座舱之间还有13个座舱，求两人距离地面的高度差的最大值．
解：（1），
由题意知，解得，
又，解得，所以，
因为，所以，所以，，
所以，.
（2）由（1）．
令，则，即，
因为，则，所以，解得，
所以小明坐上摩天轮能有（分钟）感受这个过程.
（3）由题意知，两人间隔的弧度数为，
所以小明经过分钟后距离地面的高度为，
小华距离地面高度为，；
则两人离地高度差，
，
当（或），即（或）时，的最大值为米．
19. 若函数存在零点，函数存在零点，且，则称与互为相近函数．
（1）判断与是否互为相近函数，并说明理由；
（2）定义在上的函数有且只有一个零点，函数，若与互为相近函数，
（i）求的值．
（ii）求的最大值．
解：（1）令，解得，即有唯一零点2，
因为在上单调递增且连续，
而且，，，
所以存在唯一零点，且，
所以满足，
所以与互为相近函数．
（2）（i）已知定义在上的函数，
对上的任意一个，
都有，
所以为偶函数，
又已知有且只有一个零点，所以，解得；
经检验，当时，有唯一零点0．
（ii）由（i）知，．有且只有一个零点为0，
又与互为相近函数，
所以在上有解，
由，即，
所以，
令，因为，所以，
，
当且仅当，，即时，取到最大值为．