福建省部分学校教学联盟2024-2025学年高一上学期期中质量检测数学试题（解析版）

这是一份福建省部分学校教学联盟2024-2025学年高一上学期期中质量检测数学试题（解析版），共12页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则等于（ ）
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】∵，∴．
故选：D
2. 设，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由可得，解得，
所以由推得出，故充分性成立；
由推不出，故必要性不成立，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
3. 下列命题中正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】A
【解析】对于A，若，又，则，故A正确，
对于B，若，，满足，但是，故B错误，
对于C，若，则，故C错误，
对于D，若，，满足，但是，故D错误，
故选：A．
4. 命题“，不等式”为假命题的一个必要不充分条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】命题“，不等式”为假命题，
则命题“，不等式”为真命题，
所以，解得，
所以使得命题“，不等式”为假命题，则实数的取值范围为，则命题“，不等式”为假命题的一个必要不充分条件是.
故选：A
5. 已知，且，则的最小值为（ ）
A. 3B. C. 2D.
【答案】B
【解析】，，
又，，
当且仅当即，时等号成立.
故选：B．
6. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为函数的定义域为，所以，
则函数可知，解得或
函数的定义域为.
故选：D.
7. 设函数，则不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先求出，再结合函数解析式分两段得到不等式组，解得即可.
【详解】因为，所以，
不等式等价于或，
解得或或，
所以不等式的解集为.
故选：B
8. 已知函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由题意知，解得，所以，即 ，
易得在R上单调递增．因为，所以为奇函数．
又，故等价于，
则，解得.
故选：B.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或不选的得0分.
9. 若关于x的不等式的解集为，则下列选项正确的是（ ）
A. 不等式的解集是
B.
C. 不等式的解集为
D. 设x的不等式的解集为N，则
【答案】ABD
【解析】关于的不等式的解集为
则,且关于的方程的根为，，
则，解之得，
则不等式，所以解集为，
，所以A、B都正确；
不等式可化为，即，所以解集为，故C错误；
设，，
则函数的图象向上平移一个单位得的图象，如图，

所以不等式的解集为N，则，D正确.
故选：ABD
10. 已知幂函数的图像经过点，则下列结论正确的有（ ）
A. 为增函数
B. 若，则
C. 为偶函数
D. 若，则
【答案】ABD
【解析】由幂函数的图像经过点，得，所以.
，定义域为，
对于A选项：因为，由幂函数的性质得A选项正确；
对于B选项：若，则
，所以，
又，
所以，故B选项正确；
对于C选项：由于定义域不关于数字0对称，故C选项不正确；
对于D选项：因为为增函数，若，则，故D选项正确；
故选：ABD.
11. 已知实数，满足，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】设，代入得，
化简得，所以，解得，
，选项A正确；
当时，由，得，
, 解得，当且仅当时成立，选项B正确；
由，得时，，
，解得，选项C错误；
由，得，
,
解得，当且仅当时取等号， 选项D正确；
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知全集，，，指出Venn图中阴影部分表示的集合是______.
.
【答案】
【解析】
【分析】根据集合的运算求得，可得，结合Venn图中阴影部分表示的集合为，即可得答案.
详解】由于全集，，，
故，
则，
故Venn图中阴影部分表示的集合为，
故答案为：
13. 已知函数在上是减函数，则的取值范围是__________.
【答案】
【解析】因为函数在上单调递增，所以函数在1,2上单调递减.由解得.
故答案为：
14. 已知函数，其中常数，给出下列结论：
①是上的奇函数；
②当时，对任意恒成立；
③的图象关于和对称；
④若对，使得，则．
其中正确的结论是 ．（请填上你认为所有正确结论的序号）
【答案】①②
【解析】, 其图象如下图所示, 由于图象关于原点对称, 故①正确;
时, , 故可得 的图象是由 向右平移 个单位, 故可得②正确;
观察图
可知③错误;
对于④：当 , 即 时 , 故当 从负方向接近于 0 时, 不满足题意, 当 , 即 时, , 同 上可知不满足题意, 当 , 即 时, 要使得和 时相对应时, 需满足 ,即 , 故④错误.
故答案为：①②.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知集合，，.
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围.
解：（1）当时，，于是，
故.
（2）由，可得.
当时，，即，此时符合题意；
当时，由可得：，解得：.
故实数的取值范围为：.
16. 已知定义在R上的函数满足：对任意的实数x，y均有，且，当且.
（1）判断的奇偶性；
（2）判断在上的单调性，并证明；
（1）解：根据题意，令，得，因为，
所以，故结合定义域可知，为奇函数.
（2）在上单调递增.
证明：由题意，可知，
假设，使得，则，
而当时，由题意知，因此矛盾，故，恒成立.
设，且，则，
因此，
因，且当时，，所以，
又因为，所以，即，又因为，所以在上单调递增.
17. （1）已知实数，满足，求证：.
（2）若实数，为正数，且满足，用反证法证明：和中至少有一个成立.
解：（1）
，因为，所以，所以；
（2）假设结论不成立，即有且，由已知，实数，为正数，
所以有且，故，所以，
与已知矛盾，假设不成立，
所以有和中至少有一个成立.
18. 杭州亚运会田径比赛 10月5日迎来收官，在最后两个竞技项目男女马拉松比赛中，中国选手何杰以2小时13分02秒夺得男子组冠军，这是中国队亚运史上首枚男子马拉松金牌.人类长跑运动一般分为两个阶段，第一阶段为前1小时的稳定阶段，第二阶段为疲劳阶段. 现一60kg的复健马拉松运动员进行4小时长跑训练，假设其稳定阶段作速度为 的匀速运动，该阶段每千克体重消耗体力 （表示该阶段所用时间），疲劳阶段由于体力消耗过大变为 的减速运动（表示该阶段所用时间）.疲劳阶段速度降低，体力得到一定恢复，该阶段每千克体重消耗体力 已知该运动员初始体力为不考虑其他因素，所用时间为（单位：h），请回答下列问题：
（1）请写出该运动员剩余体力关于时间的函数；
（2）该运动员在4小时内何时体力达到最低值，最低值为多少?
解：（1）由题可先写出速度关于时间的函数，
代入与公式可得
解得；
（2）稳定阶段中单调递减，此过程中最小值；
疲劳阶段，
则有，
当且仅当，即时，“”成立，
所以疲劳阶段中体力最低值为，
由于，因此，在时，运动员体力有最小值.
19. 已知，函数．
（1）函数的图象经过点，且关于的不等式的解集为，求的解析式；
（2）若有两个零点，，且的最小值为，当时，判断函数在上的单调性，并说明理由；
（3）设，记为集合中元素的最大者与最小者之差，若对，恒成立，求实数的取值范围．
解：（1）函数的图象经过点，
，
又关于的不等式的解集为，
，为方程的两个实根，
因此，解得
所以的解析式为．
（2），
由题意得，即，
令，解得，
即，，
对于任意，设，
则，
，
又，
，
而，即，
因此，
函数在区间上是单调递减的．
（3）设，，
因为函数的对称轴为，
当时，即时，在上单调递减，
，
当，即时，
，
当，即时，，
当时，即时，在上单调递增，
，
综上可知，，
可知，在上单调递减，在上单调递增，
所以的最小值为，
对，恒成立，只需即可，解得，
所以的取值范围是.