福建省漳州市乙丙级联盟校2024-2025学年高一下学期期中考试 数学 含解析

这是一份福建省漳州市乙丙级联盟校2024-2025学年高一下学期期中考试 数学 含解析，共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 满分150分）
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量，，且，则（ ）
A.9B.8C.6D.3
2.复数的共轭复数等于（ ）
A.B.C.D.
3.把按斜二测画法得到，如图所示，其中，，那么是一个（ ）
A.等边三角形B.直角三角形
C.等腰三角形D.三边互不相等的三角形
4.已知，，，则与的夹角为（ ）.
A.B.C.D.
5.已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A.若，，，则
B.若，，，则
C.若，，则
D.若，，则
6.已知某圆台轴截面的周长为10、面积为，圆台的高为，则该圆台的表面积为（ ）
A.B.C.D.
7.在中，已知，，则的面积为（ ）
A.B.C.2D.
8.已知单位向量，且向量的夹角为，若对任意的，恒成立，则实数的值为（ ）
A.B.C.D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.若向量，，则（ ）
A.B.
C.在上的投影向量为D.与的夹角为
10.记，则下列结论正确的是（ ）
A.B.C.D.
11.已知的重心为，外心为，内心为，垂心为，则下列说法正确的是（ ）
A.若是中点，
B.若，则
C.与不共线
D.若，则.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知是方程的一个根，则_______.
13.已知向量，，若，则_______.
14.已知四边形中，，，则.设与面积分别为，.的最大值为_______.（第一空2分，第二空3分）
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）
如图，在中，，点是的中点，设，，
（1）用表示，；
（2）如果，，有什么位置关系？用向量方法证明你的结论.
16.（15分）
已知复数，其中是实数.
（1）若，求实数的值；
（2）若是纯虚数，求
17.（15分）
在中，内角所对的边分别为，且满足.
（1）求角的大小；
（2）若，，求的面积.
18.（17分）
在锐角中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若.
（1）求；
（2）若为_______，线段的延长线交于点，求的最大值或最小值.
（从条件①内心，，②垂心，③重心，，任选一个作答）
19.（17分）
如图所示正四棱锥，，，为侧棱上的点，且，求：
（1）正四棱锥的表面积；
（2）若为的中点，求证：平面；
（3）侧棱上是否存在一点，使得平面.若存在，求的值；若不存在，试说明理由.
参考答案
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 13. 14.
四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.（13分）
【解析】
（1）因为，
所以，
因为是的中点，
.
（2）因为，
所以，所以.
16.（15分）
【解析】【详解】（1）复数，则，又a是实数，
因此，解得，
所以实数a的值是.
（2）复数，，
则，
因为是纯虚数，于是，解得，
因此，又，，，，
则，，，，，
即有，，
所以.
17.（15分）
【解析】
【详解】（1）在中，由，则，
由余弦定理知：，
因为，所以.
（2）因为，，所以，即，
由正弦定理，
由，所以，，
由，，解得：或，
即或，
①当时，，
在中，由正弦定理，所以，
所以；
②当时，三角形为等边三角形，，
.
综上：当时，；当时，.
18.（17分）
【解析】（1）由正弦定理可得，
又，
所以，
又，
所以，即，又，所以；
（2）若选条件①：
因为为的内心，所以，
由，得
因为，所以，
所以，即，
所以.
当且仅当时取面积最小值.
若选条件②：
因为为的垂心，且，所以，
故，即，
又，
即，所以
所以.
当且仅当时取面积最小值.
若选条件③：
因为为的重心，且，所以，
又，故，
即，
即，所以
所以.
当且仅当时取最大值.
19.（17分）
【解析】（1）在正四棱锥中，，，
则正四棱锥侧面的高为，
所以正四棱锥的表面积为；
（2）如图，连接交于点O，连接，则O为AC的中点，
当M为SA的中点时，，
又平面，平面，所以平面；
（3）在侧棱上存在点E，使得平面，满足.
理由如下：
取的中点Q，由，得，
过Q作的平行线交于E，连接，，
中，有，又平面，平面，
所以平面，由，得.
又，又平面，平面，
所以平面，又，平面，
所以平面平面，而平面，
所以平面.
高一数学选填解析
一、单项选择题
1.【解析】依条件得，，所以
故选：C
2.【解析】
故选：D
3.【解析】【详解】根据斜二侧画法还原在直角坐标系的图形，如下图所示：
由图得，，故为等边三角形，故选：A
4.【解析】【详解】因为，，，
则，即，可得，
则，且，所以.
故选：A.
5.【解析】对于A，若，，，则或m与n相交或m与n异面，故A错误；
对于B，若，则在平面内存在不同于n的直线，使得，则，从而，故，故B正确；
对于C，若，，则或与相交，故C错误；
对于D，若，，则或，故D错误.
6.【解析】若圆台上下底面半径分别为r，R且，则圆台轴截面腰长为，
所以，，即，
所以，可得，故，，
综上，圆台的表面积为.
故选：C
7.【解析】因为，及和，
所以，解得：，
又因为，
所以.
所以.
故选：D.
8【解析】由单位向量，且向量的夹角为，得，
由，得，
即，依题意，对任意的，恒成立，
而，当且仅当时取等号，
因此，整理得，所以.
故选：B.
二、多项选择题
9.【解析】
由题，，
所以，故A错；
又，故B正确；
，所以在上的投影向量为：，故C正确；
因为，，又，所以，故D错误.
故选：BC.
10.【解析】
故选：ABC
11.【解析】
对于A：正确；
对于B：因为O为的外心，设AB中点为D，连接OD，则
所以
对于C：错误.因为
所以与垂直，
又因为，所以与共线
对于D：正确.因为H为的垂心，则，即，
即，则，
同理，，所以，
设，
因为，所以，
即，则，，
即，则，
，，，故D正确.
故选：ABD
三、填空题
12.【解析】由是方程的一个根，得是该方程的另一根，则，，解得，
所以.
故答案为：0
13.【解析】因为向量，，
则，，
又因为，所以，则
则.
故答案为：4.
14.【解析】四边形ABCD中，，，
设与面积分别为，，
则，.
在中，利用余弦定理：，
即，
在中，利用余弦定理：，
即，
所以.
则
，
当，即时，最大值，最大值为，1
2
3
4
5
6
7
8
C
D
A
A
B
C
D
B
9
10
11
BC
ABC
ACD