广西壮族自治区北海市2025届高三第四次模拟预测数学试题（解析版）

这是一份广西壮族自治区北海市2025届高三第四次模拟预测数学试题（解析版），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合A={x∣x>-1},B=x∣x2+2x-3>0，则A∩∁RB=（ ）
A．-1,3B．-3,-1C．-1,1D．-3,1
【答案】C
【解析】因为A=x∣x>-1,B=x∣x2+2x-3>0={x∣x1}，
所以∁RB=x∣-3≤x≤1,A∩∁RB={x∣-10,b>0的左、右焦点分别为F1,F2，过F1的直线与C在第一象限交于点P，若P在以F1F2为直径的圆上，且PF1的中点在C的渐近线上，则C的离心率为（ ）
A．2B．3C．2D．5
【答案】D
【解析】设F2c,0,Pm,n，渐近线方程为y=±bax，
因为P在以F1F2为直径的圆上，所以PF2⊥PF1，
因为PF1的中点在双曲线的渐近线上，设PF1的中点为M，则OM//PF2，
所以nm-c=-ba，且nm+c=ab，
解得m=b2-a2c=c2-2a2c,n=2abc，
将Pc2-2a2c,2abc代入双曲线的方程可得c2-2a22a2c2-4a2b2c2b2=1，
化简可得c2a2-4=1，即有e2=5，解得e=5.
故选：D．
二、多选题
9．某班级有60%的学生报名参加了数学竞赛，40%的学生报名参加了物理竞赛．报名参加数学竞赛的学生中，有30%同时也报名参加了物理竞赛．从该班级中随机抽取一名学生，记事件A为“该学生报名参加数学竞赛”，事件B为“该学生报名参加物理竞赛”．则以下说法正确的是（ ）
A．事件A和事件B是独立事件B．PA∣B=0.45
C．PB∣A=0.30D．PA∪B=0.82
【答案】BCD
【解析】依题意，PA=0.60,PB=0.40，
对于C，在报名参加数学竞赛的学生中，同时报名参加物理竞赛的概率PB∣A=0.30，C正确；
对于A， PAB=PA×PB∣A=0.60×0.30=0.18,PAPB=0.60×0.40=0.24，
由于0.18≠0.24，事件A和事件B不是独立事件，A错误；
对于B，PA∣B=PABPB=，B正确；
对于D，PA∪B=PA+PB-PAB=0.60+0.40-0.18=0.82，D正确．
故选：BCD
10．已知圆O:x2+y2=1，圆C:x-32+y-42=mm>0，直线l:y=kx+2k∈R，下列结论正确的是（ ）
A．若直线l与圆O相切，则k=±3
B．若k=15，则圆O上到直线l的距离等于12的点恰有3个
C．若圆O与圆C恰有三条公切线，则m=4
D．若P为圆O上的点，当m=9时，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A,B，则∠APB可能为π2
【答案】ABD
【解析】易知圆x2+y2=1的圆心O的坐标为0,0，半径为1，圆心O到直线l的距离d=21+k2，
对于A，因为直线l与圆O相切，所以d=21+k2=1，解得k=±3，A正确；
对于B，当k=15时，圆心O到直线l的距离d'=12,1-d'=12，
故圆O上到直线l的距离为12的点恰有3个，B正确；
对于C，圆O与圆C:x-32+y-42=m恰有三条公切线，
则两圆外切，即3-02+4-02=1+m，解得m=16，C错误；
对于D，如图，

点P在P1位置时，P1C=4，此时∠A1P1C>π4，点P在P2位置时P2C=6，此时∠A2P2C0，
当x=12时，f12-lg812=12-1+13=-160，
当x=10时，f10-lg810=f2-lg810=1-lg8100个单位，所得图象关于y轴对称，则φ最小值的密位数为 .
【答案】500
【解析】fx=-cs2x-3sinxcsx+12=1-2cs2x2-32sin2x=-32sin2x-12cs2x =-sin2x+π6.
把函数y=-sin2x+π6的图象向左平移φφ>0个单位，得到的函数解析式为g(x)=-sin2x+φ+π6=-sin2x+2φ+π6.
因为平移后所得图象关于y轴对称，所以2φ+π6=π2+kπ,k∈Z，即φ=kπ2+π6,k∈Z．
又φ>0，所以k=0时，即φ有最小值为π6.
因为一个圆周分为6000等份，每一份称为1密位，所以π6的密位数为500.
故答案为：500.
14．若函数fx=x36-1+a2x2+axlnx-ax有两个极值点，则a的取值范围是 ．
【答案】-12,0
【解析】fx的定义域为0,+∞,f'x=x22-1+ax+alnx，
因为fx有两个极值点，所以函数f'x在0,+∞上有两个变号零点，
令f'x=x22-1+ax+alnx=0，则x22-x-ax+alnx=0，
即x2-2x-2ax+2alnx=0，所以2a=2x-x2lnx-x，令gx=2x-x2lnx-x,x∈0,+∞，
所以将函数fx的零点问题转化为gx的图象和直线y=2a的交点问题，
求导得g'x=2-2xlnx-x-2x-x21-xxlnx-x2= 1-x2lnx-x-2lnx-x2，
令hx=2lnx-x-2,x∈0,+∞，则h'x=2-xx，
易知hx在0,2上单调递增，在2,+∞上单调递减，
hx≤h2=2ln2-41，则切线方程为y-y0=f'x0x-x0,y=f'x0x-x0+y0，
令Fx=xlnx-12x2-f'x0x-x0+y0，依题意，只需证明Fx≤0即可．
F'x=lnx+1-x-f'x0，
令φx=lnx+1-x-f'x0,φ'x=1x-1，
当x>1时，φ'x=1x-1