广西壮族自治区北海市2025届高三第四次模拟预测 数学试题（含解析）

这是一份广西壮族自治区北海市2025届高三第四次模拟预测 数学试题（含解析），文件包含2026年高考数学复习知识清单全国通用专题05求递推公式之全题型培优归类21题型原卷版docx、2026年高考数学复习知识清单全国通用专题05求递推公式之全题型培优归类21题型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共57页， 欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．若复数，则的虚部为（ ）
A．B．C．D．
3．桂林的象鼻山景区有4个主要景点：象鼻山、水月洞、普贤塔、爱情岛．若游客可以选择游览其中的3个景点，且必须包含景点象鼻山，则不同的游览顺序有（ ）
A．12种B．14种C．18种D．20种
4．Deep Seek是一款人工智能助手，其用户满意度评分随时间（单位：月）的变化满足对数型函数模型：，其中是常数．若Deep Seek在经过3个月后评分增长到70，则满意度评分为（ ）
A．60B．61C．62D．63
5．已知抛物线的顶点在原点，开口向左，且其焦点到准线的距离为6，抛物线上有一点，到焦点的距离为5，则点的纵坐标为（ ）
A．B．C．D．
6．在中，内角所对的边分别为．已知的面积为，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知一个正四棱锥的底面边长为，内切球的体积为，则这个正四棱锥的体积为（ ）
A．B．C．D．16
8．已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与在第一象限交于点，若在以为直径的圆上，且的中点在的渐近线上，则的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
二、多选题
9．某班级有60%的学生报名参加了数学竞赛，40%的学生报名参加了物理竞赛．报名参加数学竞赛的学生中，有30%同时也报名参加了物理竞赛．从该班级中随机抽取一名学生，记事件为“该学生报名参加数学竞赛”，事件为“该学生报名参加物理竞赛”．则以下说法正确的是（ ）
A．事件和事件是独立事件B．
C．D．
10．已知圆，圆，直线，下列结论正确的是（ ）
A．若直线与圆相切，则
B．若，则圆上到直线的距离等于的点恰有3个
C．若圆与圆恰有三条公切线，则
D．若为圆上的点，当时，过点作圆的两条切线，切点分别为，则可能为
11．已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，当时，．则下列结论正确的是（ ）
A．B．在区间上单调递增
C．的图象关于直线对称D．函数有5个零点
三、填空题
12．已知为单位向量，，则 ．
13．密位制是一种用于测量角度的单位系统，尤其在军事领域中被广泛使用.例如：狙击手在调整射击角度时，可以使用密位制来精确计算目标的距离和角度．密位制的基本原理是将一个圆周分为6000等份，每一份称为1密位．将函数的图象向左平移个单位，所得图象关于轴对称，则最小值的密位数为 .
14．若函数有两个极值点，则的取值范围是 ．
四、解答题
15．已知数列满足，且．
（1）证明：数列是等差数列；
（2）求的通项公式；
（3）设，数列的前项和为，证明：．
16．在四棱锥中，底面为菱形，平面．动点在线段上满足，动点在线段上满足，其中．
（1）当时，证明：平面；
（2）是否存在，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
17．2025年春节期间，国产电影《哪吒之魔童闹海》凭借其震撼的特效、生动的情节与深刻的思想，票房一路攀升，成为全球动画电影票房冠军．截至2025年3月9日全球票房达到148.86亿元，下图为某平台向200名观众征集该电影的评分结果的频率分布直方图．
（1）求的值；
（2）估计这200名观众评分的平均数（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）；
（3）从评分在和的观众中按照分层抽样的方法随机抽取7人进行问卷调查，再从这7人中随机抽取3人进行访谈，求被抽到的3人中评分在的人数的分布列及期望．
18．已知函数．
（1）设，若的导函数在上单调递减，求实数的取值范围；
（2）若，证明：当时，函数图象上任意一点处的切线总在的图象的上方；
（3）若不等式对任意恒成立，求可取的最大整数值．
19．已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，上一点到的距离之和为4．
（1）求的方程；
（2）设的左、右顶点分别为，若为上异于的点，直线与直线相交于点，直线与交于另一点，
（ⅰ）证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标；
（ⅱ）求面积的最大值．
参考答案
1．【答案】C
【详解】因为或，
所以，
故选C．
2．【答案】D
【详解】．所以的虚部为，
故选D．
3．【答案】C
【详解】因为必须包含景点象鼻山，
所以从剩下的3个景点中选择2个景点与象鼻山组合，有种选法，游览顺序可以不同，
所以共有种不同的游览路线.
故选C．
4．【答案】A
【详解】由题可得，则，
故选A．
5．【答案】B
【详解】由题可得抛物线的标准方程为，抛物线的焦点坐标为，准线方程为.
设点坐标为，过点作于点.
由于点到焦点的距离为5，根据抛物线的定义可知：，解得，
代入抛物线方程，解得，即点的纵坐标为.
故选B.
6．【答案】B
【详解】因为．所以．
又的面积为，所以，
所以．
由余弦定理，
得，
所以，
所以，
故选B．
7．【答案】C
【详解】因为内切球的体积为，所以内切球的半径为1.
如图所示，设球与正四棱锥底面切于点，侧面切于点，设，延长交底面于点.
因为正四棱锥的底面边长为，
所以.
又，所以，即，解得.
所以，所以正四棱锥的体积为.
故选C.
8．【答案】D
【详解】设，渐近线方程为，
因为在以为直径的圆上，所以，
因为的中点在双曲线的渐近线上，设的中点为，则，
所以，且，
解得，
将代入双曲线的方程可得，
化简可得，即有，解得.
故选D．
9．【答案】BCD
【详解】依题意，，
对于C，在报名参加数学竞赛的学生中，同时报名参加物理竞赛的概率，C正确；
对于A， ，
由于，事件和事件不是独立事件，A错误；
对于B，，B正确；
对于D，，D正确．
故选BCD
10．【答案】ABD
【详解】易知圆的圆心的坐标为，半径为1，圆心到直线的距离，
对于A，因为直线与圆相切，所以，解得，A正确；
对于B，当时，圆心到直线的距离，
故圆上到直线的距离为的点恰有3个，B正确；
对于C，圆与圆恰有三条公切线，
则两圆外切，即，解得，C错误；
对于D，如图，

点在位置时，，此时，点在位置时，此时，
所以中间必然有位置使得，故D正确．
故选ABD
11．【答案】ACD
【详解】为奇函数，故，即①，
又为偶函数，故②，
则由①②可得，，
则，则的一个周期为4，
在①中令有，
又当时，，则，则，
所以，
故A正确；
由②可得，，则，
即函数是定义在上的偶函数，
因时，，则是上的增函数，
则是上的减函数，
因是的一个周期，则是上的减函数，故B错误；
因为函数是定义在上的偶函数，所以，
所以的图象关于直线对称，故C正确；
函数的零点个数可以转化为与图象的交点个数，
由题意得与的图象如下：
当时，，
当时，，
当时，，
结合图象可知，函数在上存在1个零点，
当时，，
当时，，
由此可得与的图象有5个交点，
所以有5个零点，故D正确．
故选ACD．
12．【答案】5
【详解】因为，
所以．
13．【答案】500
【详解】.
把函数的图象向左平移个单位，得到的函数解析式为.
因为平移后所得图象关于轴对称，所以，即．
又，所以时，即有最小值为.
因为一个圆周分为6000等份，每一份称为1密位，所以的密位数为500.
14．【答案】
【详解】的定义域为，
因为有两个极值点，所以函数在上有两个变号零点，
令，则，
即，所以，令，
所以将函数的零点问题转化为的图象和直线的交点问题，
求导得，
令，则，
易知在上单调递增，在上单调递减，
，则恒成立，
所以当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增，
所以，又因为，
则的图象如图所示，要使的图象和直线有两个交点，
由图象知，即，所以的取值范围为．
15．【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）证明见解析
【详解】（1）证明：因为，
所以，则，
即，
所以是以为首项，4为公差的等差数列．
（2）由（1）知，所以．
（3）证明：因为．
所以
，
因为，所以．
16．【答案】（1）证明见解析
（2）存在
【详解】（1）证明：动点在线段上满足，动点在线段上满足，
当时，分别为的中点.
取的中点，连接.
则为的中位线，
，.
又底面为菱形，
，
则，.
四边形是平行四边形，
.
又平面，平面，
∴平面；
（2）解：存在．
以点为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，以平面内过点且垂直于的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系：
．
则，
，
，
，.
设平面的法向量为，
则，即，
令得，
.
设平面的法向量为，
则，即，
令得，
.
，
化简得：，即，所以或.
存在使得平面与平面夹角的余弦值为．
17．【答案】（1）
（2）79.5
（3）分布列见解析，
【详解】（1）由题意知，解得；
（2）估计这200名观众评分的平均数
；
（3）中的人数为人，中的人数为人，
所以按照分层抽样的方法随机抽取的7人中，
评分在的抽取（人），评分在的抽取（人）．
被抽取到的3人中评分在的人数的可能取值为0，1，2，3．
，
．
所以的分布列为
期望．
18．【答案】（1）
（2）证明见解析
（3）．
【详解】（1）．
所以，
令，
因为在上单调递减，
所以对于恒成立，
可得对于恒成立，
令，则时，，
易知在上单调递增，
所以，所以．
即实数的取值范围为．
（2）当时，，
设切点为，则切线方程为，
令，依题意，只需证明即可．
，
令，
当时，，
在上单调递减，即在上单调递减，
又，
故当时，，单调递增，
当时，单调递减，
，则恒成立，即得证．
（3）不等式恒成立，即恒成立，
设，
则，
当时，恒成立，故在上单调递增，
因为，所以不符合题意；
当时，由，得，由，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
则．
设，则恒成立，所以在上单调递增，又，
故可取的最大整数值为．
19．【答案】（1）
（2）（ⅰ）证明见解析，定点；（ⅱ）．
【详解】（1）由题意可得，解得椭圆方程为．
（2）（ⅰ）证明：设，
则直线的方程为，联立，
可得．
则，
直线的方程为，联立，
可得，
则，
，
若直线不垂直于轴，
则直线的方程为，
化简得，
令得，
直线恒过定点．
若直线垂直于轴，则，此时也过定点．
综上，恒过定点．
（ⅱ）解：由（ⅰ）知直线恒过定点，且直线的斜率不为0，
故设直线的方程为，
由，消去并整理得，
，
又，
所以的面积．
令，则，
从而在上单调递增，当，即时，的面积取得最大值，
故面积的最大值为．0
1
2
3