广西壮族自治区2025届高三下4月冲刺考数学试卷（解析版）

这是一份广西壮族自治区2025届高三下4月冲刺考数学试卷（解析版），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知集合A=xx2-3x-4>0，B={x|lg5x≤1}，则A∩B=（ ）
A．∅B．1,5C．4,5D．0,4
【答案】C
【解析】x2-3x-4>0⇒x-4x+1>0⇒x>4或x4或x30B．f20>40C．f10f(x-1)⇒f(x)>f(x-1)+2.
由此可得递推关系：f(n)>f(n-1)+2，进而推出对于正整数n，f(n)>2n.
下面验证更一般情况.
假设f(x)=kx+b，代入条件f(1)=2得k+b=2.代入不等式得：
k(x-y)>k(x-y)+b⇒0>b.
因此b2（因b=2-k）.
例如，取k=3，则f(x)=3x-1，满足f(10)=2940，
说明选项A不一定成立，但B成立.
若f(x)=2x2，满足f(1)=2，且对x>y有：
2x2-2y2=2(x-y)(x+y)>2(x-y)2⇒x+y>x-y.
此时f(20)=800>40，选项B成立，但f(10)=200>100，选项C不成立.
下面严格证明选项B
对于满足条件的任意函数，令x=20 y=1，则：f(20)-f(1)>f(19)⇒f(20)>f(19)+2.
递推可得f(20)>2×20=40，因此选项B一定正确.
综上，只有选项B（f(20)>40）在所有情况下成立.
故选：B.
二、多选题
9．已知双曲线C：x2a2-y22a2=1(a>0)的左、右焦点分别为F1，F2，若F1F2=2e，e为C的离心率，则（ ）
A．a=1B．C的虚轴长为23
C．e=3D．C的一条渐近线的斜率为2
【答案】ACD
【解析】双曲线C：x2a2-y22a2=1(a>0)的左、右焦点分别为F1，F2，
若F1F2=2e，可得2e=2c，即ca=c，
所以a=1，c=3a=3，2b=22，e=3，渐近线的斜率为±2，
所以ACD正确，B不正确．
故选：ACD
10．环境监测设备在污染物浓度实时监测中起到关键作用.研究发现，设备对污染物的动态响应关系可用“环境监测函数”近似描述，其监测值S(x)=xaxa+(1-x)a，x∈[0,1]，a>0.其中x表示污染物浓度，a为设备灵敏度参数(a越大，灵敏度越高)，则（ ）
A．S(x)过定点(12,12)
B．S(x)在污染物浓度区间[0,1]上单调递增
C．S(x)关于x=12对称
D．取定x的值(00恒成立，所以fx在0,+∞上单调递增；
（ⅱ）当a>0时，由f'x>0解得x>a，所以fx在a,+∞上单调递增；
由f'x0),∴ω'x=x+1ex-a+1x2>0．
又a∈0,1,∴μ'12=12e12-a-2b>0，在这个椭圆上取2nn≥3,n∈N个点，这些点的坐标分别为Pkacs2kπn,bsin2kπn,Qk-asin2kπn,bcs2kπn，连接PkQk,k=0,1……,n-1．
（1）若直线P0Q0的斜率为-12，求椭圆E的离心率；
（2）证明△OPkQk的面积为定值，并求多边形P0P1……Pn-1P0的面积（用n表示）；
（3）若A-a2-b22,0,Ba2-b22,0，线段PkQk的中点为M，证明：∠AMQk=∠BMPk．
（1）解：P0a,0,Q00,b，所以直线P0Q0的斜率为-ba，所以-ba=-12，
所以椭圆C的离心率e=a2-b2a=1-ba2=1-14=32；
（2）证明：直线PkQk的方程为y-bsin2kπn=bsin2kπn-bcs2kπnacs2kπn+asin2kπnx-acs2kπn，
化简得bcs2kπn-sin2kπnx+acs2kπn+sin2kπny-ab=0，
所以原点O到直线PkQk的距离d=abb21-sin4kπn+a21+sin4kπn
而PkQk=a21+sin4kπn+b21-sin4kπn
所以S△OPkQk=12PkQk×d=12ab．
同理可得S△OPkPk+1=12acs2kπn×bsin2k+1πn-acs2k+1πn×bsin2kπn
=12absin2k+1πn-2kπn=12absin2πn
所以多边形P0P1⋯⋯Pn-1P0的面积为n2absin2πn；
（3）证明：设Mx0,y0，所以x0=acs2kπn-sin2kπn2,y0=bcs2kπn+sin2kπn2
所以2x0a2+2y0b2=2，即x0212a2+y0212b2=1
所以M的轨迹方程为一个椭圆，A，B是该椭圆的焦点，
设c0=a2-b22,a0=22a,b0=22b
点Pk,Qk的坐标可化为Pkx0+a0y0b0,y0-b0a0x0,Qkx0-a0y0b0,y0+b0a0x0
所以MQk=-a0y0b0,b0a0x0,MPk=a0y0b0,-b0a0x0，
又因为MA=-c0-x0,-y0,MB=c0-x0,-y0
所以cs∠AMQk=MA⋅MQkMAMQk=a0c0y0b0+a0x0y0b0-b0x0y0a0x0+c02+y02MQk=c0y0b0a0+c0x0a0a0+c0x0a0MQk=c0y0b0MQk，
cs∠BMPk=MB⋅MPkMBMPk=a0c0y0b0-a0x0y0b0+b0x0y0a0x0-c02+y02MPk=c0y0b0a0-c0x0a0a0-c0x0a0MPk=c0y0b0MPk，
因为MQk=MPk，所以∠AMQk=∠BMPk.