[数学]广西壮族自治区贵港市2024届高考模拟预测试题(解析版)

这是一份[数学]广西壮族自治区贵港市2024届高考模拟预测试题(解析版)，共17页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由，得，解得，
所以，
由，得或，
所以，所以，
所以．
故选：B．
2. 已知正方形ABCD的四个顶点都在椭圆上，且椭圆的两个焦点分别为边AD和BC的中点，则该椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设正方形的边长为2，边AD和BC的中点分别为，椭圆的长半轴长为a（），半焦距为c（），
连接，则，，
所以离心率．
故选：C．
3. 下列说法中错误的是（ ）
A. 独立性检验的本质是比较观测值与期望值之间的差异
B. 两个变量x，y的相关系数为r，若越接近1，则x与y之间的线性相关程度越强
C. 若一组样本数据（）的样本点都在直线上，则这组数据的相关系数r为0.98
D. 由一组样本数据（）求得的回归直线方程为，设，则
【答案】C
【解析】A，独立性检验的本质是比较观测值与期望值之间的差异，从而确定研究对象是否有关联，A正确；
B，两个变量x，y的相关系数为r，若越接近1，则x与y之间的线性相关程度越强，B正确；
C，若一组样本数据（）的样本点都在直线上，则这组数据的相关系数r为1，C错误；
D，由残差分析可知，介于0与1之间，D正确.
故选：C．
4. 在四棱锥P-ABCD中，底面，四边形是矩形，且，点是棱上的动点（包括端点），则满足的点有（ ）
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
【答案】B
【解析】如图，连接．由已知可得，，又，
所以底面，所以，所以点在以为直径的圆上，
又由几何关系可知，以为直径的圆与直线相切，
故满足条件的点只有1个．
故选：B．
5. 已知等差数列的公差不为0，，给定正整数m，使得对任意的（且）都有成立，则m的值为（ ）
A. 4047B. 4046C. 2024D. 4048
【答案】A
【解析】若，由题意知，
由等差数列的性质知，若，则有，所以，
因为公差，且，所以，所以，
所以．
若，可得，
由等差数列性质知，若，则有，所以，
因为公差，且，所以，所以，
所以．
故选：A．
6. 已知函数，若成立，则实数a的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】，所以，即为偶函数，
对函数，，则，
因为，所以，，所以，故在上恒成立.
所以函数在上单调递增，所以在上单调递增.
所以，
所以，解得或．
故选：B．
7. 2024年4月6号岳阳马拉松暨全国半程马拉松锦标赛（第三站）开赛，比赛结束后，其中5男3女共8位运动员相约在赛道旁站成前后两排合影，每排各4人，若男运动员中恰有2人左右相邻，则不同的排列方法共有（ ）
A. 732种B. 2260种C. 4320种D. 8640种
【答案】D
【解析】根据题意，只能一排3男1女，另一排2男2女，且相邻的2位男运动员在“3男1女”这一排中．
先确定“3男1女”这一排，5男选3人，3女选1人，
所选3男选2人相邻，与余下1男安排在1女的两侧，
排列方法有种，
再确定“2男2女”这一排，2男先排好有，
2女相邻并放在2男之间有种，或2女放在2男成排的两空有种方式，
排列方法有种，
因此，不同的排列方法总数为．
故选：D．
8. 已知圆C：，直线l：，若l与圆C交于A，B两点，设坐标原点为O，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】圆C：的圆心为，半径为2，
直线l的方程可化为，于是l过定点，且，
显然，即，
又，因此，
设，，显然，
则，其中，当时等号成立，此时，
，符合条件，
所以的最大值为．
故选：D．

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 如图，在正方体中，P为线段的中点，Q为线段上的动点（不包括端点），则（ ）
A. 存在点Q，使得
B. 存在点Q，使得平面
C. 三棱锥的体积是定值
D. 二面角的余弦值为
【答案】BD
【解析】对于A，若，因为平面，平面，
所以平面，矛盾，故A错误．
对于B，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
设正方体棱长为2，则，
因为，
，
故，，
故，，
因为，平面，
故平面，当Q为的中点时，，
此时平面，故B正确．

对于C，Q在线段上运动，若三棱锥的体积为定值，则平面，
，，
设平面的法向量为，
则，
解得，令得，故，
故，故与不垂直，
故平面不成立，故C错误；
对于D，二面角即二面角，连接BP，DP，BD，
由于为等边三角形，
则，，所以为所求二面角的平面角，
不妨设正方体的棱长为2，则的棱长为，
故，，
由余弦定理可得，
二面角的余弦值为，故D正确．
故选：BD．
10. 已知复数，，，则下列说法中正确的有（ ）
A. 若，则或
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】ABD
【解析】对于A，或，故A正确．
对于B，方法：，，，所以以3为周期，所以，故B正确．
方法二（复数三角表示）：，所以的模为1，辐角为，则的模为1，辐角为，
所以．故B正确．
对于C，取，，则，此时，故C错误．
对于D，，，所以，故D正确．
故选：ABD．
11. 设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，，则（ ）
A.
B. 的图象关于直线对称
C. 在区间上为增函数
D. 方程仅有4个实数解
【答案】ACD
【解析】因为为奇函数，所以的图象关于点中心对称，
因为为偶函数，所以的图象关于直线对称．
可画出的部分图象大致如下（图中x轴上相邻刻度间距离均为）：

对于A，由图可知的最小正周期为，所以，故A正确．
对于B，的图象关于点中心对称，故B错误．
对于C，由图可知在区间上单调递增，故C正确．
对于D，，，，，
由图可知，曲线与的图象有4个交点，所以方程仅有4个实数解，故D正确．
故选：ACD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知向量，，，若，则______．
【答案】
【解析】由题意知，，
由于，则，
则，解得．
13. 若直线是函数的图象的切线，则的最小值为________．
【答案】
【解析】因为，则，
设切点为，则，
则切线方程为，即，
可得，，所以，
令，则，
当时，；当时，；
可知在内单调递减，在内单调递增，
可得，所以的最小值为．
14. 已知点P是双曲线C：（，）上一点，，分别是C的左、右焦点，设，若的重心和内心的连线垂直于x轴，则的取值范围为________．
【答案】
【解析】设C的半焦距为c（），离心率为e．
如图，设重心为Q，内心为I，则O，Q，P共线．
设内切圆与轴的切点为，与内切圆的切点分别为，
由双曲线的定义可得，
由圆的切线长定理得，
所以，
设内切圆的圆心横坐标为，则点的横坐标为，
所以，得，所以，
因为轴，不妨设点P在第一象限，则，
再由重心的性质知，由，可得．
所以，
所以，所以．
所以，
因为，所以，所以，
所以，所以，
所以．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，E为边CD的中点，沿AE把折起，使点D到达点P的位置，且．
（1）求证：平面；
（2）求三棱锥的表面积
（1）证明：由题可知，
，，
，，
为等边三角形，
，
，
．
，平面，
平面．
（2）解：由（1）得，，，
，
由三角形面积公式得，，
三棱锥的表面积
．
16. 如图，四边形ABCD内接于圆O，圆O的半径，，．
（1）求的大小以及线段AB的长；
（2）求四边形ABCD面积的取值范围.
解：（1）由题易知由正弦定理得，，
，
，
.
（2）方法一：延长AD，BC，交于点E.，.
设，
则.
四边形ABCD内接于圆O，，
，
，
，，，
即四边形ABCD面积的取值范围是.
方法二：连接OA，OB，OC，OD，由已知可得，是等边三角形.
设，则，
，
又，
，
，，
，即四边形ABCD面积的取值范围是.
方法三：设，，则.
由正弦定理得，
，
，
则
，
，，，
即四边形ABCD面积的取值范围为.
17. 某射击运动员进行射击训练，已知其每次命中目标的概率均为．
（1）若该运动员共射击6次，求其在恰好命中3次的条件下，第3次没有命中的概率；
（2）该运动员射击训练不超过n（）次，当他命中两次时停止射击（射击n次后，若命中的次数不足两次也不再继续），设随机变量X为该运动员的射击次数，试写出随机变量X的分布列，并证明．
解：（1）设第i次射击时命中目标为事件，该运动员射击6次恰好命中3次为事件B．
，
，
．
（2）随机变量X的所有可能取值为2，3，4，5，…，n．
若射击次停止，则第k次命中，前次射击中有一次命中，
故，，，
若射击n次停止，有两种结果：前次有一次命中或一次都没命中，
故．
随机变量X的分布列为
．
法一、易知，
，
易知时，，即，
∴，
．
法二、令，①
则，②
，得，
令，
则，
得，
，．
．
18. 已知函数．
（1）当时，请判断的极值点的个数并说明理由；
（2）若恒成立，求实数a的取值范围．
解：（1）当时，，，
所以，
令，则，
当时，，在上单调递增，
又，，存在唯一零点，且，
当时，，在上单调递减，
当时，，在单调递增．
有一个极小值点，无极大值点．
（2）恒成立，
恒成立，恒成立．
令，则，恒成立．
设，由（1）可知的最小值为．
又，．（﹡）
设，当时，，在上单调递增，
，，，
由（﹡）知，，即．
，
，，又，
a的取值范围为．
19. 已知两条抛物线，．
（1）求与在第一象限的交点的坐标．
（2）已知点A，B，C都在曲线上，直线AB和AC均与相切．
（ⅰ）求证：直线BC也与相切．
（ⅱ）设直线AB，AC，BC分别与曲线相切于D，E，F三点，记的面积为，的面积为．试判断是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
解：（1）联立方程，且，可得，
故有，从而，代入得，
所以两抛物线在第一象限的交点的坐标为．
（2）（ⅰ）设，，，
由题可知，，均不为0且不相等，直线AB，AC的斜率均存在，
则直线AB：，即直线AB：，
同理可得BC：，AC：．
联立，消去y得，
由AB与相切，得，
同理由AC与相切，得．
则，可得，
所以，即，
所以直线BC也与相切，证毕；
（ⅱ）不妨设，且A在B上方．
由于，在抛物线上，求导得，
所以点E，F处的切线方程为，，
得，解得，即，
同理，．
过C作y轴的平行线CP交AB于P点，过D作y轴的平行线DQ交EF于Q点，
则，，
由直线AB：，与联立，得，
所以，
同理由直线EF：，与联立，得，
所以，故，
所以．