（计数问题专项讲义）专题2+容斥原理-小升初数学模块化思维提升（通用版）

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（知识梳理+典题精讲+专项训练）
1、在日常生活中，人们常常需要统计一些数量，在统计的过程中，往往会发现有些数量重复出现，为了使重复出现的部分不致被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，既先不考虑重复的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排除出去，使计算的结果既无遗漏又无重复．这种计数方法称为包含排除法，也叫做容斥原理或重叠问题．
一般方法：
在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图（韦恩图）来帮助分析思考．
容斥原理1：两量重叠问题
A类与B类元素个数的总和=A类元素的个数+B类元素个数-既是A类又是B类的元素个数用符号可表示成：A∪B=A+B-A∩B （其中符号“∪”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思，符号“∩”读作“交”，相当于中文“且”的意思）．
容斥原理2：三量重叠问题
A类、B类与C类元素个数的总和=A类元素的个数+B类元素个数+C类元素个数-既是A类又是B类的元素个数-既是B类又是C类的元素个数-既是A类又是C类的元素个数+同时是A类、B类、C类的元素个数．
用符号表示为：A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-A∩C+A∩B∩C
【典例一】47名同学参加了数学和语文考试，两门都没得100分的有26人，数学得满分的有17人，语文得百分的有12人，试问两门都得100分的有几人？
【典例二】六一班的王老师在一次数学测验中共出了三道题，结果做对第一题的有39人，做对第二题的有42人，做对第三题的有28人，同时做对第一、二题的有33人，做对第一、三题的有22人，做对第二、三题的有21人，全对的有17人，没有全错的．全班有多少人？
【典例三】东方小学的统计数据表明：学校共有学生1200名，其中男生650名，高年级学生300名，三好学生100名，男生中的三好学生60名，高年级学生中男生160名，高年级女生中三好学生20名，非高年级女生中不是三好学生的400名．试说明：这个统计数据一定有错误．
一．选择题（共8小题）
1．六（1）班有48人，其中喜欢打乒乓球，喜欢打篮球，没有人既不喜欢打乒乓球又不喜欢打篮球。两种球都喜欢的有 人。
A．32B．36C．28D．20
2．九龙坡区今年五月份的天气有4种情况（如图），五月份至少有 天是同一种天气。
A．6B．7C．8D．9
3．下列4句话中正确的说法是哪些？
（1）步测一段距离，每步的平均长度和走的步数成反比例．
（2）用4个圆心角是的扇形肯定可以拼成一个圆．
（3）将形状、大小一样的红、白两种颜色的小球各5个，放在一个不透明的袋子里，任意摸出1个球，摸到红球和白球的可能性相等．
（4）一个班有40名学生，其中有18人参加美术组，15人参加数学组，有10人这两个小组都参加，那么这两个小组都没参加的有17人．
A．（1）（2）（3）B．（1）（3）（4）C．（2）（3）（4）D．（1）（2）（4）
4．六（1）班有46人，喜欢打乒乓球的有32人，喜欢打羽毛球的有26人，既喜欢打乒乓球又喜欢打羽毛球的至少有 人。
A．11B．12C．13D．14
5．某单位举办设有、、三个项目的趣味运动会，每位员工三个项目都可以报名参加。经统计，共有72名员工报名，其中参加、、三个项目的人数分别为26、32、38，三个项目都参加的有4人，则仅参加一个项目的员工人数是
A．48B．40C．52D．44
6．在一次国际会议上，人们发现与会代表中有10人是东欧人，有6人是亚太地区的，会说汉语的有6人。欧美地区的代表占了与会代表总数的以上，而东欧代表占了欧美代表的以上。由此可见，与会代表人数可能是
A．22人B．21人C．19人D．18人
7．某班学生从颁奖大会上得知，该班获得奖励的情况如表所示：
已知该班共有28人获得奖励，其中只获得两项奖励的有且只有13人，那么该班获奖励最多的一位同学获得的奖励最多为
A．3项B．4项C．5项D．6项
8．有53人参加了英语兴趣小组和科学兴趣小组，其中参加英语兴趣小组的有32人，参加科学兴趣小组的有28人，英语兴趣小组和科学兴趣小组都参加的有 人．
A．6B．7C．8D．9
二．填空题（共8小题）
9．有两项社团活动，班级30名同学报名参加，每人至少参加一项，其中有的同学参加了科技社团，的同学参加了文艺社团。有 人参加了两项社团活动。
10．全班48位同学中有参加音舞类课外兴趣小组活动，有参加书画类课外兴趣小组活动，有5位同学两类课外兴趣小组活动都没有参加，有 位同学两类课外兴趣小组活动都参加。
11．（容斥原理）一次数学竞赛有，，三题，参赛的39个人中，每人至少答对了一道题。在答对的人中，只答对的比还答对其他题目的多5人；在没答对的人中，答对的是答对的2倍；又知道只答对的等于只答对的与只答对的人数之和，那么答对的最多有 人。
12．对120种食物是否含有维生素甲、乙、丙进行调查，结果是：含甲的62种，含乙的90种，含丙的68种；含甲、乙的48种，含甲、丙的36种，含乙、丙的50种；含甲、乙、丙的25种．问仅含维生素甲的有 种．
13．五年级一班共有36人，每人参加一个兴趣小组，共有、、、、五个小组，若参加组的有15人，参加组的人数仅次于组，参加组、组的人数相同，参加组的人数最少，只有4人。那么，参加组的有 人。
14．某校参加数学竞赛有120名男生，80名女生．参加语文竞赛有120名女生，80名男生．已知该校总共有260名学生参加了竞赛，其中有75名男生两科竞赛都参加了，那么只参加数学竞赛而没有参加语文竞赛的女生人数是 人．
15．六年级三个班共订阅了25种杂志，其中一班订了15种，二班订了16种，三班订了14种，一班和二班相同的有10种，二班和三班相同的有5种，一班和三班相同的有6种，三个班都订的杂志有 种．
16．在一次考试中，某班数学得100分的有17人，语文得100的有13人，两科都得100分的有7人，两科至少有一科得100分的共有 人：全班45人中两科都不得100的有 人．
三．解答题（共9小题）
17．五年级一班有40人，他们都参加了英语课外兴趣小组或信息技术课小组，已知参加了英语课外小组的有32位同学，参加了信息技术课外小组的有20位同学，那么，两个小组都参加的同学有多少位？
18．四、五年级参加植树的共有多少人？
19．某校六年级有120名学生，参加体育、文学、数学兴趣小组的人数之和为135，其中，既参加了体育兴趣小组又参加了文学兴趣小组有15人，既参加了体育兴趣小组又参加了数学兴趣小组有10人，既参加了文学兴趣小组又参加了数学兴趣小组有8人，三个兴趣小组都参加的有4人，求三个兴趣小组都没有参加的人数．
20．已知全班共有46人，有35人喜欢打篮球，还有35人喜欢踢足球，还有38人喜欢游泳，还有40人喜欢乒乓球，问四种运动都参加的至少有多少人？（体育项目与原题有出入）
21．某班有36名同学参加一项测试，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人。若用长方形面积代表全班人数，大圆的面积代表第一题答对人数，小圆面积代表第二题答对人数，大小圆重叠部分面积代表两题都答对人数，两题都没答对的同学有多少名？
22．某年级有60人中有的同学爱打乒乓球，的同学爱踢足球，的同学爱打篮球，这三项运动都爱好的有24人，问这个年级最多有多少人这三项运动都不爱好？
23．六（1）班一次数学测试，语文及格率是，数学及格率是，的人语、数都不及格，语、数两科都及格的有44人，六（1）班共有多少名学生？
24．某次考试共有5道题，考试结果统计如下：做对第一道题的占总人数的，做对第二道题的占总人数的，做对第三道题的占总人数的，做对第四道题的占总人数的，做对第五道题的占总人数的，如果做对三道以上（包括三道）题目为及格，那么这次考试的及格率至少是百分之几？
25．科学兴趣小组的同学去采集标本．采集到昆虫标本的有25人，采集到植物标本的有19人，两种标本都采集到的有8人，兴趣小组共有42人．没有采集到标本的有多少人？
人 数
项目
级 别
三好学生
优秀学生干部
优秀团员
市 级
3
2
3
校 级
18
6
12