（计数问题专项讲义）专题5+烙饼问题-小升初数学模块化思维提升（通用版）

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（知识梳理+典题精讲+专项训练）
1、烙饼问题公式：
总时间=饼数×2÷每锅的可烙的数量×烙每面的时间
当时间算出来不为整数时，采用进一法取近似数．如饼数为4，每一锅的只数为3时，根据公式，4×2÷3×1≈3分
2、深层意义：
烙饼问题只是一种数学思考的方法．其实这种合理安排时间的问题，就是“优化问题”，也是被数学家华罗庚称作“运筹安排”的问题．
【典例一】妈妈早晨起床后，要做的事和时间如下：梳头需5分钟，刷牙、洗脸、化妆15分钟，淘米、下锅3分钟，电饭锅煮粥30分钟，准备煎饼材料7分钟，已知家中只有一个煎饼锅，一次只能放两块鸡蛋饼，煎一张饼要2分钟（正、反面各用1分钟）妈妈要煎好5块饼，并为家人做好早饭，最少需要多少分钟？
【分析】分析题意可知，用电饭锅煮粥的30分钟里可以干其他事情，因此将梳头、刷牙、洗脸、化妆安排在煮粥的时间段内；先淘米，下锅，再煮饭，在剩下的时间里准备煎饼材料，并开始做煎饼；接下来计算出做煎饼用的时间，即可得到妈妈一共需要的时间。
【解答】解：准备煎饼材料7分钟，煎好5块饼，至少需要（分钟）
（分钟），先淘米，下锅，用3分钟，在电饭锅煮粥的同时，可以梳头、洗脸、化妆，用20分钟，剩下的时间10分钟里准备煎饼材料，并开始做煎饼，
一共需要：
（分钟）
答：最少需要35分钟。
【点评】解决此类问题的方法是使效率最大化，即锅能放满就尽量放满，不做无用工。
【典例二】周末，妈妈给全家准备早餐，需要做以下几件事情。
（1）妈妈怎样安排比较合理并且省时间？至少要用多少分钟？
（2）如果还要给全家5个人每人煎1个鸡蛋（用平底锅），每个鸡蛋正、反面各煎1分钟，锅里可同时煎2个鸡蛋，煎好鸡蛋至少要用多少分钟？现在做好早餐至少要用多少分钟？
【分析】（1）安排比较合理并且省时间，可以先淘米，再熬粥，熬粥的同时蒸馒头、最后倒牛奶；
（2）煎好鸡蛋需要5分钟，蒸馒头的同时煎鸡蛋，即可作答。
【解答】解：（1）（分钟）
答：先淘米，再熬粥，熬粥的同时蒸馒头、倒牛奶，至少要用22分钟。
（2）（分钟）
答：煎好鸡蛋需要5分钟，蒸馒头的同时煎鸡蛋，做好早餐至少要用22分钟。
【点评】本题考查了学生在生活中利用统筹方法解决实际问题的能力。
一．选择题（共8小题）
1．林林家的电饼铛煎一个鸡蛋需要4分钟（两面煎，每面需2分钟），一次最多可同时煎2个鸡蛋，林林想煎5个鸡蛋，最少需要 分钟。
A．6B．8C．10D．12
【分析】先煎2个，再交替煎3个，这样比较节约时间。
【解答】解：把5个鸡蛋编号，可以这样煎：①正②正、①反②反、③正④正、③反⑤正、④反⑤反；一共煎5次，每次2分钟，最少需要：
（分钟）
答：最少需要10分钟。
故选：。
【点评】解决此类问题的方法是使效率最大化，即锅能放满就尽量放满，不做无用功。
2．烤面包的架子上一次最多只能放2片面包，每片面包正、反面都要烤，且正反面各需要4分，那么烤3片面包至少需要 分。
A．6B．8C．12
【分析】烙饼问题公式：总时间饼数每锅的可烙的数量烙每面的时间。
【解答】解：
（分钟）
答：烤3片面包至少需要（12分）。
故选：。
【点评】此题考查了烙饼问题的应用，要熟记公式。
3．复印机每次可以同时复印2张资料，复印一张资料要6秒（正、反面各3秒），复印5张资料最少需要的时间（单位：秒）是
A．30B．18C．15
【分析】根据烙饼问题公式：最少需要的时间饼数每次烙的饼数每面所需时间，计算即可。
【解答】解：（秒
答：复印5张资料最少需要的时间是15秒。
故选：。
【点评】本题主要考查烙饼问题公式的应用。
4．妈妈用一个平底锅烙饼，每次最多能烙4张饼，两面都要烙，每面2分钟，烙10张饼至少要 分钟。
A．8B．10C．12D．14
【分析】根据“总时间饼数每锅的可烙的数量烙每面的时间”直接计算即可。
【解答】解：（分
答：烙10张饼至少要10分。
故选：。
【点评】解决此类问题的方法是使效率最大化，即锅能放满就尽量放满，不做无用功。
5．王阿姨用烤箱烤鱼，每条鱼要烤两面，每面烤4分钟，烤箱一次只能放2条鱼，那么烤熟5条鱼至少需要 分钟。
A．12B．15C．18D．20
【分析】利用烙饼问题公式：最少所用时间饼数每次烙的饼数每面所需时间，计算即可。
【解答】解：（分钟）
答：烤熟5条鱼至少需要20分钟。
故选：。
【点评】本题主要考查烙饼问题公式的应用。
6．在烤炉上烤饼，饼的两面都要烤，每烤一面需要2分钟，炉上每次最多只能放2张饼，要烤3张饼，至少需要 分钟。
A．3B．4C．6D．12
【分析】先烤第一张饼和第二张饼的正面，需要2分钟，然后烤第一张饼的反面和第三张饼的正面，需要2分钟，最后烤第二张饼和第一张饼的反面，需要2分钟，据此解答即可。
【解答】解：（分钟）
答：要烤3块饼，至少需要6分钟。
故选：。
【点评】解决此类问题的方法是使效率最大化，即锅能放满就尽量放满，不做无用工。
7．有三位小朋友要玩跷跷板，每人要玩2次，每次要3分钟，他们至少要用 分钟才能玩完。
A．9B．6C．12
【分析】假设3个小朋友分别是甲、乙、丙，三人每人都玩2局，则三个人两两双人玩，只需3次：甲乙、甲丙、乙丙，即可得解。
【解答】解：（分钟）
答：他们至少要用9分钟才能玩完。
故选：。
【点评】统筹安排时间，要兼顾使事情能够顺利完成，本题关键是理解每人都想玩2局，则合理安排每次的人选。
8．爸爸星期天在家煎鸡蛋．每次只能煎两个鸡蛋，两面都要煎，每面要2分钟．煎3个鸡蛋最少要用 分钟．
A．4分钟B．6分钟C．8分钟
【分析】为了便于说明问题把三个鸡蛋分别编号为1、2、3号，可以采用交替煎的办法，先放1、2号，2分钟后把其中的一个取出，比如把2号取出，再把3号放入，1号煎反面；2分钟后，1号熟了取出，再把2号放入；再过2分钟，2、3都熟了；这样一共用了6分钟．
【解答】解：先把2个鸡蛋同时下锅，2分钟时，将其中一只盛上来，另外一只翻面，同时，再放第三只鸡蛋；
第4分钟，第一次放的那只鸡蛋可以出锅了，最后放的那只鸡蛋翻面，同时将盛起来的鸡蛋翻面放下去；
第6分钟，就全部可以上锅；
答：煎3个蛋最少要6分钟．
故选：．
【点评】本题需要采用交替煎的办法，这样使锅里始终没有空位，能比先煎两个后煎一个要节省2分钟．
二．填空题（共8小题）
9．小玲、小可和小芳三个小朋友一起玩“荡秋千”“滑滑梯”这两个游乐项目，约定每个项目只能一个人玩，且每人每个项目玩5分钟，三个人至少要用 15 分钟才能将两个项目都玩一次。
【分析】小玲玩“荡秋千”的同时小可玩“滑滑梯”，需要5分钟；小玲玩“滑滑梯”的同时小芳玩“荡秋千”，需要5分钟；小可玩“荡秋千”的同时小芳玩“滑滑梯”，需要5分钟。也就是需要3个5分钟，列式解答即可。
【解答】解：
（分钟）
答：三个人至少要用15分钟才能将两个项目都玩一次。
故答案为：15。
【点评】各项设施都同时有人玩，人闲设备不闲，合理统筹，才能使总等候的时间最短。
10．用平底锅烙鸡蛋饼，锅上只能同时放2张鸡蛋饼，烙熟一面需要2分钟，两面都要烙，烙熟4张饼最少需要 8 分钟，烙熟5张饼最少需要 分钟。
【分析】（1）烙4张饼：一次烙2张，2次烙4张，据此解答即可；
（2）烙5张饼：先同时烙两张，正反面共需分钟；再烙后三张，先烙第一张与第二张的正面需2分钟，然后烙第一张的反面与第三张的正面需要2分钟，最后烙第二张的反面与第三张的反面需2分钟，烙完3张共需（分钟），5张共需（分钟）；据此解答即可。
【解答】解：（1）
（分钟）
答：烙熟4张饼最少需要8分钟。
（2）先同时烙两张，正反面共需（分钟）
再烙后3张共需（分钟）
5张共需（分钟）
答：烙熟5张饼最少需要10分钟。
故答案为：8；10。
【点评】此题考查了学生的利用统筹思想进行合理安排事情的能力，抓住锅内始终有2张饼在烙是本题的关键。
11．“铁板烧”烤鱿鱼时，鱿鱼两面都要烤。一张铁板烧可同时烤4条鱿鱼，烤一面需要2分钟，用这张铁板烧烤6条鱼至少需要 6 分钟。
【分析】烙饼问题公式：总时间饼数每锅可烙的数量烙每面的时间。
【解答】解：
（分钟）
答：用这张铁板烧烤6条鱼至少需要6分钟。
故答案为：6。
【点评】此题考查了烙饼问题的应用，要熟记公式。
12．复印机可以同时复印2张稿件，复印一面要30秒，有3张稿件正、反两面都要复印，最少需要 90 秒可以复印完。
【分析】要求复印完最少需要的时间，需要先求出复印完最少需要的次数；复印机若同时可以复印2张稿件，有3张稿件两面都要复印，最少需要复印次；用复印一面需要的时间乘最少需要复印的次数即可解答。
【解答】解：
（秒
答：最少需要90秒可以复印完。
故答案为：90。
【点评】本题主要考查烙饼问题的应用，解决此类问题的方法是使效率最大化，即锅能放满就尽量放满，不做无用功。
13．学校跳蚤市场上，莹莹和芸芸两人一边创作一边出售创意手绘袋。她们需要根据顾客要求的图案在手绘袋的两个面上作画，画好一面平均需要6分钟。一位同学要买3个手绘袋，莹莹和芸芸至少 18 分钟才能画好。
【分析】利用烙饼问题公式：最少需要的时间饼数每次烙的饼数每面所需时间，计算即可。
【解答】解：（分钟）
答：莹莹和芸芸至少18分钟才能画好。
故答案为：18。
【点评】本题主要考查烙饼问题公式的应用。
14．某洗车店洗车分为外部清洁和内容清洁，两道工序时间均不少于30分钟，而且同一辆车两道工序不能同时进行，洗车间同一时间只能容下2辆车。现有7辆车需要清洗（汽车进出洗车间的时间忽略不计），请问洗完7辆车至少需要 210 分钟。
【分析】由题意可知，第1辆车再进行第1道工序时，第2辆车可以进行第2道工序，相当于清洁1辆车，
每辆车都有2道工序，共14道工序，，7辆车相当于洗7次，
用车的辆数乘30分等于需要的时间即可解答。
【解答】解：（分
答：洗完7辆车至少需要210分。
故答案为：210。
【点评】掌握烙饼问题的解决方法是解题的关键。
15．小猫去河边钓鱼，有三条小路，它们的长度分别是620米、540米、360米，其中有一条小路与小河是垂直的，那么这条小路的长度是 360 米。钓完鱼后，小猫回家用一只平底锅煎鱼，每次只能煎2条，两面都要煎，煎好一面需要3分钟，煎9条鱼至少需要 分钟。
【分析】根据点到直线的距离垂线段最短，由此进行解答即可得这条小路的长度；前6条鱼按照正常方法煎，共需要（分，后三条鱼可以这样煎：为了便于说明问题把三条鱼分别编号为1、2、3号，可以采用交替煎的办法，先放1、2号，3分钟后把其中的一个取出，比如把2号取出，再把3号放入，1号煎反面；3分钟后，1号熟了取出，再把2号放入；再过3分钟，2、3都熟了；这样一共用了（分钟），两个时间相加即可解答。
【解答】解：因为这条小路与公路是垂直的，垂线段最短，
所以这条小路的长度是360米。
前6条鱼按照正常方法煎，共需要（分
剩下3条可以这样煎：
第1次先把2条鱼同时下锅，3分钟时，将其中一条盛上来，另外一条翻面，同时，再放第三条鱼；
第二次，第一次放的那条鱼可以出锅了，最后放的那条鱼翻面，同时将盛起来的鱼翻面放下去；
第三次，就全部可以上锅；
共用（分
共需：（分
答：煎9条鱼至少需要27分钟。
故答案为：360，27。
【点评】本题考查最短路线问题，解题关键是了解点到直线的距离垂线段最短；解决此类问题的方法是使效率最大化，即锅能放满要尽量放满，不做无用功。
16．为充分发挥“劳动教育”的育人功能，学校周末布置了一项实践作业：为家人做一次早餐。明明准备煎7个荷包蛋，一个平底锅一次最多只能煎两个，每个荷包蛋煎熟需要4分钟（正、反各2分钟），最少需要 14 分钟煎完。
【分析】至少需要的时间饼数平均烙每面用的时间。
【解答】解：（分
所以最少需要14分钟煎完。
故答案为：14。
【点评】掌握解决烙饼问题的方法是解题的关键。
三．解答题（共8小题）
17．在火炉上烤饼，饼的两面都要烤，每烤一面要3分钟，炉上只能同时放2块饼，现在需要烤3块饼，至少需要多少分？
【分析】3块饼可以这样烤：第1次先把2块饼同时放到火炉上，3分钟时，将其中一块饼拿出来，另外一块饼翻面，同时，再放第三块饼；第二次，第一次放的那块饼可以烤熟了，最后放的那块饼翻面，同时将拿出来的饼翻面放下去；第三次，就全部烤熟了．
【解答】解：3块饼可以这样烤：第1次先把2块饼同时放到火炉上，3分钟时，将其中一块饼拿出来，另外一块饼翻面，同时，再放第三块饼；
第二次，第一次放的那块饼可以烤熟了，最后放的那块饼翻面，同时将拿出来的饼翻面放下去；
第三次，第二块饼和第三块饼的反面，就全部烤熟了．
共用（分．
答：至少需要9分钟．
【点评】烙饼优化问题中，要统筹安排烙饼的顺序，使事情能够顺利完成，但又不至于相互干扰．
18．四年级同学到和平农庄参加社会实践活动，中午6人一组动手做烧烤吃，铁板的上每次只能放4条鱼，烤熟一条鱼要6分钟（每面各要三分钟），可是第5小组的同学烧6条鱼只用了9分钟，你能说说他们是怎么做的吗？
【分析】把6条鱼编号，分别为①②③④⑤⑥，先烤①到④的正面，需要3分钟；然后取出③④，①②翻面，放入⑤⑥，3分钟后拿出①②，同时⑤⑥翻面，然后放入③④的反面，3分钟后即可吃到鸡翅。至少需要9分钟。
【解答】解：应先往铁板上放4条鱼，先烤熟一面后拿出2条，再放入另2条，当再烤熟一面时把熟的2条拿出来，再放入早拿出的那2条，使4条鱼同时熟，共需：
（分钟）
答：先往铁板上放4条鱼，先烤熟一面后拿出2条，再放入另2条，当再烤熟一面时把熟的2条拿出来，再放入早拿出的那2条，使4条鱼同时熟。
【点评】本题主要考查了烙饼问题，在解答此类题目时要根据实际情况进行推论，既要节省时间又不能造成浪费。
19．妈妈烙饼：要烙熟一个饼的两面各需五分钟，一口锅一次只能放两个饼．爸爸、妈妈、小红每人要吃一个饼，那么怎样才能使全家人尽快吃上饼呢？小红说：“烙一个饼要10分钟，烙3个要30分钟”．爸爸说：“先烙两个，再烙一个，这样烙3个饼需要20分钟”．妈妈说：“我烙三个饼只要15分钟”．小红想了一会，开心的对妈妈说：“还是妈妈最棒”．你们说说妈妈能在15分钟内烙熟三个饼吗？妈妈又是怎样烙饼的？
【分析】为了便于说明问题把三张饼分别编号为1、2、3号，可以采用交替烙的办法，先放1、2号，5分钟后把其中的一个取出，比如把2号取出，再把3号放入，1号烙反面；5分钟后，1号熟了取出，再把2号放入，3号烙反面；再过5分钟，2、3都熟了；这样一共用了分钟．据此即可得解．
【解答】解：3张可以这样烙：
第1次先把2张饼同时下锅，5分钟时，将其中一张盛上来，另外一张翻面，同时，再放第三张饼；
第二次，第一次放的那张饼可以出锅了，最后放的那张饼翻面，同时将盛起来的饼翻面放下去；
第三次，就全部可以出锅了；用了（分．
答：按照上述烙法，妈妈可以在15分钟内烙熟3张饼．
【点评】本题需要采用交替烙的办法，这样使锅里始终没有空位，能比先烙2个后烙一个要节省时间．
20．如果你是小明，你会怎样做？
（1）画图或表分析煎3片面包的过程．
（2）列式计算．
【分析】（1）此类问题中，尽量使锅里每次都有两片面包在煎，由此进行合理安排即可解决问题；
（2）3个人，每人两片面包，共需要片，每次锅里放两片，3次即可煎完，然后用煎一锅的时间乘次数即可．
【解答】解：（1）3片面包分别用序号1、2、3表示：
（分钟）
答：煎3片面包，至少需要6分钟．
（2）共需要：（片，
（分钟）
答：小明全家至少需要12分钟才能吃到面包．
【点评】此题考查了学生的利用统筹思想进行合理安排事情的能力，抓住锅内始终有2片面包在煎是本题的关键．
21．用一个平底锅烙饼，每次只能烙2张饼，两面都要烙，每面需要烙4分。
（1）烙2张饼需要多长时间？画出烙饼的过程。
（2）烙3张、4张、5张饼分别需要多长时间？分别画出烙饼的过程。
（3）如果继续往下烙6张、7张、8张饼，分别需要多长时间？你有什么发现？
（4）如果要烙张饼，需要多长时间？用含有字母的式子表示。
【分析】（1）假设两张饼分别为1，2，第一次：放1，2正面，用时4分钟；第二次：放1，2反面，用时4分钟，由此画图解答；
（2）依据（1）去解答；
（3）（4）找出其中规律去解答。
【解答】解：（1）
（分钟）
答：烙2张饼需要8分钟。
（2）烙3张饼：，（分钟）
答：烙3张饼需要12分钟。
烙4张饼：，（分钟）
答：烙4张饼需要16分钟。
烙5张饼：，（分钟）
答：烙5张饼需要20分钟。
（3）烙6张饼需要时间：（分钟）；
烙7张饼需要时间：（分钟）；
烙8张饼需要时间：（分钟）；
我发现：每多烙1张饼时间增加4分钟。
（4）（分钟）
答：如果要烙张饼，需要分钟。
【点评】先画出烙饼的过程，找出其中的规律去解答。
22．一个电脑游戏，每局的时间是3分，可以单人玩，也可以双人玩，一台电脑最多可以两人同时玩。现在只有一台电脑，甲、乙、丙三人每人都想玩两局。
（1）如何安排能让每个人都尽快玩到两局？请画图表示你的安排。
（2）算一算，每人都玩两局，至少需要多少分？
【分析】（1）甲乙玩一局、乙丙玩一局，甲丙玩一局，画图见详解。
（2）每局3分钟，3局就有3个3分钟，列式为：，据此解答即可。
【解答】解：（1）甲乙玩一局、乙丙玩一局，甲丙玩一局，画图如下：
（2）（分
答：至少需要9分。
【点评】此题考查烙饼问题，解答的关键是理解题意再进行列式计算。要做的事情
淘米
倒牛奶
蒸馒头（用蒸锅）
熬粥（用电饭锅）
用时分钟
2
1
18
20
面包
所用时间
第一次煎
1正、2正
2分钟
第二次煎
1反、3正
2分钟
第三次煎
2反、3反
2分钟