(小升初备考讲义)专题一 容斥原理(计算技巧篇)（讲义）-2023-2024学年六年级数学下册全国通用

这是一份(小升初备考讲义)专题一 容斥原理(计算技巧篇)（讲义）-2023-2024学年六年级数学下册全国通用，共25页。

【考点概况】
在计数时，必须注意没有重复，没有遗漏。为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
【方法总结】
在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图（韦恩图）来帮助分析思考．
容斥原理1：三量重叠问题
1、A类、B类与C类元素个数的总和＝A类元素的个数+B类元素个数+C类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数﹣既是B类又是C类的元素个数﹣既是A类又是C类的元素个数+同时是A类、B类、C类的元素个数．
2、用符号表示为：A∪B∪C＝A+B+C﹣A∩B﹣B∩C﹣A∩C+A∩B∩C
容斥原理2：两量重叠问题
1、A类与B类元素个数的总和＝A类元素的个数+B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数
2、用符号可表示成：A∪B＝A+B﹣A∩B （其中符号“∪”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思，符号“∩”读作“交”，相当于中文“且”的意思）．
【典例分析】
【典例1】某校六⑴班有学生45人，每人在暑假里都参加体育训练队，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，问：三项都参加的有多少人？
【分析】参加足球队的人数25人为A类元素，参加排球队人数22人为B类元素，参加游泳队的人数24人为C类元素，既是A类又是B类的为足球排球都参加的12人，既是B类又C类的为足球游泳都参加的9人，既是C类又是A类的为排球游泳都参加的8人，三项都参加的是A类B类C类的总和设为X。注意：这个题说的每人都参加了体育训练队，所以这个班的总人数即为A类B类和C类的总和。
【答案】25+22+24-12-9-8+X=45 ，解得X=3
【典例2】某个班的全体学生在进行了短跑、游泳、投掷三个项目的测试后，有4名学生在这三个项目上都没有达到优秀，其余每人至少有一项达到了优秀，达到了优秀的这部分学生情况如下表：
求这个班的学生共有多少人？
【分析】这个班的学生数，应包括达到优秀和没有达到优秀的。
4+17+18+15-6-6-5+2=39（人）
【典例3】在一根长的木棍上有三种刻度线，第一种刻度线将木棍分成10等份，第二种将木棍分成12等份，第三种将木棍分成15等份。如果沿每条刻度线将木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？
【分析】很显然，要计算木棍被锯成多少段，只需要计算出木棍上共有多少条不同的刻度线，在此基础上加1就是段数了。
若按将木棍分成10等份的刻度线锯开，木棍有9条刻度线。在此木棍上加上将木棍分成12等份的11条刻度线，显然刻度线有重复的，如5/10和6/12都是1/2。同样再加上将木棍分成15等份的刻度线，也是如此。所以，我们应该按容斥原理的方法来解决此问题。用容斥原理的那一个呢？想一想，被计数的事物有那几类？每一类的元素个数是多少？
【解答】总长看成单位1分别分成10、12、15段。1/10与1/12的最小公倍数1/2，1/10与1/15的最小公倍数1/5，1/12与1/15的最小公倍数1/3，1/10，1/12和1/15的最小公倍数为1，有10+12+15-（2+5+3）+1=28
一．选择题（共10小题）
1．在使用计算器时，可以用（ ）键开机。
A．ON/CB．CEC．OFFD．M+
2．某班同学积极参加跳绳比赛，参加集体比赛的有10人、参加个人比赛的有19人，两项都参加的有8人，这个班共有（ ）人参加跳绳比赛．
A．21B．27C．29D．37
3．三（1）班有30人，订阅《少儿书画》的有20人，订阅《少年博览》的有25人，每人至少订阅一种刊物，两种刊物都订阅的有（ ）人．
A．15B．25C．35
4．同学们去秋游，休息时玩了2个游戏．玩贴鼻子的有27人，玩抢椅子的有34人，两个游戏都玩的有11人，参加秋游的同学共（ ）人．
A．72B．61C．50
5．妈妈昨天买的菜有：萝卜、黄瓜、白菜、茄子、排骨、鱼．今天买的菜有：豆腐、白菜、茄子、牛肉、黄瓜、虾．妈妈两天一共买了（ ）种菜．
A．8B．9C．10
6．小强和小刚经常向王爷爷借书来读．已知王爷爷有100本书，其中小强读过的书有60本，小刚读过的书有50本，两人都读过的书有20本，那么（ ）
A．两人都没读过的书有20本
B．小强读过但小刚没读过的书有30本
C．小刚读过但小强没读过的书有40本
D．只有一人读过的书有70本
7．李老师出了两道题，全班43人中答对A题的有25人，答对B题的有19人，两道题都不会的有5人。两道题都答对的有（ ）人。
A．1B．4C．6D．8
8．有30人参加跳高和跳远比赛，其中参加跳高比赛的有17人，参加跳远比赛的有20人，两项比赛都参加的有（ ）人。
A．5B．6C．7D．8
9．小明统计了四年级二班同学参加航模和轮滑两个课外小组的人数，分别是19人和28人，总人数为42人，他用图表示如下，（ ）图是正确的。
A． B． C．
10．阳光小学三（2）班有48人参加了两种兴趣班，其中27人参加了书法兴趣班，28人参加了英语兴趣班，有（ ）人既参加了书法兴趣班，又参加了英语兴趣班．
A．9B．8C．7
二．填空题（共20小题）
11．北街小学三（1）班有55个同学，一次半期测试后统计语文成绩达到优秀的有39人，数学成绩达到优秀的有41人，语文和数学成绩都达到优秀的有 人．
12．同学们到动物园游玩，参观熊猫馆的有25人，参观大象馆的有30人，两个馆都参观的有18人．去动物园的一共有 人．
13．学校艺术团开始报名了!三（2）班参加鼓号队的有14人，参加合唱队的有21人，两个队都参加的有7人．三（2）班参加鼓号队和合唱队的一共有 人．
14．三（1）班有40人，全部都参加了艺术培训．有20人学唱歌，有32人学美术，两种都学的学生有 人．
15．三年级（1）班有12人参加了数学竞赛，有15人参加了语文竞赛，有4人两项竞赛都参加了，三年级（1）班参加数学和语文竞赛的一共有 人．
16．如图是三（1）班参加绘画组和硬笔书法组的情况，根据图意填空。
（1）三（1）班参加绘画组的有 人；既参加绘画组又参加硬笔书法组的有 人。
（2）三（1）班参加绘画组的和硬笔书法组的一共有 人。
17．同学们去动物园参观，参观熊猫馆的有10人，参观大象馆的有18人，两个馆都参观的8人．一共有 人参观动物园．
18．一次数学测验只有两道题，全班40人参加，答对第一题的学生有30人，答对第二题的有21人，两道题都答对的有15人，两道题都没有答对的有 人．
19．三年级同学参加朗诵比赛的有52人，参加绘画比赛的有49人，两项都参加的有15人，三年级有 人参加了比赛．
20．兴趣小组有9人参加跳绳比赛、6人参加踢毽子比赛，其中有3人两项比赛都参加了，没有不参赛的，这个兴趣小组一共 人．
21．三（3）班有25人订阅了《趣味数学》，有19人订阅了《科学画报》，有11人两种刊物都订阅了，订阅这两种刊物的共 人．
22．学校乐队招收了若干名新学员，其中会拉小提琴的有25名，会弹电子琴的有22名，两项都会的有3名．学校乐队共有 名新学员．
23．三（1）班有32人，校运会上，参加跳绳的有22人，参加踢毽子的有16人，其中两项都参加的有8人，两项都没参加的有 人．
24．元旦联欢的时候，三一班一共有36人表演了三项节目，其中18人表演了团体操，15人表演了舞蹈，6人只表演了唱歌．团体操和舞蹈两项都表演的有 人．
25．三年级有学生100人，喜欢数学的有72人，喜欢语文的有53人．这两科都喜欢的有 人．
26．去年某学校“校园艺术周”绘画展出了许多幅图，其中22幅不是初一的，25幅不是初二的，现在知道初一、初二共有33幅图，因此初三年级的共有 幅图.
27．四年级（2）班参加绘画兴趣小组有38人，参加唱歌兴趣小组的有27人，每人至少参加一样，两样都参加的有9人，四年级（2）班有 人．
28．四（1）班有46人，其中会弹钢琴的有30人，会拉小提琴的有28人，则这个班既会弹钢琴又会拉小提琴的至少有 人．
29．如图是三年级学生参加社团情况．
（1）三年级参加书法组的有 人．既参加书法组又参加画画组的有 人．只参加画画组的有 人．
（2）参加这两项的一共有 人．
30．三（2）班参加围棋、绘画小组的学生名单如下．参加这两种兴趣小组的一共有 人．
三．判断题（共1小题）
31．参加语文课外小组的有8人，参加数学课外小组的有9人，其中有3人两样都参加，参加课外小组的一共有14人．
四．应用题（共14小题）
32．三年级一班有45人，他们去学习书法和绘画，每人至少学一门．学习书法的有26人，学习绘画的有25人．书法和绘画都学习的有多少人？
33．三年级2班有54人，所有的同学都参加了兴趣小组，参加舞蹈小组的有27人，参加声乐小组的有34人，两个兴趣小组都参加的有多少人？
34．四年级（1）班有52人，参加美术小组的有14人，参加音乐小组的有28人，有8人两个小组都参加了，这个班两个小组都没参加的有多少人？
35．同学们到植物园游玩，参观玫瑰园的有34人，参观菊花园的有27人，两个园都参观的有19人．
（1）请根据题意填写图．
（2）去植物园的一共有 人．
（3）你能提出其他数学问题并解答吗？
36．一次数学小测试，只有两道题，结果全班有20人全对。其中第1道题有31人做对，第2道题有29人做对。
（1）只做对第1道题的有多少人？
（2）只做对第2道题的有多少人？
37．少年宫准备成立“双滑社团”，要求必须至少会轮滑、滑雪中的一项，才有资格成为社团成员。已知有900名符合上述要求的人来报名，其中只会轮滑的有206人，只会滑雪的有260人。两种运动都会的有多少人？
38．3名小朋友比赛看谁写出的带“马”字的成语多，小丽写出了12个，小红写出了10个，小芳写出了7个。小红写出的10个成语中有6个小丽也写出来了。小芳写出的7个成语小丽都写出来了。
（1）小丽和小芳一共写出了多少个成语？
（2）小丽和小红一共写出了多少个成语？
39．三年级有20个同学参加兴趣小组，其中参加数学小组的有15人，参加语文小组的有13人．
（1）既参加数学小组又参加语文小组的有多少人？
（2）只参加数学小组的有多少人？只参加语文小组的呢？
40．学校开展体育活动，三年级第一小组参加跳绳的同学有王平、冯华、林芳、刘明、周娟、毛萍、王佳、钟林．参加拔河的同学有蒋倩、张峰、王平、周娟、林芳、李宇、冯华、毛萍（每人至少参加一项体育活动）．
（1）如图．
（2）三年级第一小组一共有多少人？
41．三（1）班联欢会上歌舞小组一共有16人，共9人参加跳舞表演，12人参加歌唱表演，每人至少参加一种节目．两种节目都参加了多少人？
42．三（4）班同学去社区开展“尊老爱幼，互帮互助”社会实践活动，帮助老人的有32人，帮助儿童的有24人，既帮助老人又帮助儿童的有11人．三（4）班参加这次社会实践活动的一共有几人？
43．二（2）班庆“六一”联欢会上，参加唱歌表演的有25人，参加舞蹈表演的有18人；两项都参加的有6人，两项都没参加的有10人．二（2）班有学生多少人？
44．五（3）班有学生40人，报名参加英语阅读竞赛的有35人，参加数学竞赛的有27人．如果每个学生至少参加一项学科竞赛活动，那么，有多少学生两项比赛都参加？
45．订阅《作文大王》的有24人，订阅《传统文化故事》的有17人，两种都订阅的有5人．只订阅《作文大王》和《传统文化故事》的一共有多少人？
参考答案
一．选择题（共10小题）
1．【答案】A
【分析】根据对计算器各个按键的功能的了解，ON是开机键，OFF是关机键，据此解答即可。
【解答】解：使用计算器时，开机按ON键，关机按OFF键。
故选：A。
【点评】此题主要考查了对计算器各个按键的功能的了解，其中常用的键要记住：ON是开机键，OFF是关机键，CE是清除键等。
2．【答案】A
【分析】根据容斥原理，用参加集体比赛的10人加参加个人比赛的19人，求出和，然后再减去两项都参加的8人（重复计算了1次），即得总人数．
【解答】解：10+19﹣8
＝29﹣8
＝21（人）
答：这个班共有21人参加跳绳比赛．
故选：A。
【点评】本题考查了容斥原理，关键是理解两项都参加的人数是既参加集体比赛又参加个人比赛的重叠部分，知识点是：总人数＝（A+B）﹣既A又B．
3．【答案】A
【分析】把20和25相加求出两者的人数和，因为两种刊物都订阅了的是重叠部分的人数，重复计算了一次，所以根据容斥原理，用两者的人数和，减去总人数30就是两种刊物都订阅的人数；据此解答．
【解答】解：20+25﹣30
＝45﹣30
＝15（人）
答：两种刊物都订阅的有15人．
故选：A。
【点评】本题为基本的容斥原理题目，其公式为：A类B类元素个数总和＝属于A类元素个数+属于B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数．
4．【答案】C
【分析】参加玩贴鼻子的和玩抢椅子的中有11人是重复的，所以用27+34﹣11，求出参加秋游的同学共多少人即可
【解答】解：27+34﹣11
＝61﹣11
＝50（人）
答：参加秋游的同学共50人．
故选：C。
【点评】本题考查了容斥原理，关键是求出至少参加一种的人数，知识点是容斥原理一：总人数＝（A+B）﹣既A又B．
5．【答案】B
【分析】妈妈昨天买的菜有：萝卜、黄瓜、白菜、茄子、排骨、鱼共6种．今天买的菜有：豆腐、白菜、茄子、牛肉、黄瓜、虾共6种．其中黄瓜、白菜、茄子重叠了，然后求出两天的种数和，再减去重叠的3种即可．
【解答】解：6+6﹣3
＝12﹣3
＝9（种）
答：妈妈两天一共买了9种菜．
故选：B。
【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题．
6．【答案】D
【分析】根据两集合容斥原理公式，A+B﹣A∩B＝全部﹣都不，可知60+50﹣20＝100﹣两人都没读过，求得两人都没读过的书有10本；小强读过但小刚没读过的书，即A﹣A∩B，有60﹣20＝40本；小刚读过但小强没读过的书，即B﹣A∩B，有50﹣20＝30本；只有一人读过的书有40+30＝70本，据此解答即可．
【解答】解：两人都没读过的书：100﹣（60+50﹣20）＝10（本）
小强读过但小刚没读过的书：60﹣20＝40（本）
小刚读过但小强没读过的书：50﹣20＝30（本）
只有一人读过的书：40+30＝70（本）
所以D项正确；
故选：D。
【点评】此题考查了两集合容斥原理的计算和运用．
7．【答案】C
【分析】至少答对一道又43﹣5＝38（人），根据“答对A题的有25人，答对B题的有19人”可得两者的总人数：25+19＝44（人），这其中把两道题都答对的人数多计算了一次，所以根据容斥原理可得两道题都答对的人数是：44﹣38＝6（人），据此解答即可。
【解答】解：43﹣5＝38（人）
25+19＝44（人）
44﹣38＝6（人）
答：两道题都答对的有6人。
故选：C。
【点评】本题是典型的容斥问题，解答规律是：既A又B＝A+B﹣总数量（两种情况）。
8．【答案】C
【分析】根据“其中参加跳高比赛的有17人，参加跳远比赛的有20人”可得两者的总人数：20+17＝37（人），这其中把两项比赛都参加的人数多计算了一次，所以根据容斥原理可得两项比赛都参加的人数是：37﹣30＝7（人），据此解答即可。
【解答】解：20+17＝37（人）
37﹣30＝7（人）
答：两项比赛都参加的有7人。
故选：C。
【点评】本题是典型的容斥问题，解答规律是：既A又B＝A+B﹣总数量（两种情况）。
9．【答案】B
【分析】分别是19人和28人，两者共有19+28＝47人，大于实际的总人数42人，那么两种都参加的47﹣42＝5人，据此选择即可。
【解答】解：19+28﹣42
＝47﹣42
＝5（人）
所以他用图表示如下：
故选：B。
【点评】本题考查了容斥原理，知识点是容斥原理一：总人数＝（A+B）﹣既A又B。
10．【答案】C
【分析】参加书法班的人数加上参加英语班的人数，减去参加两种班的总人数，就等于两种班都参加的人数，据此列式．
【解答】解：27+28﹣48
＝55﹣48
＝7（人）
答：有7人既参加了书法兴趣班，又参加了英语兴趣班．
故选：C。
【点评】本题主要考查了容斥原理，明确容斥关系中，各部分之间的数量关系，是本题解题的关键．
二．填空题（共20小题）
11．【答案】见试题解答内容
【分析】由题意，用39+41就是只有语文成绩达到优秀的、只有数学成绩达到优秀的以及两科都达到优秀的人数的2倍，再减总人数55，即得语文和数学成绩都达到优秀的人数．
【解答】解：39+41﹣55
＝80﹣55
＝25（人）
答：语文和数学成绩都达到优秀的有 25人．
故答案为：25．
【点评】本题考查了容斥原理，知识点是容斥原理一：总人数＝（A+B）﹣既A又B．
12．【答案】见试题解答内容
【分析】由题意，用30+25就是只参观熊猫馆、只参观大象馆以及两个馆都参观的人数的2倍，再减去重复计算的两个馆都参观的人数，即得动物园的总人数．
【解答】解：30+25﹣18
＝55﹣18
＝37（人）
答：去动物园的一共有 37人．
故答案为：37．
【点评】本题考查了容斥原理，关键是求出至少参观一种的人数，知识点是容斥原理一：总人数＝（A+B）﹣既A又B．
13．【答案】见试题解答内容
【分析】根据“参加鼓号队的有14人，参加合唱队的有21人”可知：（14+21）人包括三部分：只参加合唱队的人数、只参加鼓号队的人数、两种都参加的人数的2倍，所以参加合唱队和参加鼓号队的总人数是：14+21﹣7＝28人，据此解答．
【解答】解：14+21﹣7
＝35﹣7
＝28（人）
答：三（2）班参加鼓号队和合唱队的一共有 28人．
故答案为：28．
【点评】本题考查了容斥原理，知识点是容斥原理一：总人数＝（A+B）﹣既A又B．
14．【答案】12．
【分析】用总人数减去学唱歌的人数，等于没有学唱歌的人数，再用学美术的人数，减去没有学唱歌的人数，就是两种都学的学生的人数．
【解答】解：没有学唱歌的人数：
40﹣20＝20（人）
两种都学的人数：
32﹣20＝12（人）
答：两种都学的学生有12人．
故答案为：12．
【点评】本题主要考查了容斥原理，明确容斥关系中，各部分元素之间的数量关系，是本题解题的关键．
15．【答案】见试题解答内容
【分析】由题意，用12+15就是只参加了数学竞赛、只参加了语文竞赛以及两项竞赛都参加的人数的2倍，再减去重叠的4人，就是三年级（1）班参加数学和语文竞赛的总人数．
【解答】解：12+15﹣4
＝27﹣4
＝23（人）
答：三年级（1）班参加数学和语文竞赛的一共有23人．
故答案为：23．
【点评】本题考查了容斥原理，知识点是容斥原理一：总人数＝（A+B）﹣既A又B．
16．【答案】（1）7，3。
（2）12。
【分析】观察图可知绘画组的在左侧椭圆中，硬笔书法组的在右侧的椭圆中，这两个椭圆重复的部分是既参加绘画组又参加硬笔书法组的人，数出它们的人数即可；再用参加美术小组的人数加上参加书法小组的人数，减去既参加美术小组又参加书法小组的人数，即可求出总人数。
【解答】解：观察图可知：
（1）三（1）班参加绘画组的有7人；既参加绘画组又参加硬笔书法组的有3人。
（2）7+8﹣3＝12（人）
答：共有 12人参加美术小组或书法小组。
故答案为：7，3，12。
【点评】此题考查了容斥原理，关键是理解3人是既参加绘画组又参加硬笔书法组的学生的重叠部分；总人数＝（A+B）﹣既A又B。
17．【答案】见试题解答内容
【分析】由题意，用10+18就是只参观熊猫馆、只参观大象馆以及两个馆都参观的人数的2倍，再减去重复计算的两个馆都参观的人数（8人），即得去动物园的总人数．
【解答】解：10+18﹣8
＝28﹣8
＝20（人）
答：一共有 20人参观动物园．
故答案为：20．
【点评】本题考查了容斥原理，知识点是容斥原理一：总人数＝（A+B）﹣既A又B．
18．【答案】见试题解答内容
【分析】先用30+21＝51求出两者的和，再减去重叠的人数15，求出至少答对一题的人数，列式为：30+21﹣15＝36人，然后用40减去36人，就是两题都没答对的人数，据此解答．
【解答】解：40﹣（30+21﹣15）
＝40﹣36
＝4（人），
答：两题都没答对的有4人．
【点评】本题考查了容斥原理，关键是理解15人是两题都答对的学生的重叠部分，知识点是：总人数＝（A+B）﹣既A又B．
19．【答案】见试题解答内容
【分析】由题意，用49+52＝101求出至少参加一个比赛项目的同学的总人数，再减去两项都参加的人数就是三年级参加比赛的总人数．
【解答】解：49+52﹣15
＝101﹣15
＝86（人）
答：三年级有86人参加了比赛．
故答案为：86．
【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题．
20．【答案】见试题解答内容
【分析】根据容斥原理“A类与B类元素个数的总和＝A类元素的个数+B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数”，用9+6﹣3即可求出这个兴趣小组一共有多少人．
【解答】解：9+6﹣3＝12（人）
答：这个兴趣小组一共有12人．
故答案为：12．
【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题．
21．【答案】见试题解答内容
【分析】因为有11人两种刊物都订阅了是的重叠部分的人数，所以根据容斥原理求至少参加订阅一种的人数是：25+19﹣11＝33（人），然后加上10就是总人数；据此解答．
【解答】解：25+19﹣11＝33（人）；
答：订阅这两种刊物的共 33人．
故答案为：33．
【点评】本题依据了容斥原理公式之一：A类B类元素个数总和＝属于A类元素个数+属于B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数．
22．【答案】见试题解答内容
【分析】根据“其中会拉小提琴的有25名，会弹电子琴的有22名，”可知：25+22＝47人包括三部分，只会拉小提琴的人数、只会弹电子琴的人数、两种都会的人数，所以两项都会的总人数是：25+22﹣3＝44（人），据此解答．
【解答】解：25+22﹣3
＝47﹣3
＝44（名）
答：学校乐队共有 44名新学员．
故答案为：44．
【点评】本题考查了容斥原理，关键是求出至少会一种的人数，知识点是容斥原理一：总人数＝（A+B）﹣既A又B．
23．【答案】见试题解答内容
【分析】根据容斥原理“既A又B＝总人数﹣（A+B）”，用参加跳绳的22人加参加踢毽子的16人求出和，减去两项都参加的8人即得参加的人数，然后用总人数32减去参加的人数就是两项都没参加的人数．
【解答】解：22+16﹣8＝30（人）
32﹣30＝2（人）
答：两项都没参加的有 2人．
故答案为：2．
【点评】本题考查了容斥原理，关键是理解两项都参加的人数是既参加跳绳比赛又参加踢毽子的重叠部分，知识点是：总人数＝（A+B）﹣既A又B．
24．【答案】见试题解答内容
【分析】三一班一共有36人表演了三项节目，6人只表演了唱歌，所以团体操和舞蹈两项的人数是36﹣6＝30（人），再用其中18加上15求出两者的总人数（团体操和舞蹈两项都表演的重复计算了1次），然后再减去30人就是团体操和舞蹈两项都表演的人数．
【解答】解：36﹣6＝30（人）
18+15﹣30
＝33﹣30
＝3（人）
答：团体操和舞蹈两项都表演的有3人．
故答案为：3．
【点评】本题考查了容斥原理，关键是求出团体操和舞蹈至少表演一种的人数，知识点是容斥原理一：总人数＝（A+B）﹣既A又B．
25．【答案】见试题解答内容
【分析】根据两量重叠问题：A类与B类元素个数的总和＝A类元素的个数+B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数可得：用72加上53求出两者的人数和，再减去总人数100人，就是重叠的人数，即这两科都喜欢的人数．
【解答】解：72+53﹣100
＝125﹣100
＝25（人）
答：这两科都喜欢的有 25人．
故答案为：25．
【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题．
26．【答案】7。
【分析】根据“其中有22幅不是初一的”，说明初三、初二有22幅，根据“有25幅不是初二的”可得：初一、初三共有25幅画，那么22+25就是初一、初二的和再加上初三的2倍，据此解答即可。
【解答】解：（22+25﹣33）÷2
＝14÷2
＝7（幅）
答：因此初三年级的画共有7幅。
故答案为：7。
【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。
27．【答案】见试题解答内容
【分析】由于参加唱歌兴趣小组的有27人和参加绘画兴趣小组的有38人，都包含两样都参加的有9人，所以从“参加唱歌兴趣小组的27人和参加绘画兴趣小组的38人”中减去9人，就是总人数，据此解答．
【解答】解：38+27﹣9
＝65﹣9
＝56（人）
答：四年级（2）班有56人．
故答案为：56．
【点评】本题考查了容斥原理，关键是理解总人数包括三部分的人数，知识点是：总人数＝（A+B）﹣既A又B．
28．【答案】见试题解答内容
【分析】由题意，用30+28就是只会弹钢琴、只会拉小提琴以及两样都会的人数的2倍，再减总人数46人，就是两样都会的人数．
【解答】解：30+28﹣46
＝58﹣46
＝12（人）
答：这个班既会弹钢琴又会拉小提琴的至少有12人．
故答案为：12．
【点评】本题考查了容斥原理，知识点是容斥原理一：总人数＝（A+B）﹣既A又B．
29．【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据图示可得，用30加上25就是三年级参加书法组的人数．既参加书法组又参加画画组的有25人．求只参加画画组的有20人．
（2）把图中三部分的数据相加就是参加这两项的一共有几人．
【解答】解：（1）30+25＝55（人）
即，三年级参加书法组的有 55人．既参加书法组又参加画画组的有 25人．只参加画画组的有 20人．
（2）30+25+20
＝55+20
＝75（人）
答：参加这两项的一共有75人．
故答案为：55，25，20；75．
【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题．
30．【答案】见试题解答内容
【分析】由图表可知，参加围棋小组的有5人，参加绘画小组的有5人，两个小组都参加的有2人（张芳、陈欢）；用5+5＝10求出参加围棋、绘画小组的人数和，再减去重叠的人数2人即可．
【解答】解：5+5﹣2
＝10﹣2
＝8（人）
答：参加这两种兴趣小组的一共有 8人．
故答案为：8．
【点评】本题利用容斥原理的基本公式之一：A类B类元素个数总和＝属于A类元素个数+属于B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数．
三．判断题（共1小题）
31．【答案】√
【分析】根据容斥原理公式，参加课外小组人数＝参加语文小组的人数+参加数学小组的人数﹣两个小组都参加的人数，据此判断。
【解答】解：8+9﹣3
＝17﹣3
＝14
14＝14
所以，原题说法正确。
故答案为：√。
【点评】本题主要考查了容斥原理，需要学生熟练掌握容斥原理公式。
四．应用题（共14小题）
32．【答案】见试题解答内容
【分析】由题意，用26+25就是只学习书法、只绘画以及书法和绘画都学习的人数的2倍，再减去总人数，即得重复计算的书法和绘画都学习的人数．
【解答】解：26+25﹣45
＝51﹣45
＝6（人）
答：书法和绘画都学习的有6人．
【点评】本题考查了容斥原理，关键是求出至少参加一种的人数，知识点是容斥原理一：总人数＝（A+B）﹣既A又B．
33．【答案】见试题解答内容
【分析】根据“参加舞蹈小组的有27人，参加声乐小组的有34人．”可得两者的总人数：34+27＝61人，这其中把两种兴趣小组都参加的人数多计算了一次，所以根据容斥原理可得两种兴趣小组都参加的人数是：61﹣54＝7（人），据此解答即可．
【解答】解：34+27﹣54
＝61﹣54
＝7（人）
答：两种兴趣小组都参加的有7人．
【点评】本题是典型的容斥问题，解答规律是：既A又B＝A+B﹣总数量（两种情况）．
34．【答案】见试题解答内容
【分析】用14人加上28人求出两者的和，由于8人是重复计算的部分，再减去8人，就是至少参加一项的人数是：28+14﹣8＝34（人），然后用总人数52人减去至少参加一项的人数，就是两个小组都没参加的人数，即52﹣34＝18（人）．
【解答】解：52﹣（28+14﹣8）
＝52﹣34
＝18（人）
答：这个班两个小组都没参加的有18人．
【点评】容斥原理的计算公式：A+B﹣既A又B＝至少参加一项的人数．
35．【答案】见试题解答内容
【分析】（1）两个园都参观的有19人，那么只参观玫瑰园的有：34﹣19＝15（人），只参观菊花园的有：27﹣19＝8（人），据此填图即可．
（2）把图中三部分的人数相加即可．
（3）提问：只参观玫瑰园的比只参观菊花园的多多少人？然后把这两部分的人数作差即可．
【解答】解：（1）34﹣19＝15（人）
27﹣19＝8（人）
（2）15+19+8
＝34+8
＝42（人）
答：去植物园的一共有42人．
（3）只参观玫瑰园的比只参观菊花园的多多少人？
15﹣8＝7（人）
答：只参观玫瑰园的比只参观菊花园的多7人．
故答案为：42．
【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题．
36．【答案】（1）11人；（2）9人。
【分析】（1）求只做对第1道题的有多少人，用第1道题做对的31人减去全班全对的20人即可；
（2）求只做对第2道题的有多少人，用第2道题做对的29人减去全班全对的20人即可。
【解答】解：（1）31﹣20＝11（人）
答：只做对第1道题的有11人。
（2）29﹣20＝9（人）
答：只做对第2道题的有9人。
【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。
37．【答案】434人。
【分析】先用206加上260求出两者的总人数，然后再用原来的总人数900人减去两者的总人数，就是重叠的人数，即两种运动都会的有多少人。
【解答】解：900﹣（206+260）
＝900﹣466
＝434（人）
答：两种运动都会的有434人。
【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。
38．【答案】（1）12；（2）16。
【分析】（1）小丽写出了12个，小芳写出了7个，小芳写出的7个成语小丽都写出来了，所以小丽写出的12个，就是小丽和小芳一共写出的个数。
小丽和小芳一共写出了多少个成语？
（2）小红写出的10个成语中有6个小丽也写出来了，即6个是两者的重叠部分，所以先求出小红和小丽写出的个数和，然后再减去6，就是小丽和小红一共写出了多少个成语。
【解答】解：（1）因为小芳写出的7个成语小丽都写出来了，所以小丽写出的12个，就是小丽和小芳一共写出的个数。
答：小丽和小芳一共写出了12个成语。
（2）12+10﹣6
＝22﹣6
＝16（个）
答：小丽和小红一共写出了16个成语。
【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。
39．【答案】（1）8；
（2）7，5。
【分析】（1）根据容斥原理公式，两个小组都参加的人数＝参加数学小组的人数+参加语文小组的人数﹣参加兴趣小组的人数；
（2）只参加数学小组的人数＝参加数学小组的人数﹣两个小组都参加的人数，同理可求只参加语文小组的人数。
【解答】解：（1）15+13﹣20
＝28﹣20
＝8（人）
答：既参加数学小组又参加语文小组的有8人。
（2）15﹣8＝7（人）
13﹣8＝5（人）
答：只参加数学小组的有7人；只参加语文小组的有5人。
【点评】本题主要考查了容斥原理，需要学生熟记容斥原理公式并能灵活运用。
40．【答案】（1）
（2）11。
【分析】（1）先将两种都参加的同学填入两个大圆圈相交的部分，然后再分别把两种活动中除了两种都参加的同学填入对应的圈内；
（2）分别数出图中三种情况的人数相加即可。
【解答】解：（1）
（2）3+5+3
＝8+3
＝11（人）
答：三年级第一小组一共有11人。
【点评】本题主要考查了容斥原理，需要学生熟练掌握韦恩图的画法和应用。
41．【答案】5。
【分析】由容斥原理可知，小组的人数＝舞蹈表演的人数+唱歌表演的人数﹣两种节目都参加的人数，将其变式求解即可。
【解答】解：9+12﹣16
＝21﹣16
＝5（人）
答：两种节目都参加了5人。
【点评】本题主要考查了容斥原理，需要学生熟练掌握计算公式。
42．【答案】45。
【分析】参加活动的总人数等于两个活动的人数的和，其中既帮助老人又帮助儿童的计算了两次，需要减去，据此列式计算即可。
【解答】解：32+24﹣11
＝56﹣11
＝45（人）
答：三（4）班参加这次社会实践活动的一共有45人。
【点评】本题主要考查了容斥原理，需要学生熟记容斥原理公式，并能灵活运用。
43．【答案】47人．
【分析】根据题意可知，三（2）班总人数＝参加唱歌表演的人数+参加舞蹈表演的人数﹣两项都参加的人数+两项都没参加的人数．把数代入计算即可．
【解答】解：25+18﹣6+10
＝43﹣6+10
＝47（人）
答：三（2）班共有47人．
【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用．知识点是容斥原理一：总人数＝（A+B）﹣既A又B.
44．【答案】22人.
【分析】先用35加上27求出两者的人数和，两项比赛都参加的重复计算了一次，所以减去40人就是两项比赛都参加.
【解答】解：35+27﹣40
＝62﹣40
＝22（人）
答：有22人两项比赛都参加.
【点评】本题考查了容斥原理，知识点是容斥原理一：总人数＝（A+B）﹣既A又B.
45．【答案】31．
【分析】用订阅《作文大王》的人数减去两种都订阅的人数，求出只订阅《作文大王》的人数，同理，求出只订阅《传统文化故事》的人数，相加即可．
【解答】解：（24﹣5）+（17﹣5）
＝19+12
＝31（人）
答：只订阅《作文大王》和《传统文化故事》的一共有31人．
【点评】本题主要考查了容斥原理，明确容斥关系中，各部分之间的数量关系，是本题解题的关键．
短跑
游泳
投掷
短跑
游泳
短跑
投掷
游泳
投掷
短跑
游泳
投掷
1 7
1 8
1 5
6
6
5
2
围棋小组
张芳
陈欢
王贝
曾小琴
杨乐
绘画小组
李军
刘丽
陈欢
张芳
马晓玲