专题1 组合图形的个数-小升初数学模块化思维提升（人教版）练习含答案

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（知识梳理+典题精讲+专项训练）
1、组合图形的概念。
圆，三角形，正多边形，梯形，平行四边形为基本图形其余的为组合图形，可以用辅助线分解为基本图。
2、组合图形的计数实质上就是分类数图形，解决方法。
（1）合理进行分类．
（2）利用排列组合的有关公式进行每一个类的数量计算．
（3）将所有的类的数量进行相加．
（4）仔细检查，防止遗漏。
【典例一】城市义工协会开展垃圾分类宣传进社区活动。他们计划在下面右边这张直角梯形卡纸上剪出如左边那样大小的三角形制作宣传标志（如图），最多可以剪出 个这样的三角形。
A．3B．4C．5D．6
【分析】6里有3个2，4里有2个2，所以直角梯形可以如图剪出5个直角三角形。
【解答】解：最多可以剪出5个这样的三角形。
故选：。
【点评】此题重点考查空间想象力。
【典例二】如图所示是一个大等边三角形，把每条边都四等分，然后连接成小等边三角形。
（1）图中共有几种大小不同的等边三角形？
（2）图中共有多少个不同的等边三角形？
【分析】（1）图中有单个的等边三角形，由4个小等边三角形组成的等边三角形，由9个小等边三角形组成的等边三角形，由16个小等边三角形组成的等边三角形；
先数出单个等边三角形的个数，再数出含4个小等边三角形组成的等边三角形的个数，再数出含9个小等边三角形组成的等边三角形的个数，再加上一个最大的等边三角形即可得出答案。
【解答】解：（1）图中有4种不同的等边三角形；
（2）（个
答：图中共有27个三角形。
【点评】组合图形的计数实质上就是分类计数图形，要按顺序分类计数，防止遗漏。特别要注意多个基本图形构成的三角形容易数错。
一．选择题（共6小题）
1．如图，直线和互相平行，直线和互相平行，直线和不平行。在①⑥六个四边形中，梯形有 个。
A．3B．4C．5D．6
【分析】根据梯形的概念：只有一组对边平行的四边形就是梯形，即可判断。
【解答】解：由分析可得：在①⑥六个四边形中是梯形的图像是：①②⑤⑥，所以有4个梯形。
故选：。
【点评】本题主要考查了图形计数方法的应用，要注意分别计数，做到不重不漏。
2．如图是由若干个小正方体组成的，数一数，一共有 个这样的小正方体。
A．9B．10C．11D．12
【分析】分层计数，层层相加即可。
【解答】解：从上往下分层数：
第1层：1个；
第2层：4个
第3层：6个
（个
答：一共有11个这样的小正方体。
故选：。
【点评】本题考查了组合图形的计数。
3．在一条线段的中间有6个点，则这8个点可以构成 条线段．
A．21B．28C．36
【分析】根据在一条直线上有个点，则线段的条数的公式：，依此代入数据进行计算即可求解．
【解答】解：这条线段上有个点，
故这条线段上的线段共有：
（条
答：这8个点可以构成28条线段．
故选：．
【点评】本题考查线段的条数问题，有一定难度，注意由特殊到一般寻找规律的能力培养．
4．下图是由若干个小正方体组成的，数一数，一共有 个这样的小正方体。
A．10B．9C．8D．7
【分析】如图所示，根据立体图形数出每个位置上小正方体的个数，最后相加求和，据此解答。
【解答】解：如图：
（个
所以，一共有10个这样的小正方体。
故选：。
【点评】准确数出每个位置上小正方体的数量是解答题目的关键。
5．如图，图中三角形的个数共有
A．7个B．10个C．9个D．8个
【分析】数出由单个三角形、2个图形组成的三角形，以及多个图形组成的三角形的个数，再相加。
【解答】解：单个三角形有：3个；
2个图形组成的三角形有：4个；
4个图形组成的三角形有：1个；
（个
答：图中的三角形共有8个。
故选：。
【点评】此题主要考查计数方法的应用，养成按照一定顺序观察思考问题的习惯，逐步学会通过观察思考探寻事物规律的能力。
6．城市义工协会开展垃圾分类宣传进社区活动。他们计划在下面右边这张直角梯形卡纸上剪出如左边那样大小的三角形制作宣传标志（如图），最多可以剪出 个这样的三角形。
A．3B．4C．5D．6
【分析】6里有3个2，4里有2个2，所以直角梯形可以如图剪出5个直角三角形。
【解答】解：最多可以剪出5个这样的三角形。
故选：。
【点评】此题重点考查空间想象力。
二．填空题（共6小题）
7．一条线段上除了两个端点还有7个点，那么这段线段上可以有 36 条线段。
【分析】一条线段上除了两个端点还有7个点，即该线段有9个端点。运用握手问题公式：，即可解答。
【解答】解：
（条
答：这段线段上可以有36条线段。
故答案为：36。
【点评】本题考查了平面图形计数。
8．探索规律：请把下表补充完整。
【分析】通过观察可知，两个点之间一条线段，在3中，每一个点和其它两点各有一条，共（条，每条线段重复一次（条，4个点（条，5个点（条，10个点（条。
【解答】
故答案为：10，45。
【点评】本题主要考查了学生观察能力和比较分析能力。
9．如图所示，一条直线最多可以把圆分成2小块，2条直线最多可以把圆分成块，3条直线最多可以把圆分成块。以此类推，4条直线最多可以把圆分成 11 块。
【分析】1条直线最多可以把圆分成2小块；
2条直线最多可以把圆分成块；
3条直线最多可以把圆分成块；
条直线最多可以把圆分成块。
据此解答。
【解答】解：（块
答：4条直线最多可以把圆分成11块。
故答案为：11。
【点评】本题考查了图形规律的应用以及组合图形的计数。
10．（如图）2个点连成线段的条数是一条，3个点连成线段的条数是三条，4个点连成线段的条数是六条，5个点连成线段的条数是十条个点连成的线段的条数是 21 ，10个点连成的线段的条数是 条。
【分析】首先看表格中点数和连接成线段之间的规律，2个点只能连一条直线，增加一个点，增加的条数都比前面增加的条数多1；
然后再观察总条数的规律，3个点连成条，4个点连成条，5个点连成，由此可以得出规律：点数是几，连成的线段的条数是从1连续加到比几小1的数，按照规律即可解答。
【解答】解：7个点连成的线段的条数是（条；
10个点连成的线段的条数是（条。
故答案为：21，45。
【点评】本题考查的是找规律，需要从简单情形中发现变化的规律。
11．图中有 4 个平行四边形， 个三角形。
【分析】根据平行四边形的特征可得：由两个三角形组成的平行四边形有3个，由四个三角形组成的平行四边形有1个，共有4个平行四边形；
根据三角形的特征可得：三角形共4个。
【解答】解：根据分析可得：图中有4个平行四边形，4个三角形。
故答案为：4；4。
【点评】此题主要考查计数方法的应用，养成按照一定顺序观察思考问题的习惯，逐步学会通过观察思考探寻事物规律的能力。
12．如图，一共有 6 个三角形。
【分析】根据组合图形中，单个的三角形有3个，单个的三角形与四边形合起来组成的三角形有3个；据此求出共有多少个三角形。
【解答】解：（个
答：一共有6个三角形。
故答案为：6。
【点评】本题主要考查了图形计数方法的应用，要注意分别计数，做到不重不漏。
三．解答题（共10小题）
13．在一个平面上最少要画多少条直线，才能构成不少于2020个相交点？请列式说明。
【分析】假设每两条直线都有一个交点，相当于两两组合，根据握手问题的公式逆推即可。
【解答】解：设最少有条直线。
因为，所以至少需要画65条直线。
答：在一个平面上最少要画65条直线，才能构成不少于2020个相交点。
【点评】本题考查了握手问题的实际应用，要注意去掉重复计算的情况，如果数量比较少可以用枚举法解答，如果数量比较多可以用公式解答。
14．如图，足球是由32块黑白相间的牛皮缝制而成的，黑皮可看成是正五边形，白皮可看成是正六边形，求这个足球上黑皮有多少块？
【分析】由图可得，一块白皮（六边形）中，有三边与黑皮（五边形）相连，因此白皮边数是黑皮边数的2倍，设出未知数列出方程即可求出。
【解答】解：设足球上黑皮有块，则白皮为块，五边形的边数共有条，六边形边数有条。
由图形关系可得，每个正六边形白皮的周围有3个黑皮边，则白皮的边数为黑皮的2倍。
可得方程：
答：黑皮12块。
【点评】解题时，根据题中的条件，结合图形找出其中的规律，即找出黑边与白边条数的比例关系，再列出等式关系，求出解。
15．如图，梯形的两条对角线相交于点。
（1）图中一共有 8 个三角形。
（2）你能推出甲和乙这两个三角形的面积相等吗？
【分析】（1）根据图形的计数的方法，由1个三角形组成的有4个，由2个三角形组成的有4个，所以一共有8个三角形。
（2）根据平行线间的距离相等以及三角形的面积公式可知，甲、乙两个三角形的面积相等。
【解答】解：（1）图中一共有8个三角形。
（2）因为三角形与三角形等底等高，都减去三角形，所以三角形甲与三角形乙两个三角形的面积相等。
故答案为：8。
【点评】本题主要考查图形的计数，关键是按一定的顺序数，不能遗漏或重复。
16．平面上有100条直线，这些直线最少有多少个交点？最多有多少个交点？
【分析】这些直线交点最少时，100条直线互相平行；这些直线交点最多时，100条直线两两相交．依此即可求解．
【解答】解：100条直线互相平行时没有交点，
所以这些直线最少有0个交点；
条直线最多有个交点，
所以100条直线最多有个交点，
答：这些直线最少有0个交点，最多有4950个交点．
【点评】考查了组合图形的计数，注意平行和相交的特征，应理解和应用．
17．4个圆最多能把平面分成14个部分如图，若有6个圆最多能把平面分成多少个部分？
【分析】一个圆可以把平面分成两部分，而两个圆交点最多有两个，每多一个交点会多出一个部分，所以此后增加的平面部分数依次是2，4，6，8，，．个圆最多可以把平面分成个部分．
【解答】解：1个圆把平面分成2部分；2个圆把平面分成部分；
三个圆把平面分成个部分；
；
个圆最多可以把平面分成；
6个圆最多能把平面分成个部分．
答：平面上6个圆最多能把平面分成32部分．
【点评】此题考查了由简单到复杂的推导过程，锻炼了学生的空间想象力和几何直观．
18．在平面上任取4个点，四点不都在一条直线上的情况共有几种？将四点用线段分别连接，在各种情况的图中，所包含的三角形的个数分别是多少？请画图说明．
【分析】分三点一条直线；两点一条直线两种情况讨论即可求解．
【解答】解：①三点一条直线，三角形有3个，如图所示：
②两点一条直线，三角形有8个，如图所示：
答：在平面上任取4个点，四点不都在一条直线上的情况共有2种，将四点用线段分别连接，三点一条直线，三角形有3个；两点一条直线，三角形有8个．
【点评】本题考查点确定直线的知识，关键是讨论点共线的情况．
19．如图，剪一块硬纸片，按沿虚线折，沿实线粘，可以做成一个多面体的纸模型．可这个多面体的面、顶点、棱各多少？
【分析】根据几何体的特征，以及面、顶点、棱的定义即可求解．
【解答】解：观察图形可知，这个多面体的面有7个、顶点有10个、棱有15条．
【点评】考查了组合图形的计数，关键是熟练掌握多面体的面、顶点、棱的定义．
20．用12块正五边形（如图所示）的硬纸片，边与边粘接可以做成一个正十二面体，这个十二面体有多少条棱？多少个顶点？
【分析】先画出图形，再结合多面体棱和顶点的定义求解即可．
【解答】解：如图所示：
答：这个十二面体有30条棱，20个顶点．
【点评】本题考查了多面体棱和顶点的定义，关键是正确画出图形．
21．若每条直线和圆都有两个交点，则：
（1）两条不重合的直线可以把圆分成部分。
（2）不重合的五条直线把圆最多分成部分。
（3）把一个圆分成5051部分，至少需要条不重合的直线。
【分析】（1）当两条不重合直线与圆的交点中，有1个交点的位置是重合的，可以把圆分成3部分；当两条不重合直线与圆的交点位置都不相同时，可以把圆分成4部分；所以两条不重合直线可以把圆分成3或4部分；
（2）一条不重合直线把圆最多分成2部分；两条不重合直线把圆最多分成4部分；；三条不重合直线把圆最多分成7部分；；规律：第条不重合直线把圆最多分成：；不重合的无条直线把圆最多分成部分；
（3）把一个圆分成5051部分，至少需要：，求出的值，即可解答。
【解答】解：（1）两条不重合的直线可以把圆分成3或4部分
（2）
答：不重合的五条直线把圆最多分成16部分。
（3）
答：把一个圆分成5051部分，至少需要100条不重合的直线。
【点评】本题是找规律的题型，关键是找出规律进行解答问题。
22．观察图，回答后面的问题．
（1）再指定的地方画出五条直线相交时交点最多的情况并填空．
2条直线相交最3条直线相交最4条直线相交最5条直线相交最多
多有1个交点多有3个交点多有6个交点有 10 个交点
（2）列式计算：10条直线相交时，最多有多少个交点？
【分析】直线条数 最多交点数
1 0
2
3
4
5
一条直线上有若干点时，线段的条数是从1开始的一串自然数相加之和，其中最大的自然数比点数小1．
故得当直线的条数是时，最多有．据此解答即可．
【解答】解：（1）两条直线相交，1个交点；3条直线相交，3个交点，第3条直线分别和前两条相交最多新产生2个交点，交点总数为；4条直线，6个交点，第4条直线分别和前3条相交最多新产生3个交点，交点总数为；5条直线相交，10个交点，第5条直线分别和前4条相交新产生4个交点，交点总数为个．
故答案为：10．
（2）10条直线相交时：
（个
答：10条直线相交时，最多有45个交点．
【点评】找规律，要从简单的情况着手，仔细观察，得到启示，大胆猜想，找出一般规律；即：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．点数
10个点
线段总数
0条
1条
3条
6条
10 条
条
点数
10个点
线段总数
0条
1条
3条
6条
10条
45条