2024高考数学一轮总复习（导与练）第十章第6节　二项分布、超几何分布与正态分布

第6节　二项分布、超几何分布与正态分布

 [选题明细表]

1.已知随机变量ξ～N(2,σ2),若P(2<ξ<3)=0.3,则P(ξ≤1)等于(　D　)

A.0.6   B.0.5   C.0.3   D.0.2

解析:由随机变量ξ～N(2,σ2)及正态分布的对称性,P(1<ξ<2)=

P(2<ξ<3)=0.3,所以P(ξ≤1)=0.5-P(1<ξ<2)=0.5-0.3=0.2.

2.(2022·浙江稽阳高三联考)设X为随机变量,X～B(6,p),若随机变量X的期望为4,则P(X≥1)等于(　D　)

A.      B.    C.      D.

解析:由X～B(6,p)及其期望为4可知6p=4,解得p=,所以P(X≥1)=

1-(1-) 6=.

3.某市有甲、乙两个工厂生产同一型号的汽车零件,零件的尺寸分别记为X,Y,已知X,Y均服从正态分布,X～N(μ1,),Y～N(μ2,),其正态分布密度曲线如图所示,则下列结论正确的是(　C　)

A.甲工厂生产零件尺寸的平均值大于乙工厂生产零件尺寸的平均值

B.甲工厂生产零件尺寸的平均值小于乙工厂生产零件尺寸的平均值

C.甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性

D.甲工厂生产零件尺寸的稳定性低于乙工厂生产零件尺寸的稳定性

解析:由X～N(μ1,),Y～N(μ2,),

结合图象,可得μ1=μ2,σ1<σ2,

即甲工厂生产零件尺寸的平均值等于乙工厂生产零件尺寸的平均值,甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性.

4.(2022·吉林长春模拟)已知随机变量X～B(4,),下列表达式正确的是(　C　)

A.P(X=2)=   B.E(3X+1)=4

C.D(3X+1)=8   D.D(X)=

解析:因为X～B(4,),所以E(X)=4×=,D(X)=4××(1-)=,

因此E(3X+1)=3E(X)+1=3×+1=5,D(3X+1)=32D(X)=9×=8.

因此选项B,D不正确,选项C正确,又因为P(X=2)=() 2(1-) 2=,所以选项A不正确.

5.(2022·山东济南高三检测)已知某校有1 200名同学参加某次模拟考试,其中数学考试成绩X近似服从正态分布N(100,225),从中任取3名同学,至少有2人的数学成绩超过100分的概率为(　A　)

A.      B.      C.    D.

解析:因为数学考试成绩X近似服从正态分布N(100,225),所以P(X>100)=,所以从中任取3名同学,至少有2人的数学成绩超过100分的概率为P=() 2×+() 3=.

6.(多选题)一个袋子中装有除颜色外完全相同的10个球,其中有6个黑球,4个白球,现从中任取4个球,记随机变量X为取出白球的个数,随机变量Y为取出黑球的个数,若取出一个白球得2分,取出一个黑球得1分,随机变量Z为取出4个球的总得分,则下列结论正确的是(　BD　)

A.P(X=1)= B.X+Y=4

C.E(X)>E(Y) D.E(Z)=

解析:由题意可知,X,Y均服从超几何分布,且X+Y=4,Z=2X+Y,故B正确,P(X=k)=(k=0,1,2,3,4),P(X=1)==,故A错误;E(X)=4×

=,E(Y)=4-E(X)=,E(X)<E(Y),故C错误;E(Z)=2E(X)+E(Y)=,故D正确.

7.(多选题)袋子中有2个黑球,1个白球,现从袋子中有放回地随机取球4次,取到白球记0分,黑球记1分,记4次取球的总分数为X,则下列结论正确的是(　ACD　)

A.X～B(4,)

B.P(X=2)=

C.X的数学期望E(X)=

D.X的方差D(X)=

解析:从袋子中有放回地随机取球4次,则每次取球互不影响,并且每次取到的黑球概率相等,又取到黑球记1分,取4次球的总分数,即为取到黑球的个数,所以随机变量X服从二项分布X～B(4,),故A正确;

X=2,记其概率为P(X=2)=×() 2×() 2=,故B错误;

因为X～B(4,),所以X的数学期望为E(X)=4×=,故C正确;

因为X～B(4,),所以X的方差为D(X)=4××=,故D正确.

8.(2022·天津高三阶段练习)袋中装有4个红球和4个黑球,从袋中任取4个球,取到1个红球得3分,取到1个黑球得1分,设得分为随机变量ξ,则ξ≥8的概率为　　　　. 

解析:ξ≥8的事件是ξ=8,ξ=10,ξ=12的三个互斥事件的和,

ξ=8的事件是取出2个红球、2个黑球的事件,P(ξ=8)==,

ξ=10的事件是取出3个红球、1个黑球的事件,P(ξ=10)==,

ξ=12的事件是取出4个红球的事件,P(ξ=12)==.

因此,P(ξ≥8)=P(ξ=8)+P(ξ=10)+P(ξ=12)=++=.

答案:

9.高中联招对初三毕业学生进行体育测试,是激发学生、家长和学校积极开展体育活动,保证学生健康成长的有效措施.某地区2022年初中毕业生升学体育考试规定,考生必须参加立定跳远、掷实心球、

1分钟跳绳三项测试,三项考试满分为50分,其中立定跳远15分,掷实心球15分,1分钟跳绳20分.某学校在初三上学期开始时要掌握全年级学生每分钟跳绳的情况,随机抽取了100名学生进行测试,得到如图频率分布直方图,且规定计分规则如下表:

(1)现从样本的100名学生中,任意选取2人,求两人得分之和不大于33分的概率;

(2)若该校初三年级所有学生的跳绳个数X服从正态分布N(μ,σ2),用样本数据的平均值和方差估计总体的期望和方差,已知样本方差

s2≈169(各组数据用中点值代替).根据往年经验,该校初三年级学生经过一年的训练,正式测试时每人每分钟跳绳个数都有明显进步,假设今年正式测试时每人每分钟跳绳个数比初三上学期开始时个数增加10个,现利用所得正态分布模型:

(ⅰ)预估全年级恰好有2 000名学生时,正式测试每分钟跳182个以上的人数;(结果四舍五入到整数)

(ⅱ)若在全年级所有学生中任意选取3人,记正式测试时每分钟跳195个以上的人数为ξ,求随机变量ξ的分布列和期望.附:若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,

P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3.

解:(1)两人得分之和不大于33分,即两人得分均为16分,或两人中

1人16分、1人17分,由题意知样本的100名学生中,得分在[155,165)的有100×0.006×10=6(人),在[165,175)的有100×0.012×10=

12(人).

则其概率为P==.

(2)=160×0.06+170×0.12+180×0.34+190×0.30+200×0.10+

210×0.08=185,

又σ2=s2≈169,σ=13,所以正式测试时,μ=195,

σ=13,所以μ-σ=182.

(ⅰ)所以P(X>182)≈1-≈0.841 4,

所以0.841 4×2 000≈1 683(人).

(ⅱ)由正态分布模型,在全年级所有学生中任取1人,每分钟跳绳个数195以上的概率为0.5,

即ξ～B(3,0.5),

所以P(ξ=0)=(1-0.5)3=0.125,

P(ξ=1)=0.5×(1-0.5)2=0.375,

P(ξ=2)=0.52×(1-0.5)=0.375,

P(ξ=3)=0.53=0.125.

所以ξ的分布列为

E(ξ)=3×0.5=1.5.

10.已知X～B(n,p),若4P(X=2)=3P(X=3),则p的最大值为(　B　)

A.     B.     C.   D.

解析:由题意可知n≥3,

因为4P(X=2)=3P(X=3),

所以4p2(1-p)n-2=3p3(1-p)n-3,

整理得4(1-p)=(n-2)p,

即p=,又n∈N*,且n≥3,所以p≤.

11.(2021·新高考Ⅱ卷)某物理量的测量结果服从正态分布N(10,

σ2),下列结论中不正确的是(　D　)

A.σ越小,该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大

B.σ越小,该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5

C.σ越小,该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等

D.σ越小,该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等

解析:对于A,σ2为数据的方差,所以σ越小,数据在μ=10附近越集中,所以测量结果落在(9.9,10.1)内的概率越大,故A正确;

对于B,由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量在一次测量大于10的概率为0.5,故B正确;

对于C,由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量在一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等,故C正确;

对于D,因为该物理量在一次测量中结果落在(9.9,10.0)的概率与落在(10.2,10.3)的概率不同,所以在一次测量中结果落在(9.9,10.2)的概率与落在(10,10.3)的概率不同,故D错误.

12.(2022·山东潍坊模拟)Poisson分布是统计学里常见的离散型概率分布,其概率分布列为P(X=k)=e-λ(k=0,1,2,…),其中e为自然对数的底数,λ是Poisson分布的均值.当二项分布的n很大(n≥20)而p很小(p≤0.05)时,Poisson分布可作为二项分布的近似.假设每个大肠杆菌基因组含有10 000个核苷酸对,采用0.05 J/m2紫外线照射大肠杆菌时,每个核苷酸对产生嘧啶二体的概率均为0.000 3,已知该菌株基因组有一个嘧啶二体就致死,则致死率是(　A　)

A.1-e-3      B.e-3    C.1-3e-3    D.1-4e-3

解析:n=10 000≥20,p=0.000 3≤0.05,此时Poisson分布满足二项分布的近似的条件,此时λ=10 000×0.000 3=3,故不致死的概率为P(X=0)=e-3=e-3,致死的概率为1-P(X=0)=1-e-3.

13.甲、乙两人进行乒乓球比赛,采用“5局3胜制”,即先胜3局为胜方,比赛结束.已知甲每局获胜的概率均为0.6,则甲开局获胜并且最终以3∶1取胜的概率为　　　　. 

解析:据题意可知甲开局获胜并且最终以3∶1取胜的情况为开局和第四局甲赢,中间两局赢一局输一局,故所求概率为0.6××0.6×

(1-0.6)×0.6=2×0.63×(1-0.6)=0.172 8.

答案:0.172 8

14.已知一个袋子中装有1个红球,3个绿球,1个黄球.从袋中随机取球,每次取3个,则取出的3个球颜色各不相同的概率为　　　　,记取出的球颜色种数为ξ,则E(ξ)=　　　　. 

解析:由题意,共有5个球,从中取出3个球,则有=10种不同的取法.

取出的3个球颜色各不相同,则红球、绿球、黄球各取1个,有=3种不同的取法,

所以取出的3个球颜色各不相同的概率为.

取出的球颜色种数ξ的可能取值为1,2,3,

P(ξ=3)=,P(ξ=1)=,

P(ξ=2)===,

所以ξ的分布列为

所以E(ξ)=1×+2×+3×=.

答案:　

15.(2022·重庆一模)2020年8月,教育部发布《关于深化体教融合,促进青少年健康发展的意见》.某校积极响应国家号召,组织全校学生加强实心球项目训练.规定该校男生投掷实心球6.9 m达标,女生投掷实心球6.2 m达标,并拟定投掷实心球的考试方案为每生可以投掷3次,一旦达标无需再投.从该校任选5名学生进行测试,如果有2人不达标的概率超过0.1,则该校学生还需加强实心球项目训练,已知该校男生投掷实心球的距离ξ1服从正态分布N(6.9,0.25),女生投掷实心球的距离ξ2服从正态分布N(6.2,0.16)(ξ1,ξ2的单位:m).

(1)请你通过计算,判断该校学生是否还需加强实心球项目训练;

(2)为提高学生考试达标率,该校决定加强训练,经过一段时间训练后,该校女生投掷实心球的距离ξ2服从正态分布N(6.516,0.16),且

P(ξ2≤6.832)=0.785.此时,请判断该校女生投掷实心球的考试达标率能否达到99%?并说明理由.(≈2.15)

解:(1)依题意,该校男生投掷实心球的距离ξ1服从正态分布N(6.9,0.25),女生投掷实心球的距离ξ2服从正态分布N(6.2,0.16),

所以男生和女生的达标概率为,不达标概率为,

所以从该校任选5名学生进行测试,有2人不达标的概率为×

() 2×() 3==>0.1,

所以该校学生还需加强实心球项目训练.

(2)ξ2～N(6.516,0.16),

即ξ2～N(6.2+0.316,0.42),

且P(ξ2≤6.832)=0.785,

即P(ξ2≤6.516+0.316)=0.785,

所以P(ξ2≥6.2)=P(ξ2≤6.832)=0.785,

≈2.15,≈0.215,≈0.2153,0.2153≈0.01,

则女生达标率为1-(1-0.785)3=1-0.2153=0.99.

所以该校女生投掷实心球的考试达标率能达到99%.