2026届高考数学一轮总复习提能训练练案68二项分布与超几何分布

这是一份2026届高考数学一轮总复习提能训练练案68二项分布与超几何分布，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．(2025·四川内江模拟)已知离散型随机变量X服从二项分布X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5，\f(2,3)))，则P(X＝2)＝( )
A．eq \f(40,243) B．eq \f(70,243)
C．eq \f(80,243) D．eq \f(160,243)
[答案] A
[解析] 因为X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5，\f(2,3)))，所以P(X＝2)＝Ceq \\al(2,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,3)))3＝eq \f(40,243).故选A．
2．(2025·浙江名校协作体适应性考试)设随机变量X服从二项分布Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n，\f(4,5)))，若P(X≥1)＝0.998 4，则D(X)＝( )
A．0.16 B．0.32
C．0.64 D．0.84
[答案] C
[解析] P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－Ceq \\al(0,n)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))0×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)))n＝1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)))n＝0.998 4，得n＝4，所以X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，\f(4,5)))，则D(X)＝np(1－p)＝4×eq \f(4,5)×eq \f(1,5)＝eq \f(16,25)＝0.64.故选C.
3．(2024·陕西汉中联考)某实验室有6只小白鼠，其中有3只测量过某项指标．若从这6只小白鼠中随机取出4只，则恰好有2只测量过该指标的概率为( )
A．eq \f(2,3) B．eq \f(2,5)
C．eq \f(3,5) D．eq \f(3,4)
[答案] C
[解析] 由题意，恰好有2只测量过该指标的概率为eq \f(C\\al(2,3)C\\al(2,3),C\\al(4,6))＝eq \f(9,15)＝eq \f(3,5).故选C.
4．(2025·广西示范性高中质检)甲同学每次投篮命中的概率为p，在投篮6次的实验中，命中次数X的均值为2.4，则X的方差为( )
A．1.24 B．1.44
C．1.2 D．0.96
[答案] B
[解析] 由题意得X服从二项分布，为X～P(6，p)，E(X)＝6p＝2.4，则p＝0.4，所以D(X)＝6p(1－p)＝1.44.故选B.
5．(2024·安徽合肥质检)甲、乙两名乒乓球运动员进行一场比赛，采用7局4胜制(先胜4局者胜，比赛结束)．已知每局比赛甲获胜的概率均为eq \f(1,2)，则甲以4比2获胜的概率为( )
A．eq \f(1,64) B．eq \f(3,32)
C．eq \f(5,32) D．eq \f(15,64)
[答案] C
[解析] 根据题意，甲运动员前5场内需要赢3场，第6场甲胜，则甲以4比2获胜的概率为Ceq \\al(3,5)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))3·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2×eq \f(1,2)＝eq \f(5,32).故选C.
6．(2023·四川统测)某班在一次以“弘扬伟大的抗疫精神，在抗疫中磨炼成长”为主题的班团活动中，拟在2名男生和4名女生这六名志愿者中随机选取3名志愿者分享在参加抗疫志愿者活动中的感悟，则所选取的3人中女生人数的均值为( )
A．1 B．eq \f(3,2)
C．2 D．eq \f(5,2)
[答案] C
[解析] 记所选取的3人中女生人数为X，则X的可能值为1,2,3，且P(X＝1)＝eq \f(C\\al(2,2)C\\al(1,4),C\\al(3,6))＝eq \f(1,5)，P(X＝2)＝eq \f(C\\al(1,2)C\\al(2,4),C\\al(3,6))＝eq \f(3,5)，P(X＝3)＝eq \f(C\\al(0,2)C\\al(3,4),C\\al(3,6))＝eq \f(1,5)，则X均值E(X)＝1×eq \f(1,5)＋2×eq \f(3,5)＋3×eq \f(1,5)＝2.
秒杀解法：E(X)＝3×eq \f(4,4＋2)＝2.故选C.
7．(2024·广西北海模拟)端午佳节，小明和小华各自带了一只肉粽子和一只蜜枣粽子．现在两人每次随机交换一只粽子给对方，则两次交换后，小明拥有两只蜜枣粽子的概率为( )
A．eq \f(1,3) B．eq \f(1,4)
C．eq \f(1,6) D．eq \f(1,8)
[答案] D
[解析] 由题意，只能第一次两人交换相同的粽子，第二次小明用肉粽子换小华的蜜枣粽子，所以P＝Ceq \\al(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2＝eq \f(1,8)，故选D.
二、多选题
8．(2025·广东部分学校质检)若随机变量X～B(6，p)，且P(X＝3)＝eq \f(5,16)，则( )
A．p＝eq \f(1,2) B．E(X)＝2
C．E(2X＋1)＝7 D．D(X)＝3
[答案] AC
[解析] 因为X～B(6，p)，所以P(X＝3)＝Ceq \\al(3,6)p3(1－p)3＝eq \f(5,16)，整理得p(1－p)＝eq \f(1,4)，解得p＝eq \f(1,2)，则E(X)＝6×eq \f(1,2)＝3，E(2X＋1)＝2E(X)＋1＝7，D(X)＝6×eq \f(1,2)×eq \f(1,2)＝eq \f(3,2).故选AC.
9．(2025·陕西渭南高级中学测试)某学校有甲、乙、丙三个社团，人数分别为14、21、14，现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行某项兴趣调查．已知抽出的7人中有5人对此感兴趣，有2人不感兴趣，现从这7人中随机抽取3人做进一步的深入访谈，用X表示抽取的3人中感兴趣的学生人数，则( )
A．从甲、乙、丙三个社团抽取的人数分别为2人、3人、2人
B．随机变量X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(7，\f(5,7)))
C．随机变量X的数学期望为eq \f(15,7)
D．若事件A＝“抽取的3人都感兴趣”，则P(A)＝eq \f(2,7)
[答案] ACD
[解析] 设甲、乙、丙三个社团分别需抽取x，y，z人，则eq \f(x,14)＝eq \f(y,21)＝eq \f(z,14)＝eq \f(7,14＋21＋14)，所以x＝2，y＝3，z＝2，所以从甲、乙、丙三个社团抽取的人数分别为2人、3人、2人，所以A正确；随机变量X的取值有1,2,3，P(X＝1)＝eq \f(C\\al(1,5)C\\al(2,2),C\\al(3,7))＝eq \f(1,7)，P(X＝2)＝eq \f(C\\al(2,5)C\\al(1,2),C\\al(3,7))＝eq \f(4,7)，P(X＝3)＝eq \f(C\\al(3,5)C\\al(0,2),C\\al(3,7))＝eq \f(2,7)，
所以随机变量X的分布列为
所以B错误；
由期望公式可得随机变量X的数学期望
E(X)＝1×eq \f(1,7)＋2×eq \f(4,7)＋3×eq \f(2,7)＝eq \f(15,7)，所以C正确；
因为P(A)＝P(X＝3)＝eq \f(2,7)，所以D正确．故选ACD.
三、填空题
10．(2024·陕西西安模拟)9粒种子分别种在3个坑内，每个坑种3粒，每粒种子发芽的概率为0.5，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种，若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种．假设每个坑至多补种一次，每补种1个坑需10元，用X表示补种费用，则X的数学期望为________.
[答案] eq \f(15,4)
[解析] 每个坑需要补种的概率是相等的，都是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))3＝eq \f(1,8)，所以此为3次独立重复试验模型，每次试验发生的概率都是eq \f(1,8)，所以需要补种的坑的个数的数学期望为3×eq \f(1,8)＝eq \f(3,8)，补种费用X的数学期望为10×eq \f(3,8)＝eq \f(15,4).
11．(2025·广东八校检测)盒中有3个红球、m个黄球、n个绿球，所有球除颜色不同外其他没有任何区别．从盒中任抽两球，抽到两球均为红球的概率为eq \f(1,5).从盒中任抽3个球，记其中红球的个数为X，则E(X)＝________.
[答案] eq \f(3,2)
[解析] 设盒中共有k个球，则eq \f(C\\al(2,3),C\\al(2,k))＝eq \f(1,5)，解得k＝6，依题意X满足超几何分布X～H(6,3,3)，故E(X)＝3×eq \f(3,6)＝eq \f(3,2).
12．(2025·湖北部分地区开学考试)某射击比赛中，甲、乙两名选手进行多轮射击对决．每轮射击中，甲命中目标的概率为eq \f(2,3)，乙命中目标的概率为eq \f(1,2).若每轮射击中，命中目标的选手得1分，未命中目标的选手得0分，且各轮射击结果相互独立．则进行五轮射击后，甲的总得分不小于3的概率为________.
[答案] eq \f(64,81)
[解析] 进行五轮射击后，甲的总得分不小于3包括命中目标3次或4次或5次，所以概率P＝Ceq \\al(3,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2＋Ceq \\al(4,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))4×eq \f(1,3)＋Ceq \\al(5,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))5＝eq \f(64,81).
四、解答题
13．(2024·安徽三模)甲、乙两人进行知识答题比赛，每答对一题加20分，答错一题减20分，且赛前两人初始积分均为60分，两人答题相互独立．已知甲答对每题的概率均为p，乙答对每题的概率均为q(0