2026届高考数学一轮总复习提能训练练案65随机事件的概率与古典概型

这是一份2026届高考数学一轮总复习提能训练练案65随机事件的概率与古典概型，共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．(2023·湖南湘西州期末)湘西州有甲草原：龙山县八面山空中草原，乙草原：泸溪县滨江大草原，暑假期间两草原供游客休闲旅游，记事件E＝“只去甲草原”，事件F＝“至少去一个草原”，事件G＝“至多去一个草原”，事件H＝“不去甲草原”，事件I＝“一个草原也不去”．下列命题正确的是( )
A．E与G是互斥事件
B．F与I是互斥事件，且是对立事件
C．F与G是互斥事件
D．G与I是互斥事件
[答案] B
[解析] 事件E，G有可能同时发生，不是互斥事件，故A错误；事件F与I不可能同时发生，且发生的概率之和为1，是互斥事件，且为对立事件，故B正确；事件F与G有可能同时发生，即都包括去其中一个草原，不是互斥事件，故C错误；事件G与I有可能同时发生，不是互斥事件，故D错误．故选B.
2．(2024·河北邢台质检联盟月考)将甲、乙、丙、丁四名志愿者随机分配到A，B，C，D四个社区做环保宣传，每个志愿者只能去其中一个社区且每个社区只能安排一名志愿者，则甲不被分到A社区的概率是( )
A．eq \f(7,8) B．eq \f(3,5)
C．eq \f(3,4) D．eq \f(2,3)
[答案] C
[解析] 甲、乙、丙、丁四名志愿者随机分配到A，B，C，D四个社区，共有Aeq \\al(4,4)种情况，其中甲不被分到A社区有Ceq \\al(1,3)Aeq \\al(3,3)种情况，故甲不被分到A社区的概率是eq \f(C\\al(1,3)A\\al(3,3),A\\al(4,4))＝eq \f(3,4).故选C.
3．(2025·山东A7联盟开学联考)从－2，－1,1,3这4个数中随机取出2个不同的数，则这2个数的乘积不超过1的概率为( )
A．eq \f(3,4) B．eq \f(2,3)
C．eq \f(1,2) D．eq \f(1,3)
[答案] B
[解析] 从－2，－1,1,3这4个数中随机取出2个不同的数，共有6种不同的情况，分别为(－2,1)，(－2,3)，(－1,1)，(－1,3)，(－2，－1)，(1,3)，满足乘积不超过1的为(－2,1)，(－2,3)，(－1,1)，(－1,3)，共有4种不同的情况，因此所求的概率为P＝eq \f(4,6)＝eq \f(2,3)，故选B.
4．(2024·辽宁部分学校摸底)某商家为了吸引顾客，促销商品，推出消费满额砸金蛋的活动．某顾客共获得2次砸金蛋的机会，若该顾客砸金蛋时还剩9个金蛋，其中只有3个金蛋有奖券，则该顾客砸出奖券的概率为( )
A．eq \f(2,3) B．eq \f(1,3)
C．eq \f(5,12) D．eq \f(7,12)
[答案] D
[解析] 所求概率为1－eq \f(C\\al(2,6),C\\al(2,9))＝eq \f(7,12)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(或P＝\f(C\\al(1,3)C\\al(1,6)＋C\\al(2,3),C\\al(2,9))＝\f(7,12))).故选D.
5．(2025·湖南八校联合质检)某学校组织学生开展研学旅行，准备从4个甲省景区，3个乙省景区，2个丙省景区中任选4个景区进行研学旅行，则所选的4个景区中甲、乙、丙三个省的景区都有的概率是( )
A．eq \f(6,25) B．eq \f(4,7)
C．eq \f(2,7) D．eq \f(2,5)
[答案] B
[解析] 设样本空间为Ω，则n(Ω)＝Ceq \\al(4,9)＝126，设所选的4个景区中甲、乙、丙三个省的景区都有为事件A，则n(A)＝Ceq \\al(2,4)Ceq \\al(1,3)Ceq \\al(1,2)＋Ceq \\al(1,4)Ceq \\al(2,3)Ceq \\al(1,2)＋Ceq \\al(1,4)Ceq \\al(1,3)Ceq \\al(2,2)＝72，所以P(A)＝eq \f(nA,nΩ)＝eq \f(72,126)＝eq \f(4,7).故选B.
6．(2024·江苏苏锡常镇四市调研)有4个外包装相同的盒子，其中2个盒子分别装有1个白球，另外2个盒子分别装有1个黑球，现准备将每个盒子逐个拆开，则恰好拆开2个盒子就能确定2个白球在哪个盒子中的概率为( )
A．eq \f(1,2) B．eq \f(1,3)
C．eq \f(1,4) D．eq \f(1,6)
[答案] B
[解析] 所求概率P＝eq \f(C\\al(1,2)＋C\\al(1,2),C\\al(1,4)·C\\al(1,3))＝eq \f(1,3).故选B.
7．(2024·江苏南通质检)今年春节，《热辣滚烫》《飞驰人生2》《熊出没之逆转时空》《第二十条》引爆了电影市场，小帅和他的同学一行四人决定去看电影．若小帅要看《飞驰人生2》，其他同学任选一部，则恰有两人看同一部影片的概率为( )
A．eq \f(9,64) B．eq \f(9,16)
C．eq \f(19,32) D．eq \f(45,64)
[答案] B
[解析] 分两种情况讨论：(1)小帅和其中一个同学同时看《飞驰人生2》，另外两个看剩余三部电影中的两部，此时所求概率为eq \f(C\\al(1,3)A\\al(2,3),43)＝eq \f(18,64)＝eq \f(9,32)；(2)观看《飞驰人生2》只有小帅一人，只需要将剩余三人分成两组，再将这两组人分配给两部电影，此时所求概率为eq \f(C\\al(2,3)A\\al(2,3),43)＝eq \f(18,64)＝eq \f(9,32)；综上，恰有两人看同一部影片的概率为eq \f(9,32)×2＝eq \f(9,16).
8．(2025·浙江嘉兴测试)将数字1,2,3,4,5,6,7,8,9随机填入3×3的正方形格子中，则每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数字之和都相等的概率为( )
A．eq \f(8,9！) B．eq \f(19,9！)
C．eq \f(24,9！) D．eq \f(48,9！)
[答案] A
[解析] 计算可知每行、每列数字之和都为15，符合题意的填写方法有如下8种：
而9个数填入9个格子有9！种方法，
所以所求概率为P＝eq \f(8,9！)，故选A．
二、多选题
9．(2024·湖北部分学校期中联考)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为AB，A1D1的中点．取点B1，C，E，F，若一条直线过其中两点，另一条直线过另外两点，则( )
A．两条直线为异面直线是必然事件
B．两条直线互相垂直的概率为eq \f(1,3)
C．两条直线互相平行与互相垂直是对立事件
D．两条直线都与直线AC1垂直是不可能事件
[答案] ABD
[解析] 因为点B1，C，E，F不共面，所以两条直线为异面直线，故A正确；过四点的两条直线共有3种情况，其中仅当一条直线过B1，F，另一条直线过C，E时，这两条直线相互垂直，故相互垂直的概率为eq \f(1,3)，故B正确；两条直线互相平行的概率为0，而两条直线互相垂直的概率小于1，故两条直线互相平行与互相垂直不是对立事件，故C错误；B1C，B1E，B1F中，只有B1C与AC1垂直，且当B1C⊥AC1时，EF与AC1不垂直，故D正确．
10．高中某学校对一次高三联考物理成绩进行统计分析，随机抽取100名学生成绩得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，同时计划从样本中随机抽取个体进行随访，若从样本随机抽取个体互不影响，把频率视为概率，则下列结论正确的是( )
A．学生成绩众数估计为75分
B．考生成绩的第75百分位成绩估计为80分
C．在[90,100]内随机抽取一名学生访谈，则甲被抽取的概率为0.01
D．从[40,50)和[90,100]内各抽1名学生，[70,80)抽2名学生调研，又从他们中任取2人进行评估测试，则这2人来自不同组的概率为0.13
[答案] AB
[解析] 由频率分布直方图得，成绩在[70,80)的频率最高，所以估计成绩的众数为75分，故A正确；因为0.010×10＋0.015×10＋0.020×10＋0.030×10＝0.75，所以估计第75百分位成绩为80分，故B正确；因为成绩在[90,100]内的人数为100×0.010×10＝10，所以随机抽取一名学生访谈，甲被抽取的概率为0.1，故C错误；由P＝eq \f(2C\\al(1,2)＋1,C\\al(2,4))＝eq \f(5,6)知，故D错误．故选AB.
11．(2024·辽宁鞍山质检)甲盒中有3 个白球，2个黑球，乙盒中有2个白球，3个黑球，则下列说法中正确的是( )
A．若从甲盒中一次性取出2个球，记X表示取出白球的个数，则P(X＝1)＝eq \f(3,10)
B．若从甲盒和乙盒中各取1个球，则恰好取出1个白球的概率为eq \f(13,25)
C．若从甲盒中连续抽取3次，每次取1个球，每次抽取后都放回则恰好得到2个白球的概率为eq \f(54,125)
D．若从甲盒中取出1球放入乙盒中，再从乙盒中取出1球，记B：从乙盒中取出的1球为白球，则P(B)＝eq \f(13,30)
[答案] BCD
[解析] P(X＝1)＝eq \f(C\\al(1,3)·C\\al(1,2),C\\al(2,5))＝eq \f(3,5)，A错误；从甲、乙盒中各取一球恰好取出一个白球的概率为P＝eq \f(C\\al(1,3)C\\al(1,3)＋C\\al(1,2)C\\al(1,2),C\\al(1,5)C\\al(1,5))＝eq \f(13,25)，B正确；P＝eq \f(C\\al(1,3)C\\al(1,3)C\\al(1,3)C\\al(1,2),C\\al(1,5)C\\al(1,5)C\\al(1,5))＝eq \f(54,125)，C正确；P(B)＝eq \f(C\\al(1,3)C\\al(1,3)＋C\\al(1,2)C\\al(1,2),C\\al(1,5)C\\al(1,6))＝eq \f(13,30)，D正确．故选BCD.
三、填空题
12．(2025·高考综合改革适应性演练)有8张卡片，分别标有数字1,2,3,4,5,6,7,8，现从这8张卡片中随机抽出3张，则抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等的概率为________.
[答案] eq \f(3,56)
[解析] 从8张卡片中随机抽出3张共有Ceq \\al(3,8)＝56种抽法，又抽出的3张卡片上的数字之和为eq \f(1,2)×eq \f(8×1＋8,2)＝18，所以符合题意的抽法有8,7,3或8,6,4或7,6,5共3种，故所求的概率为eq \f(3,56).
13．(2024·河南驻马店部分学校模拟)某校拟开设“生活中的数学”“音乐中的数学”“逻辑推理论”“彩票中的数学”和“数学建模”5门研究性学习课程，要求每位同学选择其中2门进行研修，记事件A为甲、乙两人至多有1门相同，且甲必须选择“音乐中的数学”，则P(A)＝________.
[答案] eq \f(9,25)
[解析] 若甲、乙两人的选课都不相同则共有Ceq \\al(1,4)Ceq \\al(2,3)＝4×3＝12种；若甲、乙两人的选课有1门相同，则共有2Ceq \\al(2,4)＋Ceq \\al(1,4)Ceq \\al(1,3)＝24种．故P(A)＝eq \f(12＋24,C\\al(2,5)C\\al(2,5))＝eq \f(9,25).
14．(2025·河北唐山摸底)在正八面体ABCDEF中，任取四个顶点，则这四点共面的概率为________；任取两个面，则所成二面角为钝角的概率为________.
[答案] eq \f(1,5) eq \f(6,7)
[解析] 如图，在正八面体ABCDEF中，八个面是全等的等边三角形，EF，AC，BD相交于同一点且两两互相垂直，则四边形ABCD，AFCE，BFDE是正方形，任取四个顶点，则这四点共面的概率为P1＝eq \f(3,C\\al(4,6))＝eq \f(3,15)＝eq \f(1,5)；设AB＝eq \r(2)，则EF＝AC＝BD＝2，取AB的中点H，连接EH，FH，则EH⊥AB，HF⊥AB，所以∠EHF是平面EAB与平面FAB所成的角，所以cs∠EHF＝eq \f(EH2＋HF2－EF2,2EH·HF)＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),2)))2－4,2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),2)))2)＝－eq \f(1,3)，所以∠EHF是钝角，根据正八面体结构，每个面与其余6个面所成的角均为钝角，与另一个面平行，所以任取两个面，则所成二面角为钝角的概率为P2＝eq \f(\f(8×6,2),C\\al(2,8))＝eq \f(24,28)＝eq \f(6,7).
B组能力提升
1．(2024·四川成都名校联考)2025年四川省新高考将实行3＋1＋2模式，即语文、数学、英语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式．假若今年高一的小明与小芳都对所选课程没有偏好，则他们所选六科中恰有四科相同的概率是( )
A．eq \f(1,36) B．eq \f(5,12)
C．eq \f(1,3) D．eq \f(1,12)
[答案] B
[解析] 两人所选六科的情况共有Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(2,4)·Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(2,4)＝144种情况，由于语文、数学、英语必选，故所选六科中恰有四科相同的情况，包含以下情况，第一，物理、历史有一科相同，政治、地理、化学、生物不相同，有Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(2,4)＝12种情况．
第二，物理、历史不相同，政治、地理、化学、生物有一科相同，有Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(1,4)Ceq \\al(1,3)Ceq \\al(1,2)＝48种情况，所以所求概率P＝eq \f(12＋48,144)＝eq \f(5,12).故选B.
2．(2024·山东烟台期末)我国古代十进制数的算筹记数法是世界数学史上一个伟大的创造．算筹一般为小圆棍算筹计数法的表示方法为：个位用纵式，十位用横式，百位再用纵式，千位再用横式，以此类推；遇零则置空．纵式和横式对应数字的算筹表示如下表所示，例如：10记为“”，62记为“”．现从由4根算筹表示的两位数中任取一个数，则取到的数字为质数的概率为( )
A．eq \f(2,5) B．eq \f(3,5)
C．eq \f(3,8) D．eq \f(3,10)
[答案] A
[解析] 由题意可知，共有4根算筹，当十位1根，个位3根，共有2个两位数13、17；当十位2根，个位2根，共有4个两位数22,26,62,66；当十位3根，个位1根，共有2个两位数31,71；当十位4根，个位0根，共有2个两位数40,80；其中质数有13、17、31、71，所以取到的数字为质数的概率为eq \f(4,2＋4＋2＋2)＝eq \f(2,5)，故选A．
3．(2024·云南大理统测)云南省大理州于2023年5月4日至10日成功举办了三月街民族节活动．在活动期间，有6名志愿者报名参加了三月街民族节志愿服务活动，活动结束后6名志愿者排成一排合影，则甲志愿者不在两边，乙、丙志愿者相邻的概率为________.
[答案] eq \f(1,5)
[解析] 6名志愿者排成一排合影共有Aeq \\al(6,6)种排法，而乙、丙志愿者相邻，甲志愿者不在两边的排法有：Ceq \\al(1,3)·Aeq \\al(4,4)·Aeq \\al(2,2)种排法，故甲志愿者不在两边，乙、丙志愿者相邻的概率为eq \f(C\\al(1,3)·A\\al(4,4)·A\\al(2,2),A\\al(6,6))＝eq \f(1,5).
4．(2025·广西南宁二中开学考试)寒假里5名同学结伴乘动车外出旅游，实名制购票，每人一座，恰在同一排A、B、C、D、E五个座位(一排共五个座位)，上车后五人在这五个座位上随意坐，共有________种不同的坐法，其中恰有一人坐对与自己车票相符座位的概率为________.(用数字作答)
[答案] 120 eq \f(3,8)
[解析] 由题意可知，上车后五人在这五个座位上随意坐，坐法种数为Aeq \\al(5,5)＝120种．假设A坐对自己的位置，其他四人没有坐对与自己车票相符座位所包含的基本事件有：CBED、CEBD、CDEB、DBEC、DEBC、DECB、EBCD、EDBC、EDCB，共9种，因此，所求概率为P＝eq \f(5×9,120)＝eq \f(3,8).
C组拓展应用(选作)
(2024·全国甲卷)有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中无放回地随机取3次，每次取1个球．记m为前两次取出的球上数字的平均值，n为取出的三个球上数字的平均值，则m与n之差的绝对值不大于eq \f(1,2)的概率为________.
[答案] eq \f(7,15)
[解析] 从6个不同的球中不放回地抽取3次，共有Aeq \\al(3,6)＝120种，
设前两个球的号码为a，b，第三个球的号码为c，则|eq \f(a＋b＋c,3)－eq \f(a＋b,2)|≤eq \f(1,2)，
故|2c－(a＋b)|≤3，故－3≤2c－(a＋b)≤3，
故a＋b－3≤2c≤a＋b＋3，
若c＝1，则a＋b≤5，则(a，b)为(2,3)，(3,2)，故有2种，
若c＝2，则1≤a＋b≤7，则(a，b)为
(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(3,4)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)，(4,3)，故有10种，
当c＝3，则3≤a＋b≤9，则(a，b)为
(1,2)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(4,5)，(2,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)，(4,2)，(5,2)，(6,2)，(5,4)，故有16种，
当c＝4，则5≤a＋b≤11，同理有16种，
当c＝5，则7≤a＋b≤13，同理有10种，
当c＝6，则9≤a＋b≤15，同理有2种，
即m与n的差的绝对值不超过eq \f(1,2)时不同的抽取方法总数为2(2＋10＋16)＝56，故所求概率为eq \f(56,120)＝eq \f(7,15).数字
1
2
3
4
5
6
7
8
9
纵式
横式