湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2024-2025学年高一下学期期中联考数学试卷（解析版）

这是一份湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2024-2025学年高一下学期期中联考数学试卷（解析版），共15页。试卷主要包含了 已知，则的虚部为， 已知向量，若，则， ，则的大小关系为， 要得到的图象，只需将的图象， 已知复数，则下列选项正确的是等内容，欢迎下载使用。
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知，则的虚部为（ ）
A. B. 3C. D.
【答案】B
【解析】，
，故的虚部为3.
故选：B.
2. 已知向量，若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因，
所以，，
又，
所以，解得.
故选：A.
3. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】.
故选：B.
4. ，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因在上单调递增，
则，
又，所以，所以，
所以.
故选：B
5. 努力公式是一个用来描述努力与结果之间关系的数学公式，它通常表示为，．我们可以把看作每天的进步率都是，而把看作每天的落后率都是，大约经过（ ）天后进步的是落后的200倍
A. 264B. 266C. 268D. 270
【答案】A
【解析】设天后进步的是落后的200倍，则，，
即，
所以有（天）.
故选：A.
6. 要得到的图象，只需将的图象（ ）
A. 所有点的横坐标伸长到原来的4倍，再向左平移个单位
B. 所有点的横坐标伸长到原来的4倍，再向左平移个单位
C. 所有点的横坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位
D. 所有点的横坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位
【答案】D
【解析】因为，
所以先将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），
得到的图象，再向左平移个单位，得到的图象.
故选：D．
7. 在平行四边形中，，直线与直线所成的夹角为，则平行四边形的面积为（ ）
A. B. C. 1D. 3
【答案】A
【解析】设与相交于点，由题意可得
由平行四边形的面积等于，
因为，
所以，
又
所以，
由得，则，
所以四边形的面积为.
故选：A
8. 中，角所对的边分别为，若分别为的外心和重心，则（ ）
A. B. 2C. 3D.
【答案】D
【解析】设为边中点，连接,作于，即为中点，
因为,
同理,
则
故选：D
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知复数，则下列选项正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】对于A，，故A错误；
对于B，，所以，
而，所以，故B正确；
对于C，，所以，由AB可得，故C正确；
对于D，，，故D正确.故选：BCD
10. 若定义在上的奇函数和偶函数满足，则（ ）
A.
B.
C.
D. 对恒成立，则的取值范围为
【答案】BCD
【解析】因为，——①
所以，
又因为是奇函数，是偶函数，所以，——②
由①②，解得，.
对于A，，故A错误；
对于B，，，故B正确；
对于C，，，故C正确；
对于D，，令，
则原式变为，
令，
由二次函数的性质可得要使在时恒成立，则，
故D 正确.
故选：BCD
11. 声音也包含着正弦函数．我们平时听到的声音不只是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音．复合音的产生是因为发声体在全段振动，产生频率为的基音的同时，其各部分，如二分之一、三分之一、四分之一部分也在振动，产生的频率恰好是全段振动频率的倍数，如等，这些音叫谐音，因为其振幅较小，我们一般不易听出来．例如，某一个复合音的函数为，关于，下列说法正确的是（ ）
A. 是函数的一个周期
B. 关于点中心对称
C. 在区间上为增函数
D. 函数的值域为
【答案】ABD
【解析】对于A，
，
所以是函数的一个周期，故A正确；
对于B，
，
所以关于点中心对称，故B正确；
对于C，由函数，
当时，，
当，，所以，
所以在区间上不是单增函数，故C错误；
对于D，
，定义域为，
令，，所以，
当时，取得最小值为，当时，，
所以函数的值域为，故D正确.
故选：ABD.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若函数为奇函数，则实数的值为__________．
【答案】1
【解析】由题意可得，即，
即，
所以，即，
展开整理可得，
即，
比较系数可得，解得.
当时，，函数定义域为关于原点对称，
，为奇函数符合题意.
故答案为：1
13. 已知向量满足：，则在上的投影向量的坐标为______．
【答案】
【解析】利用向量的数量积运算以及投影坐标的概念求解．由得，
又，所以，所以，
所以在上的投影向量的坐标为．
故答案为：．
14. 已知在等腰中，在直线上，且，令，则__________．
【答案】或
【解析】如图，在直线上，
且，所以,
因为，，
所以,
又因为是等腰三角形，所以，，
则,
.
在中，由正弦定理可得，，
即，
在中，由正弦定理可得，，
即，
所以，因为，解得，
所以，.
故答案为：.
四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 如图，已知的图象与轴的交点为，它在轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为和.
（1）求函数的解析式；
（2）已知，角的终边与单位圆交于点，求的值．
解：（1），
由图象可得，
又最高点，最低点，
联立解得，所以函数的解析式为.
（2）
因为，解得，
由角的终边与单位圆交于点，可得，
所以.
16. 记的内角的对边分别为，已知
（1）求角；
（2）若，求的面积．
解：（1）因为，
则，即，
因为，所以，
则，所以.
（2）因为，
则由正弦定理和二倍角公式得，
因为，所以，
因为，所以，
又由（1）知，
则，
又，由正弦定理，，
所以的面积.
17. 如图所示，在中，是边的中点，在边上，与交于点．
（1）以为基底表示；
（2）若，求的值．
解：（1）由题意，设，是边的中点，
，则，
与交于点，即三点共线，则可设，
，所以，
根据平面向量基本定理，则有，解得，
所以.
（2），
,
，
因为，
所以，
化简整理可得，所以.
18. 已知函数且，满足
（1）求参数的值；
（2）若曲线关于点对称，则满足，证明：曲线是中心对称图形；
（3）若对于，不等式恒成立，求参数的取值范围．
解：（1）函数且，满足，
则，化简得，
因为，解得.
（2）证明：因为曲线关于点对称，则满足，
由（1）知，，
则，
所以，即，
所以曲线关于点对称，所以曲线是中心对称图形.
（3）由（1）知，，，
因为为单调递增函数，则为单调递减函数，
由（2）知，，
则，
则不等式
可化为：，
所以，即，
令，，
则，
则当时，
所以，即，解得，
所以对于，不等式恒成立，
参数的取值范围为．
19. 形如的数称为复数的代数形式，而任何一个复数都可以表示成的形式，即其中为复数的模，叫做复数的辐角，我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值，记．复数叫做复数的三角形式．由复数的三角形式可得出，若，则=．其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍．
（1）试将写成三角形式（辐角取主值）；
（2）复平面内，将对应的向量绕原点顺时针方向旋转，模长变为原来的2倍后，所得向量对应的复数为，求；
（3）类比高中函数的定义，引入虚数单位，自变量为复数的函数称之为复变函数．已知复变函数．若存在实部不为0，且虚部大于0的复数和实数，使得成立，复数在复平面上对应的点为为坐标原点，点，以为边作正方形，其中在上方，求线段的最大值．
解：（1）由于，故，所以，
所以，因为，所以，
所以.
（2）
.
（3）设，
则
.
因为存在实数，使得成立，所以为实数，
所以，
因为，所以，
当时，，符合题意，点A的轨迹为单位圆的一部分．
设所表示复数为，
则，记所表示的复数为，
则，
故，
当时，.