2022-2023学年湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校高一上学期期中联考数学试题（解析版）

 2022-2023学年湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校高一上学期期中联考数学试题

一、单选题

1．已知集合，集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】解不等式确定集合，然后由交集定义计算．

【详解】解不等式得，故集合，从而，

故选：D.

2．已知条件p：（），条件q：，则p是q的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据充分必要条件的定义判断.

【详解】易知，（）时，必有，充分的，

时，（）或（），不必要，

故选：A.

3．下列各组函数图象相同的是（    ）

A．与 B．与 C．与 D．与

【答案】D

【分析】函数图象相同，则说明函数相同，需要满足函数的定义域与解析式都相同，先分别求出各组函数的定义域，若定义域相同，则继续化简解析式即可判断.

【详解】函数，定义域为R，而 定义域为，定义域不相同，A项错误；

函数，定义域为R，定义域为，定义域不相同，B项错误；

函数与定义域均为R，定义域相同，，两者解析式不同，C项错误；

函数与定义域均为R,且与解析式也相同，是同一函数，从而图象相同.

故选：D.

4．下列推断正确的是（    ）

A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，，则

【答案】C

【分析】根据特殊值判断ABD，结合的单调性判断C.

【详解】对于A，当，，满足，但不满足，故错误；；

对于B，当，时，满足，，不满足，故错误；

对于C，由在上单调递增可知C正确；

对于D，当，，时，满足，，但不满足.

故选：C.

5．函数，，则与的图象在同一坐标系中可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据二次函数与一次函数的图像性质分，两种情况讨论求解即可.

【详解】解：当时，的图像开口向下，与轴交于点，的图像与轴交于负半轴，故A错误，C正确；

当时，的图像开口向上，与轴交于点，的图像与轴交于正半轴，故D错误，

又时，图像的对称轴在轴左边，故B错误.

故选：C.

6．已知点位于函数的图象在第一象限内的部分上，则的最小值为（    ）

A．5 B．4 C．3 D．2

【答案】B

【分析】点坐标代入函数表达式得，然后用“1”的代换法求得最小值．

【详解】由题意知，且，，故，从而，当且仅当，等号成立.

故选：B.

7．若函数的定义域是，则函数的定义域是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由已知求得的取值范围，此范围也即为中的范围，也即通过函数的定义域求解，从而可得结论．

【详解】函数的定义域是，，所以的定义域是，

故对于函数，有，解得，

从而函数的定义域是，

故选：D.

8．若函数的定义域为，且.若对任意不相等的实数，恒有，则不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】构造函数，根据题意得在上单调递减，再题意转化为解即可.

【详解】解：因为对任意不相等的实数，恒有，

所以，对任意不相等的实数，恒有，即，

令，

所以，对任意不相等的实数，恒有，即，

不妨设，则，

所以，，即，

所以，在上单调递减.

所以

，

所以不等式的解集为.

故选：D.

二、多选题

9．设集合，，全集，下列说法正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】CD

【分析】先确定两个集合中的元素，然后根据集合运算的定义判断．

【详解】由知集合，由知集合，故，只有CD正确 ．

故选：CD.

10．下列命题正确的是（    ）

A．“”的一个充分不必要条件是“且”

B．命题“，”的否定是“，”

C．若集合只有两个子集，则

D．函数的最小值为

【答案】AD

【分析】根据充分必要条件的概念判断A项；根据全称量词命题的否定格式可判断B项；C项说明集合只有一个元素，需讨论；D项变式可用基本不等式求解.

【详解】易知A正确；

命题“，”的否定是“，”，B错误；

集合只有两个子集说明该集合是单元素集，即方程仅有一个根，从而或，C错误；

，当且仅当，等号成立，D正确.

故选：AD.

11．下列函数在区间上单调递增的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AB

【分析】求函数的单调区间，首先要确定函数的定义域，若存在定义域之外的元素，则不符合条件；对其他选项可根据特殊函数的单调性得出.

【详解】由“对勾”函数的单调性可知，函数在单调递增，A正确；

由在单调递增，在单调递减，知在单调递增，B正确；

函数在处无定义，因此不可能在单调递增，C错误；

函数的定义域为，因此在上没有定义，故不可能在单调递增，D错误.

故选:AB.

12．若正数a，b满足，则的值可能为（    ）

A．4 B．6 C．8 D．10

【答案】BCD

【分析】由题知，再结合基本不等式“1”的用法求解即可；

【详解】解法1：由得，

而，当且仅当，等号成立，

∴，当且仅当，等号成立.

解法2：由得，，

所以，，

而，当且仅当，等号成立，

∴，当且仅当，等号成立.

故选：BCD.

三、填空题

13．设集合，，则______.

【答案】

【分析】由题知，，再求集合交集运算即可.

【详解】解：不等式即为，

所以，解得，

所以，

解不等式得，即，

所以，.

故答案为：

14．设函数满足，则______.

【答案】3

【分析】分别令和得出关于、的方程，联立解之可得.

【详解】令，得，①

令，得，②

联立①②解得.

故答案为：3.

15．设函数，，若对，，使得，则的取值范围为______.

【答案】

【分析】由题知且，再结合二次函数性质求解即可.

【详解】因为对，，使得，

所以，在上的值域是在上的值域的子集，

因为在上的值域为，

所以，且，

又的对称轴为直线，开口向上，

所以，当时，，，

所以，且，解得，

所以，的取值范围为.

故答案为：

16．若时，恒成立，则a的取值范围为______.

【答案】

【分析】两种思路：第一种是，由已知分离参数，化简用基本不等式求右边的最小值；第二种是，看成一元二次不等式在区间上恒成立问题，即讨论对称轴与给定范围的关系，求得区间上的最小值.

【详解】解法1：时，恒成立，

即恒成立，即恒成立.

令（），则，，

当且仅当，即，等号成立，

故，即a的取值范围为.

解法2：令，

则由题意知，，在时恒成立，即时，.

①当，即时，在单调递增，

此时，成立，

所以，恒成立；

②当，即时，在上单调递减，

在单调递增，所以，

此时只需，即可，即

解得，，∴，

综上所述，a的取值范围为.

故答案为：.

四、解答题

17．已知集合，.

(1)当时，求；

(2)若，求m的取值范围.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）解分式不等式得集合，然后由交集定义计算；

（2）根据并集的结论有，然后由集合的包含关系求解，根据集合是否为空集分类讨论．

【详解】（1），故集合，

时，集合，故.

（2）∵，

∴.

当时，，；

当时，，解得，

综上所述，m的取值范围为.

18．设正实数x，y满足，试求：

(1)的最小值

(2)的最小值.

【答案】(1)的最小值为；

(2)的最小值为24.

【分析】（1）由已知得，，根据“1”的代换后，利用基本不等式求解；也可以变为，代入化简变形后，利用基本不等式求解；

（2）直接根据基本不等式得到，结合已知条件即可求得结果；也可以变为，代入化简变形后，利用基本不等式求解.

【详解】（1）解法1：由得，

所以，，

当且仅当，即，，等号成立，

∴的最小值为.

解法2：由得，

由于x，y均为正数，故.

则，当且仅当等号成立.

∴的最小值为.

（2）解法1：∵，当且仅当，，等号成立，

又∴，  则，.

∴的最小值为24.

解法2：由得，

由于x，y均为正数，故.

，

当且仅当等号成立，∴的最小值为24.

19．定义运算，设.

(1)求的解析式；

(2)解不等式.

【答案】(1)；

(2)或.

【分析】（1）根据题目给出的定义形式，理解定义形式，求出分段函数；

（2）根据求出的分段函数，分类讨论求解不等式.

【详解】（1）由定义，当即时，，

当即时，，

∴.

（2）当时，，即，

解得，           ∴；

当时，即，，解得，        ∴.

综上所述，不等式的解集为或.

20．假设某冷藏运输车以不低于30的速度从甲地向相距300的乙地运送某种冷鲜食品时，总耗油量与行驶速度的关系为（，为常数），冷藏成本Q（元）与行驶速度v成反比.已知该车某次以60的速度从甲地向乙地运送该冷鲜食品时，共耗油32L，冷藏成本为108元；另一次以75的速度从甲地向乙地运送该冷鲜食品时，共耗油31L.供货商每次按0.9元/（）的价格付给司机运费，设货车油价保持8.1元/L不变.（该车从起步至速度达到30过程中的耗油量忽略不计）

(1)求该车从甲地向乙地运送该冷鲜食品的总成本（元）与行驶速度v（）的关系式.

(2)根据《道路交通安全法》规定，该车在此路段限速80，若该车从甲地运输5t该冷鲜食品到乙地，则该车以多大的速度行驶时，收益最大？最大收益是多少元？

【答案】(1)（）；

(2)该车以80的速度行驶时，收益最大，最大收益是1017.9元.

【分析】（1）由已知数据求得得，然后求出得出，从而得函数式；

（2）利用函数的单调性可求得的最小值即可得收益最大值．

【详解】（1）依题意，有，解得，

，

设，则有，

∴，

∴，

∴（）

（2）设收益为，则，

设，，

设，则，

所以，

在上是减函数，

所以在上单调递减，

∵，

∴，

∴，

∴该车以80的速度行驶时，收益最大，最大收益是1017.9元.

21．设幂函数在单调递增，

(1)求的解析式；

(2)设不等式的解集为函数的定义域，记的最小值为，求的解析式.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据幂函数的定义形式和单调性，即可得到解析式；

（2）解出不等式，得到函数定义域，则题目转化为求含参二次函数在定区间上的最小值，分类比较对称轴和区间的关系，即可求得的解析式.

【详解】（1）∵是幂函数且在单调递增，

∴，解得，∴.

（2）即，解得，

∴的定义域为.

则，当，即时，；

当，即时，；

当，即时，.

所以，.

22．设定义在上的函数满足：①对，，都有；②时，；③不存在，使得.

(1)求证：为奇函数；

(2)求证：在上单调递增；

(3)设函数，，不等式对恒成立，试求的值域.

【答案】(1)证明见解析；

(2)证明见解析；

(3).

【分析】（1）赋值法求得，然后再令可证得奇函数；

（2）由已知先证得，再证得时，，然后任取，则，，再根据已知条件变形可证得单调性；

（3）由已知求出，然后已知不等式根据已知等式变形化简后由函数的单调性进行转化，转化为二次不等式恒成立，从而求得的范围，最后再由二次函数性质得值域．

【详解】（1）的定义域为，关于原点对称，

令，得，解得或，

又不存在，使得，

∴，

令，得，

∴，

∴为奇函数.

（2）时，，

∴，当且仅当，等号成立，

又不存在，使得，

∴，

∴时，，

又为奇函数，

∴时，，

∴对，，

任取，则，，

而，

∴，

又，，

∴，

∴，

∴，，

∴在上单调递增.

（3），

∴，

，

∵不等式对恒成立，

∴对恒成立，

又在上单调递增，

∴对恒成立，即对恒成立，

当时，对恒成立，

当时，对恒成立，解得，

综上，，

而函数在上单调递减，

∴的值域为.

【点睛】方法点睛：本题考查抽象函数的奇偶性、单调性，抽象函数的不等式恒成立问题并考查求二次函数的值域．解决抽象函数的基本方法是赋值值，根据函数的奇偶性、单调性的定义进行赋值，从已知式中得出与的关系，得出的正负，赋值时有时需要求出具体的函数值，如本题求，在对第（3）问题中不等式进行变形时还需要求得，解题的关键就是已知抽象函数的性质：，利用它对进行变形．