湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2024-2025学年高二上学期期中联考数学试卷（解析版）

这是一份湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2024-2025学年高二上学期期中联考数学试卷（解析版），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设复数，则的虚部为（ ）
A. 2iB. C. 2D.
【答案】C
【解析】因为，
所以，其虚部为：2.
故选：C.
2. 已知三点，则过点的直线与线段AB有公共点时，直线斜率的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】运用两点间的斜率公式，，，
过点的直线与线段AB有公共点时，如图所示，
直线斜率的取值范围是.

故选：B.
3. 已知，则在方向上的投影向量的坐标为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为，所以，，
所以，
所以在方向上的投影向量的坐标为.
故选：D.
4. 圆与圆的公共弦长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】圆①与圆②，
①－②得，即公共弦方程为，
又圆的半径为，圆心为，
圆心到直线距离，
所以公共弦长为.
故选：C.
5. 已知平面向量满足.则向量与向量的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】已知，根据向量模长公式.
因为，将其两边平方可得.
根则有.
，所以；，所以.
代入上式可得，化简得，
所以.
，解得.
因为，所以.
故选：A.
6. 一个不透明的盒子中装有大小和质地都相同的编号分别为1，2，3，4，5，6的6个小球，从中任意摸出两个球．设事件“摸出的两个球的编号之和不超过6”，事件“摸出的两个球的编号都大于3”，事件“摸出的两个球中有编号为4的球”，则（ ）
A. 事件与事件是相互独立事件
B. 事件与事件是对立事件
C. 事件与事件是互斥事件
D. 事件与事件是互斥事件
【答案】D
【解析】由题意可知：所以基本事件为： ，
；
；，
所以，，，
对于A，因为，而，故错误；
对于B，因为，
所以事件与事件不是对立事件，故错误；
对于C，因为，
则，
所以事件与事件不是互斥事件，故错误；
对于D，因为，，
所以，
所以事件与事件是互斥事件，故正确.
故选：D.
7. 如图，在正四棱台中，.直线与平面EFG交于点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】依题意，，在四棱台中，
，
设，则四点共面，
.
故选：A.
8. 阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为.阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是平面与平面的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】依题意，平面的法向量为，平面的法向量为，平面的法向量为，
设直线的方向向量为，
，，
∴，令，∴
直线与平面所成角的正弦值为.
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列说法不正确的是（ ）
A. 若直线的斜率为，则此直线的倾斜角为
B. 不与坐标轴平行或重合的直线，其方程一定可以写成两点式
C. 是直线与直线垂直的充要条件
D. 是直线与直线平行的充要条件
【答案】ACD
【解析】对于A选项，直线的斜率为时，倾斜角的范围是.
当不在这个区间时，不能直接说直线的倾斜角为.
例如时，，但直线倾斜角.所以A选项说法不正确.
对于B选项，不与坐标轴平行或重合的直线，它有两个不同的点.
两点式方程（且）适用于这种直线，
所以其方程一定可以写成两点式，B选项说法正确.
对于C选项，对于直线和，
若两直线垂直，则.
对于直线与直线，
由垂直条件可得，即，解得或.
所以是两直线垂直的充分不必要条件，C选项说法不正确.
对于D选项，若两直线平行，则.
对于直线与直线，
由平行条件可得.
由得，即，解得.
当时，，，，
不满足，所以两直线不平行.
所以不是两直线平行的充要条件，D选项说法不正确.
故选：ACD.
10. 如图，棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方形内的一个动点（包括边界），且平面，则下列说法正确的有（ ）
A. 的最小值为
B. 当与垂直时，直线与平面所成的角的正切值为
C. 三棱锥体积的最小值为
D. 当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为
【答案】ABC
【解析】如图，令中点为中点为，连接MN，
又正方体中，为棱的中点，可得，
平面平面，又，
且平面平面平面，
又平面，且平面平面，
又为正方形内一个动点（包括边界），平面平面，而平面平面，的轨迹为线段，
对A，将平面和平面展开到一个平面内，的最小值即点和点连线的距离，由题意易得，
所以，从而可得取最短距离时，是的中点，且，
又，所以，所以，故A正确；
对B，的轨迹为线段与平面ABCD所成的角即与平面所成的角，F点到平面的距离为点在平面的射影P在上靠近点的四等分点，，故直线与平面ABCD所成的角的正切值为，故选项B正确；
对C，由正方体侧棱底面，
所以三棱锥体积为，
所以面积最小时，体积最小，如图，，
易得在处时最小，此时，所以体积最小值为，故选项C正确；
对D，如图，当在处时，三棱锥的体积最大时，
由已知得此时，所以在底面的射影为底面外心，
，所以底面为直角三角形，
所以在底面的射影为中点，设为，
如图，设外接球半径为，
由，
可得外接球半径，其外接球的表面积为，
故选项D错误．
故选：ABC.
11. 已知曲线，点为曲线上任意一点，则（ ）
A. 曲线的图象表示两个圆
B. 的最大值是
C. 的取值范围是
D. 直线与曲线有且仅有2个交点
【答案】ACD
【解析】对于A，由得，
即，
所以或，
所以曲线表示以为圆心，为半径的两个圆．故A正确.
对于表示到原点距离的平方再加1，如图，根据两圆关于原点对称，故最大值考虑一种情况即可，即为.故B错误.
对于表示点与点连线的斜率.
如图，设过点且与圆相切的直线为，
由直线与圆相切得或
故C正确.
对于D，由C知，时，则直线为，与圆M相切.
圆心N到直线距离，
故直线为，与圆N相切.
直线与曲线有且仅有两个交点.故D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 经过点，且在轴上的截距为轴上截距的2倍的直线方程为______.
【答案】或
【解析】当直线过原点时,因为直线过原点和点，则斜率.
直线方程为，即.
当直线不过原点时,设直线在轴上的截距为，则在轴上的截距为，直线的截距式方程为.
因为直线过点，将点的坐标代入截距式方程. 解得.
所以直线方程为，化为一般式为.
故所求直线方程为或.
13. 在平面直角坐标系Oxy中，圆上存在点到点的距离为2，则实数的取值范围为______.
【答案】
【解析】圆的标准方程为，故圆是以为圆心，1为半径的圆，的轨迹是以为圆心，2为半径的圆.
依题意，两圆有交点，则，
两边平方得，解得，
所以实数的取值范围为.
14. 已知实数满足，则的最大值为______．
【答案】
【解析】设Ax1,y1，Bx2,y2，
因为，，所以、为圆上的两点.如图：

则.
又，所以，
取中点，则.
作直线：，作，，，，垂足分别为，，，.
所以
又，所以.
即.
所以.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在中，已知点边上的高线所在的直线方程为，角的平分线所在的直线方程为.
（1）求直线AC的方程；
（2）求直线AB的方程.
解：（1）边上的高线所在的直线方程为，
边可设为
又点在AC边上，，
求得
直线AC的方程为.
（2）由，解得
设点关于直线对称的点
，解得,,
又点在直线AB上，，
则求得直线AB的方程为：，即.
16. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，.
（1）求；
（2）若的面积为，求BC边上中线的长.
解：（1）由题设得
于是故
由正弦定理得
又，

故.
（2）由（1）知，
所以是顶角为，底角为的等腰三角形，即，
，
设BC边上中线的长为，则有
.
.
17. 黄石二中举行数学竞赛校内选拔赛（满分100分），为了了解本次竞赛成绩的情况，随机抽取了100名参赛学生的成绩，并分成了五组：第一组50,60，第二组60,70，第三组，第四组，第五组绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同.
（1）求出频率分布直方图中a，b的值，并估计此次竞赛成绩的平均值（同一组数据用该组数据的中点值代替）；
（2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，第二组考生成绩的平均数和方差分别为65和40，第四组考生成绩的平均数和方差分别为83和70，据此估计这次第二组和第四组所有参赛学生成绩的方差；
（3）甲、乙、丙3名同学同时做试卷中同一道题，已知甲能解出该题的概率为，乙能解出而丙不能解出该题的概率为，甲、丙都能解出该题的概率为，假设他们三人是否解出该题互不影响，求甲、乙、丙3人中至少有1人解出该题的概率.
解：（1）由题意可知：，解得
可知每组的频率依次为：0.05，0.25，0.45，0.2，0.05，
所以平均数等于，
（2）设第二组、第四组的平均数与方差分别为，
且两组频率之比为，成绩在第二组、第四组的平均数
成绩在第二组、第四组的方差
，
故估计成绩在第二组、第四组的方差是.
（3）设“甲解出该题”为事件A，“乙解出该题”为事件B，“丙解出该题”为事件，“甲、乙、丙3人中至少有1人解出该题”为事件，
由题意得，
所以，
所以，所以乙、丙各自解出该题概率为，
则，因为，
所以，因为相互独立，
所以，
所以甲、乙、丙3人中至少有1人解出该题的概率为.
18. 如图，在四棱锥中，为等边三角形，，为AD的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）若点在线段上运动（不包括端点），设平面平面，当直线与平面所成角取最大值时，求平面与平面夹角的余弦值.
（1）证明：连，又，
即，
均为等边三角形，，
所以四边形为菱形．
取中点，连.
为等边三角形，，
又，即，
又平面.
平面.
又平面平面平面.
（2）解：平面平面平面PCD又平面平面，
建立如图的空间直角坐标系，
易得，，
令，
，令平面法向量为，
，
，
令，可得：，
即 ，
，
令
，
当，
，
所以平面的法向量，
，
，
设平面的法向量，
令，，
得，
设二面角的夹角为，
19. 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点P到两个定点的距离之比为常数且，那么点的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，已知直线，直线，点为和的交点.
（1）求点的轨迹方程；
（2）点为曲线与轴正半轴的交点，直线交曲线于A，B两点，与A，B两点不重合，直线MA、MB的斜率分别为，且，证明直线过定点，并求出该定点；
（3）当点在曲线上运动时，求的最小值.
解：（1）当时，，此时，交点为
当时，由，斜率t，
由，斜率为，
综上，.
直线恒过，直线恒过，若为的交点，则，设点，
所以点的轨迹是以EF为直径的圆，
又因为当代入方程得到不成立，所以点的轨迹不包含点.
则圆心为EF的中点，圆的半径为，
故的轨迹方程为
（2），设Ax1,y1,Bx2,y2，
当斜率存在时，直线的方程为，
故
将直线方程与圆的方程进行联立，
整理得：，
∴
将其带入中可得：，
化简得，
∴或，
由于M与A，不重合，则直线的方程为恒过定点（）；
当直线的斜率不存在时，
设，则，
故可得，即则直线，仍恒过定点，
综上可得，则直线恒过定点
（3），易知R、Q在该圆内，
又由题意可知圆上一点满足，取，则，满足.
下面证明任意一点，都满足，即，
即,所以
，
即当且仅当D，P，Q三点共线，且P位于D，Q之间时，等号成立.
即的最小值为