湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2024-2025学年高二下学期期中联考数学试卷（解析版）

这是一份湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2024-2025学年高二下学期期中联考数学试卷（解析版），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
命题学校：红安一中 命题教师：汪胜桥
审题学校：罗田一中 审题教师：张 晖
考试时间：2025 年 4 月 10 日下午 15：00-1700 试卷满分：150 分
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符
合要求.
1. 已知函数 在 处的导数为 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由导数的定义即可求解.
【详解】 ，
故选：D.
2. 设等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 （ ）
A. 12 B. 18 C. 24 D. 25
【答案】B
【解析】
【分析】根据等差数列前 项和的性质，易知 ， ， 成等差数列，即可求解.
【详解】因为 为等差数列 的前 项和，所以 ， ， 成等差数列，所以
，解得 .
故选：B.
3. 下列求导运算正确的是（ ）
A. B.
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C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用基本初等函数的导数关系可判断 AB 选项；利用导数的运算法则可判断 C 选项；利用复合函
数的求导法则结合导数的运算法则可判断 D 选项.
【详解】对于 A 选项， ，A 错；
对于 B 选项， ，B 错；
对于 C 选项， ，C 对；
对于 D 选项， ，D 错.
故选：C.
4. 当实数 变化时，方程 表示的曲线不可能是（ ）
A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意由圆锥曲线的定义逐一判断即可.
【详解】当 ，即 时，方程表示的曲线为圆；
当 ， ， ，即 时，方程表示的曲线为椭圆；
当 ，即 时，方程表示的曲线为双曲线；
方程无论如何不会出现一次项，故不能表示抛物线.
故选：D.
5. 为了践行习近平总书记“绿水青山就是金山银山”的理念，3 月 12 日这天高二年级 1 至 6 班共 6 个班级决
定去 3 个不同林场植树，若要求每组 2 个班，且 1 班 2 班在同一组，则符合条件的不同方法数是（ ）
A. 48 B. 36 C. 18 D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】平均分成三组，再全排列即可求解.
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【详解】由题意需将 6 个班级先平均分为 3 组，且 1 班 2 班在同一组，有 ，
再分配到 3 个林场，共 种方法，
故选：C.
6. 若 在 上恒成立，则实数 的最小值为（ ）
A. B. 1 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分参得到 ，进而求得 的最大值，即可求解.
【详解】由 得 ，所以 在 上恒成立，
构造 ，
求得可得： ，
由 可得： ，由 ，可得 ，
所以 在 单调递增，在 单调递减，
所以 在 处取得最大值为 ，所以 ，
故 的最小值为 ，
故选：D.
7. 已知函数 的导函数 为偶函数，函数 为偶函数， ， ，则
（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性与对称性可判断函数周期，进而可得解.
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【详解】由函数 为偶函数知 图象关于直线 对称，
由 为偶函数知 ，（ 为常数）为奇函数，由 得 ，
即 为奇函数，则 图象关于点 中心对称，
所以 是函数 的一个周期，又 ， ，
， ，
所以 .
故选：A.
8. 已知 元一次方程 （ ， ， ， ）的正整数解的个数为 ，
则方程 满足 （ ）的整数解的个数为（ ）
A. 35 B. 56 C. 84 D. 120
【答案】B
【解析】
【分析】令 ，得到 ，结合条件即可求解.
【详解】由 得， ，
令 ， .
则原问题等价于方程 的正整数解的个数，
由题意知符合条件的个数为 ，
故选：B
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
距求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 设数列 ， 均为等比数列，则下列选项一定为等比数列的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
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【分析】根据等比数列的定义，逐项判断即可.
【详解】设等比数列 ， 的公比分别为 ， ，
则对于 A，当 时， 不合题意；
对于 B， ，数列 一定是等比数列；
对于 C， ，数列 一定是等比数列；
对于 D，取 ，则 ，不合题意.
故选择：BC.
10. 已知椭圆 的离心率为 ，焦点为 ， ，左右顶点分别为 ， ， 为椭
圆 上的动点，则（ ）
A.
B.
C. 当 与 ， 不重合时，
D. 设 在 轴上的射影为 ，且 ，则点 的轨迹方程是
【答案】ACD
【解析】
【分析】由题意确定椭圆方程，结合椭圆的性质及向量的坐标运算逐项判断即可.
【详解】由题意知： ，由 ，可得 ，
所以椭圆 的方程为 ，所以 ，A 正确；
，B 错误；
设 ， ， ，则 ，C 正确；
设 ，则 ，
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由 ，可得： ，
解得： ，
则 ，所以 ，即 ，D 正确.
故选：ACD.
11. 已知函数 ， ， ，则下列说法正确的有（ ）
A. 函数 可能无零点
B. 若 ，则函数 可能存在最值
C. 若函数 存在两个极值点，则 且
D. 若 是函数 的极大值点，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】求导，根据导数分情况讨论函数的单调性与极值情况，进而判断各选项.
【详解】函数 的定义域为 ， .
当 时， 上无零点，A 选项正确；
当 时， 在 上恒成立，
所以 在 单调递增，函数无最值，B 选项错误；
若函数 存在两个极值点，则 在 上存在两个变号零点，
令 ，则需 ， ， ，
整理得 且 ，C 选项正确；
若 是函数 的极大值点，则由 可得 ，
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所以 ，所以 ，所以 ，D 选项正确；
故选：ACD.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 二项式 展开式中 的系数为______.
【答案】112
【解析】
【分析】应用二项式的通项公式计算求解即可.
【详解】通项公式 ，令 得， ，
所以展开式中 的系数为 112.
故答案为：
13. 若数列 满足 ， ， ，设数列 的前 项和为 ，则当
取最大值时， _____.
【答案】5 或 6
【解析】
【分析】利用等差中项可得数列 为等差数列，进而求出公差、 、 ，结合 的函数特性可得或
的正负性也可行.
【详解】因为 ，所以数列 为等差数列，设公差为 d
因 ， ，则公差 ，
法一：所以 ，
因函数 的对称轴为 ，
所以当 取最大值时， 或 6
法二： ，
则 时， ； 时， ； 时 ，
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所以当 取最大值时， 或 6.
故答案为：5 或 6
14. 设 为原点，双曲线 的方程是 （ ， ），离心率 . 直线
与双曲线 的两条渐近线分别交于 ，与圆 相切于点 .若 ，
，则直线 的斜率为_____，双曲线 的实轴长为_____.
【答案】 ①. ②. 14
【解析】
【分析】利用点差法，可求直线 斜率，在 中，利用勾股定理可求 的值.
【详解】如图：
设点 ， ，渐近线方程为 ，
则 ， ，相减得 ，
，所以 .
设 与 轴交于 ， ， ，
则 ， ，
，
在直角 中， ， ， ，
所以 ，解得 ，实轴长为 14.
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故答案为： ；14
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 设等轴双曲线 的焦点在 轴上，焦距为 ，点 （ ）在曲线 上.
（1）求双曲线 的标准方程.
（2）若 ，证明数列 是等差数列.
（3）在（2）的条件下，若数列 为正项数列，求数列 的前 项和 .
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据双曲线的定义及方程列式计算求出 即可得出双曲线方程；
（2）根据等差数列定义证明即可；
（3）应用裂项相消法求和即可.
【小问 1 详解】
由题意可设双曲线 的标准方程为 （ ， ），
则 ，解得 ，
所以双曲线 的标准方程为 .
【小问 2 详解】
因为点 （ ）在曲线 上，所以
所以数列 是以 为首项，1 为公差的等差数列.
【小问 3 详解】
由（2）可知，
由于 ，所以
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所以
所以
16. （1）某大型电影院在春节期间推出了《哪吒 2》等 6 部备受瞩目的大片，某天 3 个家庭同时来观看电
影，若每个家庭可以自由选择一部影片观看，共有多少种选法？
（2）某市 2025 年初科创展览会上， ， ， 三家科技公司分别推出了 2 件，3 件，3 件机器人进行展览，
工作人员需要把 8 台不同型号的机器人排成一排，要求 公司的产品相邻， 公司的产品不相邻，共有多
少种排法？
（3）树人中学组织的诗歌朗诵比赛决赛阶段有五个班级参赛，赛前各班的学生代表甲、乙、丙、丁、戊分
别参与抽签决定出场顺序.抽完签后，甲说：“我们班不是第一个出场”，乙说：“我们班不是最后一个出场”，
丙说：“我们班也不是最后一个出场，且前面出场班级数不少于后面出场班级数”.请你根据这些信息推测所有
可能的出场顺序数.
【答案】（1）216；（2）2880；（3）28
【解析】
【分析】（1）由分步乘法计数原理即可求解；
（2）先将 家公司的产品捆绑，再与 公司的 3 件产品全排列，最后由插空法即可求解；
（3）分甲所在班级第 5 个出场和甲所在班级不是第 5 个出场两种情况讨论即可.
【详解】（1）3 个家庭依次选择，均有 6 种方法，
根据分步计数原理，所有不同的方法数为 .
（2）由题意知，先可以使用“捆绑法”将 家公司的产品排在一起，
再与 公司的 3 件产品一起组成 4 个不同的元素的全排列，
最后让 公司产品插空.所以符合条件的排法数为 .
（3）若甲所在班级第 5 个出场，丙所在班级可以第 3 或第 4 个出场，
乙、丁、戊所在班级可以在其他场次出场，符合条件的出场顺序数为 ，
若甲所在班级不是第 5 个出场，则丁或戊所在班级第 5 个出场，丙所在班级可以第 3 或第 4 个出场，
甲在剩余的中间 2 场中选择一场，符合条件的出场顺序数为 ，
所以所有可能的出场顺序数为 .
17. 已知函数 ， .
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（1）讨论 的单调性.
（2）证明：当 时， .
【答案】（1）答案见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求导，分 ， 讨论导数符号，即可求解；
（2）由（1）构造函数 ，求导，确定最值即可求解.
【小问 1 详解】
函数 的定义域为 ，
当 时， 在 上恒成立， 在 上单调递增；
当 时，由 得 ，由 得
所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
综上，当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增.
【小问 2 详解】
当 时，由（1）知
要证 ，
只需证 ，
即证
令
即证 ，
因为 ，再令 .
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因为 ，
由 ，可得 ， ，可得
所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
所以 .
所以 ，
所以当 时， .
18. 已知平面上动点 的坐标满足 ， ， .
（1）求点 的轨迹方程 .
（2）设点 为直线 上的任意一点，过点 作曲线 的两条切线 ， .
（ⅰ）证明：直线 过定点 .
（ⅱ）设 为原点， ， 的面积分别为 ， ，令 ，当点 在 轴下方时，求 的
最大值.
【答案】（1）
（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）
【解析】
【分析】（1）方程联立，消去 即可求解；
（2）（ⅰ）设 ， ， ，通过求导，确定切线方程进而可求解；（ⅱ）由三
角形面积公式得到 进而可求解
【小问 1 详解】
因为 ， ，所以 ， ，
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由 得， ，所以 ，
即点 的轨迹方程 为 （ ）
【小问 2 详解】
（ⅰ）设 ， ， ， ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，整理得 ，
同理曲线 在点 处的切线方程为
由于 是两切线的交点，所以
所以直线 的方程为 ，
整理得 ，令 得
所以直线 过定点 .
（ⅱ）由（ⅰ）知直线 的方程为 ，
当点 在 轴下方时， .
因为
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因为 ， ，所以
令 （ ），
则
当且仅当 ，即 ， 时等号成立.
所以 的最大值为 .
19. “勤于思考，乐于探索，勇于创新”是学习数学的必备思维品质.某同学在学习了“杨辉三角”后发现杨辉三
角与数列紧密相关，自主构造了下述数阵.数阵的第一行是 （ ）个连续的自然数，从第二行起每一行
的数字均等于它肩上的两个数字之和，最后一行仅有一个数字.
请仔细观察数阵，解决下列问题：
（1）求数阵中数字为奇数的项数 .
（2）设数阵第 行的第一个数字为 ，请直接写出 与 的等量关系，并求 .
（3）设数阵所有行第一个数字之和为 ，试判断 与 的大小关系，并说明理由.
【答案】（1） ；
（2） ， ；
（3） ，理由见解析.
【解析】
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【分析】（1）根据数阵特点，进行分类讨论，即可求解；
（2）观察每一行的前两项的增量规律，猜测出它们的关系（才想验证即可，不要求证明，若需证明，可用
数学归纳法证明），进而可得 ，通过构造即可求得 ；
（3）通过错位相减法可求得 ，再结合组合数的性质运算，可求得 ，通过构造函
数，可比较其大小关系.
【小问 1 详解】
观察数阵知，第一行的数奇偶性相间，第二行的数都为奇数，从第三行起所有数是偶数.
所以当 为偶数时， ，
当 奇数时， ，
所以 ；
【小问 2 详解】
由题意知， ，即
变形得，
所以数列 是以 为首项， 为公差的等差数列，
所以 ，所以 ；
【小问 3 详解】
.
理由如下：
因为
相减得， ，
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所以
又因为
令 ，则 ，
又 （ ），
所以 在 上单调递增，所以 ，
所以 .
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