湖北省鄂东南省级示范高中教育联盟2023-2024学年高一下学期期中联考数学试题（Word版附解析）

这是一份湖北省鄂东南省级示范高中教育联盟2023-2024学年高一下学期期中联考数学试题（Word版附解析），共10页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

考试时间：2024年4月15日下午15：00－17：00；试卷满分：150分
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．复数的虚部是（ ）
A．B．C．D．
2．下列关于平面向量的说法，其中正确的是（ ）
A．若，则B．若且，则
C．若，则或D．若与不共线，则与都是非零向量
3．已知平面向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ）
A．B．C．D．
4．已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
5．在中，在边BC上，延长AD到，使得，若（为常数），则PD的长度是（ ）
A．9B．8C．7D．6
6．若实数x，y满足，，则的最小值为（ ）
A．2B．8C．9D．12
7．在中，点E，F分别是线段AB，AC的中点，点在直线EF上，若的面积为4，则的最小值是（ ）
A．2B．C．4D．
8．已知定义在上的函数，对任意的，且，都有，且函数为奇函数．若锐角的三个内角为，则（ ）
A．B．
C．D．的符号无法确定
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．主动降噪耳机让我们在嘈杂的环境中享受一丝宁静，它的工作原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与振幅相同的反相位声波来抵消噪声，已知某噪声的声波曲线函数为，且经过点，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的最小正周期B．
C．函数在区间上单调递减D．函数是奇函数
10．已知复数，则下列结论正确的有（ ）
A．B．
C．D．若，且，则
11．如图，设是平面内相交成角的两条数轴，其中，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在夹角为的坐标系中的坐标，记为，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若对任意的最小值为，则
D．若对任意的，都有恒成立，则实数
三、填空题；本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知，则__________．
13．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则角若为的内心，且，则__________．
14．已知平面向量，，，若存在平面向量，，使得，则的最小值是__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知向量，．
（1）若，求的坐标；
（2）若，求与夹角的余弦值．
16．（15分）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．
（1）求角的大小；
（2）若，，求的面积．
17．（15分）已知向量，，，且的图象上相邻两条对称轴之间的距离为．
（1）求函数的解析式；
（2）若，且函数在区间上单调，求的取值范围．
18．（17分）如图，在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，D为BC边上一点，已知，，．
（1）若AD平分，求AD的长；
（2）若D为BC边的中点，E，F分别为AB边及AC边上一点（含端点）．
且，，，求的取值范围．
19．（17分）阅读以下材料并回答问题：①单位根与本原单位根：在复数域，对于正整数，满足的所有复数称为次单位根，其中，满足对任意小于的正整数，都有，则称这种复数为次本原单位根．例如，时，存在四个4次单位根，，因为，，因此只有两个4次本原单位根；
②分圆多项式：对于正整数，设次本原单位根为，则多项式称为次分圆多项式，记为；
例如；回答以下问题：
（1）直接写出6次单位根，并指出哪些为6次本原单位根（无需证明）；
（2）求出，并计算，由此猜想的结果，（将结果表示为的形式）（猜想无需证明）；
（3）设所有12次本原单位根在复平面上对应的点为，两个4次本原单位根在复平面上对应的点为，复平面上一点所对应的复数满足，求的取值范围．
鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2024年春季期中联考
高一数学参考答案
一、二选择题：
8．【答案】A
【详解】由题可知，在区间上单调递增，且函数为奇函数，则，故，当时，有，即，
又因为图象关于原点对称，则图象关于点对称，所以，在上单调递增．
，而为锐角，故，则，
所以，即，选A．
11、【答案】ABD
【详解】，故A正确；
，即，故B正确；
最小值为可知在方向投影向量的长度为，即，可得或，C错误；
两边平方得对成立，
则，即，由于，，
故，解得或，综上所述，故D正确
三、填空题
12．13．；（对一个给2分，全对给5分）
14．
【详解】设，，，点在单位圆上，点也在圆上，
则，，由，可得：，
作矩形，则．下证：．
设AB，CD交于点，连接OP，因，则，
同理可得：，两式左右分别相加得：
．
即，故．
又，故的最小值是．
四、解答题
15．【答案】（1）或（2）
【详解】（1）由题意，设，，，
，或．
（2），，
，．
设与的夹角为，则．
与的夹角的余弦值为．
16．【答案】（1）；（2）．
【详解】（1）在中，由余弦定理，，又，则，而，则．
（2）由得，
若，那么，
由正弦定理，，则，
因此，
若，那么（舍），因此．
注：也可以通过角的大小关系，由，得到，故直接判断出，若无判断且无讨论扣3分．
17．【答案】（1）（2）
【详解】（1），
由的图象上相邻两条对称轴之间的距离为，有，得，
故，
（2）方法一：，由于，则，
又得到，
故，则或．
解得或，所以的取值范围．
方法二：，令，
解得单调区间为，
故，，，
由于，故或．
当时，当时，，
所以的取值范围
注：两个区间漏写一个扣3分
18．【答案】（1）；（2）．
【详解】（1）在中，，
因此，
即．
（2）由为BC中点得：，
故
又，在上单调递增；
因此时，；时，．
即．
19、【解析】（1）的解为，
故6次单位根为，6次本原单位根为和．
（6次单位根3分，有漏写酌情扣1-2分，有错误0分，6次本原单位根1个1分）
（2）
又；，，
因此，
猜想．
（3）方法一：设12次单位根分别为，其中，
则不难发现：为12次本原单位根，和为4次本原单位根，其余的根分别为1，2，3，6次本原单位根，因此，
．
又，
又，且，故，
即．
（若直接使用第二问的猜想扣2分）
方法二：求出四个12次本原单位根分别为，，，，
两个4次本原单位根分别为，，
又，且，故．
即．
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
A
D
C
B
B
B
C
A
AC
BCD
ABD