湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2024-2025学年高一下学期期中联考数学试卷 含答案

这是一份湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2024-2025学年高一下学期期中联考数学试卷 含答案，共11页。试卷主要包含了 已知 ，则 的虚部为， 已知向量 ，若 ，则， 若 ，则， ， ， ，则 的大小关系为等内容，欢迎下载使用。
高一数学试卷
7． 在平行四边形 中， ， ，直线 与直线 所成的夹角为 ，则平行四
命题学校：鄂南高中 命题教师：
边形 的面积为（ ）
审题学校：英山一中 审题教师：
A． B． C． D． 考试时间：2025 年 4 月 14 日下午 15：00－17：00 试卷满分：150 分
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。
8． 中，角 所对的边分别为 ， ，若 分别为 的外心
1． 已知 ，则 的虚部为（ ）
和重心，则 （ ）
A． B．3 C． D．
A． B． C． D．
2． 已知向量 ，若 ，则（ ）
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。 A． B． C． D．
9． 已知复数 ，则下列选项正确的是（ ）
3． 若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
A． B． C． D．
10．若定义在 上的奇函数 和偶函数 满足 ，则（ ）
4． ， ， ，则 的大小关系为（ ）
A．
A． B． C． D．
B．
5． 努力公式是一个用来描述努力与结果之间关系的数学公式，它通常表示为： ，
C．
．我们可以把 看作每天的进步率都是 ，而把 看作每天的落
D． 对 恒成立，则 的取值范围为
后率都是 ，大约经过（ ）天后进步的是落后的 倍
11．声音也包含着正弦函数.我们平时听到的声音不只是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复
A．264 B．266 C．268 D．270
合音．复合音的产生是因为发声体在全段振动，产生频率为 的基音的同时，其各部分，如二
分之一、三分之一、四分之一部分也在振动，产生的频率恰好是全段振动频率的倍数，如
6． 要得到 的图象，只需将 的图象（ ）
等，这些音叫谐音，因为其振幅较小，我们一般不易听出来.例如，某一个复合音的
A．所有点的横坐标伸长到原来的 4 倍，再向左平移 个单位
函数为 ，关于 ，下列说法正确的是（ ）
B．所有点的横坐标伸长到原来的 4 倍，再向左平移 个单位
A． 是函数 的一个周期 B． 关于点 中心对称
C．所有点的横坐标缩短到原来的 倍，再向左平移 个单位
C． 在区间 上为增函数 D．函数 的值域为
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 （1）求参数 的值；
（2）若曲线 关于点 对称，则满足 ，证明：曲线
12．若函数 为奇函数，则实数 的值为 .
是中心对称图形；
13．已知向量 满足： ， ，则 在 上的投影向量的坐标为 . （3）若对于 ，不等式 恒成立，求参数 的取值
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 成 的形式，即 其中 为复数 的模， 叫做复数 的辐角，我们规定
15．（13 分）如图，已知
范围内的辐角 的值为辐角的主值，记作 argz．复数 叫做复数的三
的图象与 轴的
角形式．由复数的三角形式可得出，若 ， ，则
交点为 ，它在 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐
．其几何意义是把向量
标分别为 和
绕点 按逆时针方向旋转角 （如果 ，就要把 绕点 按顺时针方向旋转角 ），再把
（1）求函数 的解析式；
它的模变为原来的 倍．
（2）已知 ，角 的终边与单位圆交于点 ，求 的值． （1）试将 写成三角形式（辐角取主值）；
（2）复平面内，将 对应的向量绕原点 顺时针方向旋转 ，模长变为原来的 倍后， 16．（15 分）记 的内角 的对边分别为 ，已知
（1）求角 ； 所得向量对应的复数为 ，求 ；
（2）若 ， ，求 的面积．
（3）类比高中函数的定义，引入虚数单位，自变量为复数的函数称之为复变函数．已知复变函数
， ．若存在实部不为 ，且虚部大于 的复数 x 和实数 t，使得 成
17．（15 分）如图所示，在 中， 是边 的中点， 在边 上，
立，复数 在复平面上对应的点为 ， 为坐标原点，点 ，以 为边作正方形
， 与 交于点 ．
，其中 在 上方，求线段 的最大值．
（1）以 为基底表示 ；
（2）若 ，求 的值．
18．（17 分）已知函数 （ ），满足
2025 年春季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考
高一数学参考答案
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
B A B B A D A D BCD BCD ABD
. 二、填空题
12.
13.
14.
三、选择题填空题详解
四、解答题
8.由点 为 的重心，则
15.【解析】：
故
故
又
故
11. ，即
故 A 正确；
易知 为奇函数，则 ，结合 A 选项有： ，故 B 正确；
因为 ，所以 ，故 ，解得
，故 C 错误；
角 的终边与单位圆交于点 ，故
所以
则 ，易得 ，故 D 正确。
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14．已知在等腰 中， , 在直线 上，且 , ，令
范围．
，则 .
19．（17 分）形如 的数称为复数的代数形式，而任何一个复数 都可以表示
16【. 解析】：解析：（1）
，又
（2）
由
（2）
由正弦定理：
又 ，
，
18.【解析】：解析：（1）由
由正弦定理：
（2）证明： ，
17.【解析】：解析：（1） 是边 的中点
令 ，上式
又点 在 上，记
即有 对 恒成立
由 ，
故曲线 关于 中心对称。
三点共线
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法二：曲线 关于 中心对称，证明如下：
，
即 对 恒成立
（3）不等式
由（2）不等式可化为
故有 对 恒成立
设 ，
易知 在 上单调递减
则
则有 对 恒成立
又
当 时，
故
.
19.【解析】：（1）由于 ，故 ，所以 因为存在实数 ，使得 成立，所以 为实数，所以 ，
因为 ， ，所以 ，
所以 ， ，
当 时， ，符合题意，
因为 ，所以 ，所以
点 的轨迹为单位圆的一部分.
设 ， ， 所表示的复数为 ，
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则
记 所表示的复数为 ，则
故
当 时，
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2025 年春季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考
高一数学参考答案
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
B A B B A D A D BCD BCD ABD
. 二、填空题
12.
13.
14.
三、选择题填空题详解
四、解答题
8.由点 为 的重心，则
15.【解析】：
故
故
又
故
11. ，即
故 A 正确；
易知 为奇函数，则 ，结合 A 选项有： ，故 B 正确；
因为 ，所以 ，故 ，解得
，故 C 错误；
角 的终边与单位圆交于点 ，故
所以
则 ，易得 ，故 D 正确。
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16【. 解析】：解析：（1）
，又
（2）
由
（2）
由正弦定理：
又 ，
，
18.【解析】：解析：（1）由
由正弦定理：
（2）证明： ，
17.【解析】：解析：（1） 是边 的中点
令 ，上式
又点 在 上，记
即有 对 恒成立
由 ，
故曲线 关于 中心对称。
三点共线
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法二：曲线 关于 中心对称，证明如下：
，
即 对 恒成立
（3）不等式
由（2）不等式可化为
故有 对 恒成立
设 ，
易知 在 上单调递减
则
则有 对 恒成立
又
当 时，
故
.
19.【解析】：（1）由于 ，故 ，所以 因为存在实数 ，使得 成立，所以 为实数，所以 ，
因为 ， ，所以 ，
所以 ， ，
当 时， ，符合题意，
因为 ，所以 ，所以
点 的轨迹为单位圆的一部分.
设 ， ， 所表示的复数为 ，
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则
记 所表示的复数为 ，则
故
当 时，
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