安徽省合肥市庐江县联考2024-2025学年九年级下学期4月月考数学试题（解析版）

这是一份安徽省合肥市庐江县联考2024-2025学年九年级下学期4月月考数学试题（解析版），共17页。试卷主要包含了填空题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出四个选项，其中只有一个是正确的．
1. 在中，最小的实数是（ ）
A. B. 0C. D.
【答案】D
【解析】∵，∴最小的实数是，
故选：D．
2. 年是安徽省高考综合改革落地之年，全省高考报名考生为万人，数据万可用科学记数法表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由题可得：，
故选：B．
3. 如图是由两个宽度相同的长方体组成的几何体，它的主视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】从正面看该几何体，下面是一个大长方形，上面叠着一个小长方形，
故选：B．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A．，原式计算错误，故该选项不符合题意；
B．，原式计算错误，故该选项不符合题意；
C．，原式计算正确，故该选项不符合题意；
D．原，式计算错误，故该选项不符合题意；
故选：C．
5. 某港口有200吨货物需要运输，若平均每趟运力为吨，则运输完这批货物共需次．下列说法错误的是（ ）
A. 若，则
B. 随着的增大而增大
C. 若实际每趟运力是原计划的一半，则实际运输次数是原计划的两倍
D. 若实际每趟运力是原计划的两倍，则实际运输次数是原计划的一半
【答案】B
【解析】根据题意可得，
若，则，故A正确，不符合题意；
根据题意可得，且，
∴随着的增大而减小，故B错误，符合题意；
若实际每趟运力是原计划的一半，即，则，则实际运输次数是原计划的两倍，故C正确，不符合题意；
若实际每趟运力是原计划的两倍，即，则，则实际运输次数是原计划的一半，故D正确，不符合题意；
故选：B．
6. 若，则的值为（ ）
A. B. C. D. 12
【答案】A
【解析】∵，
∴
，
故选：A．
7. 一个不透明的盒子里有红、黄、蓝三个小球，它们只有颜色不同，先摸一个小球，记录下颜色后放回，摇匀后再摸一次，并记录摸出小球的颜色，则至少有一次摸到红色小球的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】画树状图如图所示：
通过树状图可以清晰看到，总共有种等可能的结果，，
至少有一次摸到红色小球的情况有：（红，红）、（红，黄）、（红，蓝）、（黄，红）、（蓝，红），共5种．
∴至少有一次摸到红色小球的概率是．
故选：D．
8. 如图，将扇形沿折叠，使得点和点重合，已知，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】连接，如图．由折叠性质可知，．
又，
为等边三角形，
．
，
的长为．
故选：A．
9. 有甲、乙两个品种的新能源汽车，充满电均为80度，在出厂测试时两车行驶和剩余电量（度）的函数图象如图所示，则图中的值是（ ）
A. B. 16C. 20D. 24
【答案】A
【解析】设续航里程较长的车为甲，续航里程较短的车为乙，
由图可知，甲行驶需要24度电，乙行驶需要40度电，
甲行驶需要度电，乙行驶需要度电，
甲消耗40度电可行驶的距离为：，即，
此时乙需要消耗的电量为：度，此时．
故选：A．
10. 如图，在中，，是边上的动点，将沿翻折得，当取最小值时，的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图，连接，
∵，
∴当落在边上时，最小，此时．
延长，交点，过点作，垂足为点，如图．
∵，
∴，，
∴，
∴，
，
，，
，
，，
，
∴，
，
解得．
故选C．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 计算的结果是________．
【答案】1
【解析】，
故答案为：1．
12. 若关于的不等式只有负数解，则的取值范围是___________．
【答案】
【解析】由，得：，
∵的不等式只有负数解，
∴，
∴；
故答案为：．
13. 安徽建省于清朝康熙六年（公元1667年），省名取当时安庆、徽州两府首字合成．如图，这是“安”字在正方形米字格中书写形态，已知正方形的边长为，笔画横钩“”与正方形对角线交于点，点为线段的黄金分割点，，则的长为___________．（结果保留根号）
【答案】
【解析】，，
∵点为线段的黄金分割点，，
故答案为：．
14. 抛物线的系数满足，且经过点，其中．
（1）该抛物线的对称轴为直线___________（用含有的式子表示）；
（2）当时，函数顶点纵坐标的最大值为___________．
【答案】
【解析】（1）由题意可知，即，
抛物线经过点和点，
故抛物线的对称轴为直线．
（2）当时，由题意可知，，
，
函数解析式为：，
函数顶点的纵坐标为：，
对称轴为直线，且，
对称轴的取值范围为：，
，，
当时，顶点纵坐标有最大值为．
故答案为：；．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算：．
解：原式．
16. 如图，在由边长为1个单位的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）．
（1）将绕点逆时针旋转得到（其中，的对应点分别为），请画出；
（2）连接，则直线和直线的位置关系是___________（填“平行”或“相交”），并说明理由．
解：（1）如图所示．
（2）相交．
理由如下：有旋转可知，，由图可知，与的交点不是的中点，
又∵，∴与不是垂直关系，
∴直线和直线的位置关系是相交.
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 综合与实践：
【发现】数学兴趣小组在讨论对于一个个位数和9相乘的问题时，发现可以用10个手指直观地展示出来，如计算，将两手平伸，手心向上，从左边开始数至第3个手指，将它弯起，此时它的左边有2个手指，右边有7个手指，27正是的结果．
【应用】（1）填空：若计算，从左边开始数至第___________个手指，将它弯起，此时它的左边手指个数为___________，右边手指个数为___________，结果为___________；
【探究】（2）从左边开始数至第个手指，将它弯起，此时它的左边手指个数为___________，右边手指个数为___________，用所学的数学知识证明上面的发现．
解：（1）根据题意，若计算，从左边开始数至第5个手指，将它弯起，此时它的左边有4个手指，右边有5个手指，45正是的结果．
故答案为∶5；4；5；45．
（2）设从左边开始数至第个手指（，且为正整数），将它弯起，
它的左边有个手指，它的右边有个手指数，
故答案为：，．
证明：设从左边开始数至第个手指（，且为正整数），将它弯起，
它的左边有个手指，它的右边有个手指数，
则作为十位数，作为个位数，
双手指表示的运算结果为：
．
18. 乡村振兴战略实施以来，很多外出人员返乡创业．某村有部分返乡青年承包了一些田地，采用新技术种植两种农作物．种植这两种农作物每公顷所需人数和投入资金如下表：
已知农作物种植人员共40位，且每人只参与一种农作物种植，投入资金不超过68万元，问：种农作物的种植面积最少是多少公顷？
解：设种农作物的种植面积为公顷，则所需人数为人，则参与种农作物的人数为人，种农作物的种植面积为公顷．
由题意列出方程，，解得．
的最小值为10．
答：种农作物的种植面积最少是10公顷．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 某小区有处斜坡较陡，有一定的安全风险，为提高安全性能，小区物业准备对该斜坡进行改造，并制定了如下改造方案，请你帮小区物业解决方案中的问题．
（参考数据：
）
解：作，垂足为，如图．
，
，
，
又，
，
在中，
，
，
，
，
．
故总造价约为：（元）．
答：斜坡改造工程的总预算约为3905元．
20. 如图，在中，，为延长线上一点，且，．
（1）尺规作图：作出的外接圆（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若的直径为6，求的长．
解：（1）如图所示，
（2）由题意可知，，为的直径，．
，，
．
，．
设，则．
，即，解得．
的长为．
六、
21. 某果园今年种植的苹果喜获丰收，该果园种植了甲、乙两种品种的苹果，现随机选取两种品种的苹果树各10棵，对苹果个数进行统计并记录如下：
甲品种：
乙品种；
（1）填空：
（2）根据上述材料分析：
①如果果园计划扩大种植面积，在两种品种苹果销量和价格一致的情况下，增加哪个品种的苹果种植面积更好？请说明理由；
②如果农科所要选取其中一个品种研究以获得更高产量，应该选取哪个品种？请说明理由．
解：（1）乙的平均数为：；
甲的数据中出现次数最多的是，故众数为65；
乙的数据排序后，中位数为：；
乙品种中不低于80个的频率为：；
填表如下：
（2）①甲品种平均产量和乙品种一致，但甲品种方差更小，稳定性更好，同时它的众数和中位数均高于乙品种，大面积种植风险更小，故选甲．
②应该选取乙品种，因为乙品种不低于80个的高产苹果频率为40%，甲品种为0，故乙品种更容易出现高产苹果．
七、
22. 如图，在正方形中，对角线，交于点，是的外角平分线，平分，交于点．
（1）求的度数；
（2）求证：；
（3）如图2，连接，若正方形的边长为2，求的长．
（1）解：，
又平分平分，
，
，
；
（2）证明：如图1，连接．
为正方形的对角线，
点和点关于对称，，
，
，
平分，
，
，
．
由（1）可知，
，
；
（3）解：如图2，连接．
，
四点共圆，
，
点和点关于对称，
，
，
，
由（2）可知
在正方形中，，
，
．
八、
23. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，点是轴上一定点．
（1）求的值；
（2）若点在抛物线上，，当时，始终存在，求的取值范围；
（3）将抛物线先向左平移1个单位长度，再向上平移9个单位长度得到新抛物线，点为平移后新抛物线上任一点，过点作轴的垂线，垂足为，交直线于点．
①求证：；
②若，求点的坐标．
（1）解：∵抛物线经过点和点，
∴，解得，
∴，．
（2）解：由（1）得抛物线解析式为，
∴，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，
当M，N都在对称轴左侧时，若，则，不符合题意；
当M，N都在对称轴右侧时，若，则，符合题意，
此时，即；
当点在对称轴左侧，点在对称轴右侧时，若，则点与对称轴的水平距离小于点与对称轴的水平距离，
即，化简后可得，即．
综上所述，的取值范围为．
（3）①证明：∵抛物线先向左平移1个单位长度，再向上平移9个单位长度
∴平移后抛物线的解析式为即．
设点坐标为，则，
，
，，
．
②解：若，由①可知，，
．
当在轴右侧时，设点横坐标为，过点作于点，则，
，
点纵坐标为．
点抛物线上，
，
解得，（舍去），
此时点坐标为．
同理，当点在轴左侧时，由对称性可知，点坐标为．
综上所述，当时，点的坐标为或.农作物品种
每公顷所需人数
每公顷所需投入资金（万元）
3
5
5
9
方案名称
斜坡安全改造预算
测量工具
测角仪、卷尺等
方案设计
如图，将斜坡的上端由拓宽为，下端由拓宽为，其中，原斜坡由改为，其中上下两条水平路面拓宽部分工程造价为500元/米，斜坡的造价为600元/米，．（图中所有点均在同一平面内，点在同一水平直线上，点在同一水平直线上）
测量数据
【步骤一】利用卷尺测得；
【步骤二】在点处用测角仪测得；
【步骤三】在点处用测角仪测得．
解决问题
求斜坡改造工程的总预算．
编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
个数
68
76
65
47
65
71
65
78
70
75
品种
平均数
众数
中位数
不低于80个的频率
方差
甲
68
②___________
69
0
69.4
乙
①___________
45
③___________
④___________
329
品种
平均数
众数
中位数
不低于80个的频率
方差
甲
68
65
69
0
69.4
乙
68
45
68
0.4
329