湖北省部分高中协作体2025届高三下学期联考（三模）数学试卷 含解析

这是一份湖北省部分高中协作体2025届高三下学期联考（三模）数学试卷 含解析，共12页。试卷主要包含了答题前，请将自己的姓名，选择题的作答，非选择题作答，考试结束后，请将答题卡上交等内容，欢迎下载使用。
本试卷共4页，19题，全卷满分150分，考试用时120分钟。
★祝考试顺利★
注意事项：
1、答题前，请将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的制定位置。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、非选择题作答：用黑色签字笔直接答在答题卡对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、考试结束后，请将答题卡上交。
一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设f(x)为偶函数,当x∈(0,+∞)时,f(x)=x-1,则使f(x)>0的x的取值范围是(C)
A.{x|x>1}B.{x|-10)的左、右焦点,过F1作倾斜角为π6的直线分别交y轴、双曲线右支于M,P两点,且|MP|=|MF1|,下列判断正确的是(ABD)
A.∠F1PF2=π3
B.E的离心率为3
C.△PF1F2的内切圆半径为3-1
D.若A,B为E上的两点且关于原点对称,则PA,PB的斜率存在时其乘积为2
解析 如图所示,因为M,O分别是PF1,F1F2的中点,所以在△PF1F2中,PF2∥MO,所以PF2⊥x轴。对于A,因为直线PF1的倾斜角为π6,所以∠F1PF2=π3,故A正确;对于B,Rt△PF1F2中,|F1F2|=2c,|PF2|=233c,|PF1|=433c,所以|PF1|-|PF2|=233c=2a,得e=ca=3,故B正确;对于C,△PF1F2的周长为2(1+3)c,设内切圆半径为r,根据三角形的等面积法,有2(1+3)cr=2c·233c,得r=1−33c,是与c有关的式子,所以C错误;对于D,A,B关于原点对称,可设A(m,n),B(-m,-n),Pc,233c,根据e=ca=3,得P(3a,2a),所以当斜率存在时,kPA=n−2am−3a,kPB=−n−2a−m−3a,kPA·kPB=4a2−n23a2−m2,因为A,B在双曲线上,所以m2a2−n2b2=1,即m2a2−n22a2=1,得n2=2m2-2a2。所以kPA·kPB=4a2−n23a2−m2=6a2−2m23a2−m2=2,故D正确。故选ABD。
11.函数y=(kx2+1)ex的图象可能是(ABC)
解析 令f(x)=(kx2+1)ex,则其定义域为R,f'(x)=ex(kx2+2kx+1)。当k=0时,f(x)=ex,此时f(x)的图象大致为选项A。当k≠0时,对于方程kx2+2kx+1=0,Δ=4k2-4k。当Δ=4k2-4k≤0,即010时,g'(v2)>0,所以g(v2)在[80,120]上单调递增,所以g(v2)min=g(80)=200×80+10080-1 000=15 250。故当这辆车在国道上的行驶速度为40 km/h,在高速路上的行驶速度为80 km/h时,该车从A地到B地的总耗电量最少,最少为28 000+15 250=43 250(Wh)。
16.（本小题满分15分）
如图,四棱锥P⁃ABCD的底面为菱形,∠ABC=π3,AB=AP=2,PA⊥底面ABCD,E是线段PB的中点,G,H分别是线段PC上靠近P,C的三等分点。
(1)求证:平面AEG∥平面BDH;
(2)求点A到平面BDH的距离。
解 (1)证明:如图,连接AC,交BD于点O,连接OH,在△PBH中,E,G分别为PB,PH的中点,所以EG∥BH,又EG⊄平面BDH,BH⊂平面BDH,所以EG∥平面BDH,同理可得AG∥OH,AG∥平面BDH,因为AG,EG⊂平面AEG,AG∩EG=G,所以平面AEG∥平面BDH。
(2)记点A到平面BDH,点H到平面ABD的距离分别为hA,hH。S△ABD=12×2×2×32=3。因为PA⊥平面ABCD,PA=2,CH=13CP,所以hH=13PA=23。在△PBC中,PB=PC=22,BC=2,所以cs∠PCB=122=24。在△BCH中,BH2=BC2+CH2-2BC·CH·cs∠HCB=329,则BH=423,同理可得DH=423。在△BDH中,BH=DH=423,BD=23,所以S△BDH=12×23×329−3=153。连接AH,因为VA⁃BDH=VH⁃ABD,所以hA=S△ABD·ℎHS△BDH=3×23153=255。
17.（本小题满分15分）
已知以点P为圆心的圆经过点A(-1,0)和B(3,4),线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D,且|CD|=410。
(1)求直线CD的方程;
(2)求圆P的方程。
解 (1)由题意知,直线AB的斜率k=1,线段AB的中点坐标为(1,2),则直线CD的方程为y-2=-(x-1),即x+y-3=0。
(2)设圆心P(a,b),则由点P在直线CD上,得a+b-3=0 ①。又因为直径|CD|=410,所以|PA|=210,即(a+1)2+b2=40 ②。由①②解得a=−3,b=6或a=5,b=−2。所以圆心P(-3,6)或P(5,-2)。所以圆P的方程为(x+3)2+(y-6)2=40或(x-5)2+(y+2)2=40。
18.（本小题满分16分）
已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn,且a1,a2,a5成等比数列,a2a3=a8。
(1)求数列{an}的前n项和Sn;
(2)若n≥2,1S2−1+1S3−1+1S4−1+…+1Sn−1≤2140,求满足条件的n的集合。
解 (1)设等差数列{an}的公差为d。因为a1,a2,a5成等比数列,所以a1·a5=a22,所以a1·(a1+4d)=(a1+d)2。化简得2a1d=d2,因为d≠0,所以d=2a1 ①。因为a2a3=a8,所以(a1+d)(a1+2d)=a1+7d ②,由①②得a1=0或a1=1。当a1=0时,d=2a1=0(舍去)。当a1=1时,d=2a1=2,则an=2n-1,Sn=n(a1+an)2=n×2n2=n2。
(2)1Sn−1=1n2−1=121n−1−1n+1,当n≥2时,1S2−1+1S3−1+1S4−1+…+1Sn−1=121−13+12−14+13−15+…+1n−1−1n+1=1232−1n−1n+1。由题意,得1232−1n−1n+1≤2140,化简,得1n+1n+1≥920,解得n≤4。又n≥2,所以2≤n≤4(n∈N*),所以n∈{2,3,4}。
19.（本小题满分16分）
某技术部门招工需经过四项考核,已知能够通过第一、二、三、四项考核的概率分别为0.6,0.8,0.9,0.65,各项考核是相互独立的,每个应聘者都要经过四项考核,只要有一项考核不通过即被淘汰。
(1)求该部门招工的淘汰率;
(2)求通过第一、三项考核但是仍被淘汰的概率。
解 设B表示最终通过考核,A1,A2,A3,A4分别表示通过第一、二、三、四项考核。
(1)因为各项考核是相互独立的,所以该部门招工的通过率为P(B)=0.6×0.8×0.9×0.65=0.280 8,因此该部门招工的淘汰率为P(B)=1-P(B)=1-0.280 8=0.719 2。
(2)在通过第一、三项考核的情况下考核全部通过的概率为P(B|A1A3)=P(B)P(A1A3)=0.280 80.6×0.9=0.52,因此,通过第一、三项考核但是仍被淘汰的概率为1-P(B|A1A3)=1-0.52=0.48。
v/(km·h-1)
0
20
40
60
M/Wh
0
3 000
5 600
9 000