湖北省部分高中协作体2025届高三下学期三月联考一模考试数学试题（解析版）

这是一份湖北省部分高中协作体2025届高三下学期三月联考一模考试数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了答题前，请将自己的姓名，选择题的作答，非选择题作答，考试结束后，请将答题卡上交.等内容，欢迎下载使用。
本试卷共4页，19题，全卷满分150分，考试用时120分钟.
★祝考试顺利★
注意事项：
1、答题前，请将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的制定位置.
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3、非选择题作答：用黑色签字笔直接答在答题卡对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4、考试结束后，请将答题卡上交.
一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知奇函数在上是增函数，.若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先利用奇函数的性质及单调性推出在上的单调性，再判断的奇偶性，然后比较，，的大小关系，最后根据的单调性得出，，的大小关系.
【详解】已知奇函数在上是增函数，根据奇函数性质，，所以当时，.
又因为在上是增函数，所以.对于， .
所以当时，，这就表明在区间内单调递增.
对于，在上，.因为是奇函数，即，
所以，所以是偶函数.
根据对数函数性质，在上单调递增，因为，，且，所以.
又根据指数函数性质，在上单调递增，因为，，且，所以.
因为是偶函数，所以.
由在内单调递增，且，可得，即.
故选：C.
2. 下列求导运算正确的是（ ）
A. (a为常数)B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据求导公式和简单复合函数求导，依次计算即可判断选项.
【详解】A：因为a为常数，所以，故A错误；
B：，故B正确；
C：，故C错误；
D：，故D错误.
故选：B
3. 已知，则（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据正弦、余弦、正切二倍角公式，将齐次化即可得出答案.
【详解】由题，
得，
则或，
因为，所以，
.
故选：A
4. 在△中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用正弦定理边化角，结合和差公式与同角三角函数的基本关系化简计算题意中的等式，得出，即可得出结果.
【详解】已知，由正弦定理，得，
所以，有，
由，
得，
，
，
，
，
由，解得，
又，所以.
故选：A.
5. 已知一个圆锥和圆柱的底面半径和高分别相等，若圆锥的轴截面是等边三角形，则这个圆锥和圆柱的侧面积之比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据圆锥和圆柱的侧面积公式求解即可.
【详解】设圆锥和圆柱的底面半径为，
因为圆锥的轴截面是等边三角形，所以圆锥的母线长为，
则圆锥和圆柱的高为，
所以圆锥的侧面积为，
圆柱的侧面积为，
所以圆锥和圆柱的侧面积之比为,
故选:C.
6. 将正方形沿对角线折起，使得平面平面，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据空间直角坐标系，根据向量的夹角的余弦值来确定异面直线的夹角.
【详解】取中点为，连接，所以，
又面面且交线为，面，
所以面，面，则.
设正方形的对角线长度为2，
如图所示，建立空间直角坐标系，，
所以，.
所以异面直线与所成角的余弦值为.
故选:A
7. 已知直线方程为，则直线的倾斜角为
A. B. 或C. D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】利用诱导公式化简方程，求得直线斜率，再求其倾斜角即可.
【详解】由可得，
化简得，故直线斜率为，
若直线的倾斜角为，则，
因，故.
故选：C.
8. 从总体为的一批零件中使用简单随机抽样抽取一个容量为40的样本，若某个零件在第2次抽取时被抽到的可能性为，则（ ）
A. 100B. 4000C. 101D. 4001
【答案】A
【解析】
【分析】根据样本估计总体的方法求解即可.
【详解】解：因为从总体为的一批零件中使用简单随机抽样抽取一个容量为的样本，
某个零件第次抽取的可能性为，所以，解得.
故选：A．
二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知集合，为自然数集，则下列表示正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】
算出集合，从而可判断各项的正误.
【详解】，故，故A正确且B正确，
不是中的元素，故错误，故C错误.
因为，故错误，故D错误.
故选：AB．
【点睛】本题集合的计算、元素与集合、集合与集合的关系判断，此类问题，根据定义判断即可，本题属于基础题．
10. 若函数既有极大值也有极小值，则（ ）．
A. B. C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】求出函数的导数，由已知可得在上有两个变号零点，转化为一元二次方程有两个不等的正根判断作答.
【详解】函数的定义域为，求导得，
因为函数既有极大值也有极小值，则函数在上有两个变号零点，而，
因此方程有两个不等的正根，
于是，即有，，，显然，即，A错误，BCD正确.
故选：BCD
11. （多选）已知数列的前4项为2，0，2，0，则依此归纳该数列的通项可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据n的奇偶性分类讨论逐一判断即可.
【详解】对于A，当n为奇数时，，当n为偶数时，，故A中通项公式正确；
对于B显然正确；
对于C，当时，，显然不符合；
对于D，当n为奇数时，，当n为偶数时，，故D中通项公式正确.
故选：ABD．
三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分
12. 不等式的解集为______.
【答案】
【解析】
【分析】移项通分后转化为一元二次不等式求解．
【详解】．
故答案为：．
13. 在数列中，，则数列的通项公式____．
【答案】
【解析】
【分析】由已知得出是以为首项，3为公比的等比数列，即可求解．
【详解】由，
可得，
又，所以是以为首项，3为公比的等比数列，
所以，所以，
故答案为：．
14. O为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且，若P，A，B，C四点共面，则实数.
【答案】
【解析】
分析】应用空间向量共面定理计算求解.
【详解】因为P，A，B，C四点共面，所以，解得.
故答案：.
四、解答题：本题共5小题，共75分
15. 小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x万件，需另投入流动成本为万元．在年产量不足8万件时，万元；在年产量不小于8万件时，万元，每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品当年能全部售完．
（1）写出年利润万元关于年产量x万件的函数解析式；(注：年利润=年销售收入-固定成本-流动成本)
（2）年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）
（2）年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润是15万元
【解析】
【分析】（1）根据已知，分以及，分别求解，即可得出函数解析式；
（2）分为以及两种情况，根据二次函数的性质以及基本不等式，即可得出答案.
【小问1详解】
因为每件产品售价为5元，则x（万件）商品销售收入为5x万元，依题意得：
当时，，
当时，，
∴．
【小问2详解】
当时，，
当时，取得最大值9；
当时，，
此时，当即时，取得最大值.
综上所述，年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润是15万元.
16. 设函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数在上的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）由题意结合三角恒等变换可得，再由三角函数最小正周期公式即可得解；
（2）由三角恒等变换可得，再由三角函数的图象与性质即可得解.
【详解】（1）由辅助角公式得，
则，
所以该函数的最小正周期;
（2）由题意，
，
由可得，
所以当即时，函数取最大值.
17. 在中，的角平分线交边于点.
（1）证明：.
（2）若，且的面积为，求的长.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）首先设，，得到，，再利用正弦定理证明即可.
（2）设，所以，设，根据的面积为，得到，，再利用余弦定理求解即可.
【小问1详解】
如图所示：
设，，则，.
在和中分别运用正弦定理，得，，
所以，即，
又因为，故，即.
【小问2详解】
设，所以，设.
由，可得.
所以.
因为，所以，所以，
又，所以.
又，所以，
所以，
所以.
18. 已知正项数列，其前n项和满足.
（1）求证：数列是等差数列，并求出的表达式；
（2）数列中是否存在连续三项，，，使得，，构成等差数列？请说明理由.
【答案】（1）证明见解析，；
（2）不存在，理由见解析.
【解析】
【分析】（1）根据给定递推公式，结合“当时，”建立与的关系即可推理作答.
（2）由（1）求出，利用反证法导出矛盾，推理作答.
【小问1详解】
依题意，正项数列中，，即，当时，，即，
整理得，又，因此，数列是以1为首项，1为公差的等差数列，
则，因为是正项数列，即，
所以.
【小问2详解】
不存在，
当时，，又，即，都有，
则，
假设存在满足要求的连续三项，使得构成等差数列，
则，即，
两边同时平方，得，即，
整理得：，即，显然不成立，因此假设是错误的，
所以数列中不存在满足要求的连续三项.
19. 如图所示，已知四边形ABCD是正方形，四边形ACEF是矩形，M是线段EF的中点．
（1）求证：平面BDE；
（2）若平面平面，平面平面，试分析l与m的位置关系，并证明你的结论．
【答案】（1）证明见解析；
（2），证明见解析.
【解析】
【分析】（1）令，连，证明，再利用线面平行判定推理作答.
（2），利用（1）的结论，结合线面平行的性质、平行公理推理作答.
【小问1详解】
令，连，如图，
四边形ABCD是正方形，即O是AC中点，而M是矩形ACEF边EF的中点，
则有，且，于是得四边形为平行四边形，
则，又平面，平面，
所以平面.
【小问2详解】
，
由（1）知，平面，又平面，平面平面，因此，，
平面，又平面，平面平面，因此，，
所以.