湖北省部分高中协作体2025届高三下学期联考（三模） 数学试题（含解析）

这是一份湖北省部分高中协作体2025届高三下学期联考（三模） 数学试题（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．设为偶函数，当时，，则使的的取值范围是（ ）
A．B．
C．或D．或
2．若，，则
A．2B．C．3D．
3．若（为虚数单位），则（ ）
A．B．C．D．
4．如图，已知正方体的棱长为1，则线段上的动点P到直线的距离的最小值为（ ）
A．1B．C．D．
5．已知公差不为0的等差数列中，，，则（ ）
A．B．5C．10D．40
6．已知是方程的实根，则关于实数的判断正确的是（ ）
A．B．
C．D．
7．用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为（ ）
A．8B．24C．48D．120
8．如果某地的财政收入与支出满足线性回归方程（单位：亿元），其中，，，．若今年该地区财政收入为10亿元，则年支出预计不会超过（ ）
A．9亿元B．9.5亿元C．10亿元D．10.5亿元
二、多选题
9．如图，已知正三棱台的上、下底面边长分别为2和6，侧棱长为4，点P在侧面内运动（包含边界），且AP与平面所成角的正切值为，点Q为上一点，且，则下列结论中正确的有（ ）
A．正三棱台的高为
B．点P的轨迹长度为
C．高为，底面半径为的圆柱可以放进棱台内
D．过点A，B，Q的平面截该棱台内最大的球所得的截面面积为
10．已知是双曲线的左、右焦点，过作倾斜角为的直线分别交y轴、双曲线右支于点M、点P，且，下列判断正确的是（ ）
A．
B．E的离心率等于
C．的内切圆半径
D．若为E上的两点且关于原点对称，则的斜率存在时其乘积为2
11．函数的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
12．已知奇函数在的图象如图所示，则不等式的解集是 .
13．已知圆与圆相交于A，B两点，则 .
14．在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中含项的系数为
四、解答题
15．环保生活，低碳出行，新能源电动汽车正成为人们购车的热门选择．某型号电动汽车，在一段平坦的国道进行测试，国道限速（不含）经多次测试得到，该汽车每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的下列数据：
为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择：，，.
（1）当时，请选出符合表格所列数据实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；
（2）现有一辆同型号汽车从A地驶到B地，前一段是的国道，后一段是的高速路．若已知高速路上该汽车每小时耗电量（单位：）与速度的关系是：，则如何行驶才能使得总耗电量最少，最少为多少？（假设在两段路上分别匀速行驶）
16．如图，四棱锥P－ABCD的底面为菱形，，AB＝AP＝2，PA⊥底面ABCD，E是线段PB的中点，G，H分别是线段PC上靠近P，C的三等分点．
（1）求证：平面AEG∥平面BDH；
（2）求点A到平面BDH的距离．
17．已知以点P为圆心的圆经过点A（－1，0）和B（3，4），线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|＝.
（1）求直线CD的方程；
（2）求圆P的方程.
18．已知公差不为0的等差数列的前项和为，且成等比数列，．
(1)求数列的前n项和．
(2)若，，求满足条件的的集合．
19．某技术部门招工需经过四项考核，已知能够通过第一、二、三、四项考核的概率分别为0.6，0.8，0.9，0.65，各项考核是相互独立的，每个应聘者都要经过四项考核，只要有一项考核不通过即被淘汰.
（1）求该部门招工的淘汰率;
（2）求通过第一、三项考核但是仍被淘汰的概率.
参考答案
1．【答案】C
【详解】
因为时，单调递增，
又因为为偶函数，故可以做出的图象如图所示，
由图象可知，若，则或.
故选C
2．【答案】A
【详解】因为，即
所以，即，
所以.
故选A
3．【答案】B
【详解】
故选B
4．【答案】D
【详解】如图建立空间直角坐标系，则，
设，则，
∴动点P到直线的距离为
，当时取等号，
即线段上的动点P到直线的距离的最小值为.
故选D.
5．【答案】A
【详解】设数列公差为，则由已知得，由于，故解得，
所以．
故选A．
6．【答案】C
【详解】设，其中，则函数在上为单调递增函数，
且当时，函数，且，
可得方程的实根，则，
又由，可得，即，
构造新函数，可得，
所以在上为单调递增函数，
可得，
因为实数是方程的实根，则，即，
其中，所以，即，所以C正确，D不正确.
令，可得，为单调递增函数，
由，即，
所以，又由，且，所以，所以A、B不正确.
故选C.
7．【答案】C
【详解】由题意知本题需要分步计数，
2和4排在末位时，共有（种）排法，
其余三位数从余下的四个数中任取三个有24（种）排法，
根据由分步计数原理得到符合题意的偶数共有2×24＝48（个）．
故选C．
8．【答案】D
【详解】因为，所以当时，
．
故选D．
9．【答案】CD
【详解】延长正三棱台侧棱相交于点，由题意可知：，
在等腰梯形中，因为，，，则.
即为等边三角形，可知三棱锥为正四面体，且.
对于选项A：设为等边的中心，
由正四面体的性质可知：侧面，且，
即点到底面的距离为，
又因为，，所以正三棱台的高为，
故A错误；
对于选项B：因为与平面所成角的正切值为，
即，解得，
且等边的内切圆半径，
可知点的轨迹为等边的内切圆，所以点的轨迹长度为，故B错误；
对于选项C：因为正三棱台的高，且的内切圆半径为，
所以高为，底面圆的半径为的圆柱可以放在棱台内，故C正确；
对于选项D：设正四面体的内切球半径，
由等体积法可得：，解得.
因为，则该棱台内最大的球即为正四面体的内切球.
又因为，，，
则为的中点，过点的平面正好过该内切球的球心，
所以截面面积为，故D正确.
故选CD.
10．【答案】ABD
【详解】如上图所示，因为分别是的中点，所以中，，所以轴
A选项中，因为直线的倾斜角为，所以，故A正确
B选项中，中，，
所以，得：，故B正确
C选项中，的周长为，设内切圆为，根据三角形的等面积法，有，得：，是与有关的式子，所以C错误
D选项中，关于原点对称，可设，，根据得： ，所以当斜率存在时，
，，，因为在双曲线上，所以，即，得： ，
所以，故D正确
故选ABD
11．【答案】ABC
【详解】，
当时, ,A选项正确；
，
，
,
时, 有两个根,且时
,根据极值点判断，故C选项正确,D选项错误；
当时, 有两个根,且此时
,故B选项正确.
故选ABC．
12．【答案】
【详解】则当时，，结合函数的图象可得：
当时，，根据奇函数的图象关于原点对称可得：
不等式的解集为
13．【答案】
【详解】解：因为圆与圆相交于A，B两点，
所以直线的方程为：，即，
所以圆心到弦的距离为，
所以弦，
所以在中，，由余弦定理得，
所以
14．【答案】
【详解】由只有第5项的二项式系数最大可得：.
∴通项公式，
令，解得.
∴展开式中含项的系数为.
15．【答案】（1）选择；当时，；（2）当这辆车在国道上的行驶速度为，在高速路上的行驶速度为时，该车从地到地的总耗电量最少，最少为．
【详解】（1）对于，当时，它无意义，所以不合题意；
对于，它显然是个减函数，这与矛盾；
故选择．
根据提供的数据，有，解得，
当时，．
（2）国道路段长为，所用时间为，
所耗电量为，
因为，当时，；
高速路段长为，所用时间为，
所耗电量为
，
因为，当时，，
所以在上单调递增，
所以；
故当这辆车在国道上的行驶速度为，在高速路上的行驶速度为时，该车从地到地的总耗电量最少，最少为．
16．【答案】（1）证明见解析；
（2）.
【详解】（1）连接AC，交BD于点O，连接OH，△PBH中，E，G分别为PB，PH的中点，所以EG∥BH，又因为平面BDH，平面BDH，
所以EG∥平面BDH，同理：AG∥平面BDH，因为AG，平面AEG，，
所以平面AEG∥平面BDH．
（2）记点A，H到平面BDH，平面ABD的距离分别为，，，
因为PA⊥平面ABCD，PA＝2，，所以，
在△PBC中，，
在△BCH中，，
同理，，又因为O为BD中点，所以OH⊥BD．
在△BDH中，，，
因为，所以．
17．【答案】（1）x＋y－3＝0（2）圆P的方程为（x＋3）2＋（y－6）2＝40或（x－5）2＋（y＋2）2＝40
【详解】（1）求出AB中点坐标和直线CD的斜率，即得直线CD的方程；（2）设圆心P（a，b），求出的值，即得圆P的方程.
【详解】（1）由题意知，直线AB的斜率k＝1，中点坐标为（1，2）.
所以.
则直线CD的方程为y－2＝－（x－1），
所以直线CD的方程为x＋y－3＝0.
（2）设圆心P（a，b），则由点P在CD上得a＋b－3＝0.①
又因为直径|CD|＝4，所以|PA|＝2，
所以（a＋1）2＋b2＝40.②
由①②解得或
所以圆心P（－3，6）或P（5，－2）.
所以圆P的方程为（x＋3）2＋（y－6）2＝40或（x－5）2＋（y＋2）2＝40.
18．【答案】(1);
(2)
【分析】(1)由三项成等比列式,应用基本量运算,结合通项公式和前项和公式求解即可;
(2)裂项求和后解不等式即可.
【详解】（1）设等差数列的公差为,
因为成等比,所以,即得
化简得,又因为,所以.
因为,所以,即得
解得或者
当时,不合题意舍;
当时,,则,
（2）因为
当时,
由题得,化简得,
即,
解得,又因为,所以,
所以
19．【答案】（1）0.7192
（2）0.48.
【详解】（1）设B表示最终通过考核，分别表示通过第一、二、三、四项考核.
因为各项考核是相互独立的，所以该部门招工的通过率为，因此该部门招工的淘汰率为.
（2）在通过第一、三项考核的情况下考核全部通过的概率为，因此，通过第一、三项考核但是仍被淘汰的概率为.
0
20
40
60
0
3000
5600
9000