高中数学北师大版讲义(必修二)第37讲6.6简单几何体的再认识(1知识点+9题型+强化训练)(学生版+解析)特训

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6.6简单几何体的再认识 知识点01 柱、锥、台、球体的表面积体积 【即学即练1】（2024·山东泰安·三模）已知圆台O1O2的母线长为4，下底面圆的半径是上底面圆的半径的3倍，轴截面周长为16，则该圆台的表面积为（    ） A．24π B．25π C．26π D．27π 【题型一：表面积问题】 例1.（23-24高一下·安徽合肥·期中）以边长为2的正三角形的一边所在直线为旋转轴，将该正三角形旋转一周所得几何体的侧面积为（    ） A．23π B．4π C．43π D．8π 变式1-1.（23-24高一下·福建莆田·期中）一圆锥的侧面展开图是半径为4的半圆，则该圆锥表面积为（    ） A．12π B．10π C．8π D．4π 变式1-2.（23-24高一下·重庆·期中）已知一个直四棱柱的高为4，其底面ABCD水平放置的直观图（斜二测画法）是边长为2的正方形，则这个直四棱柱的表面积为（    ） A．40 B．32+162 C．64+162 D．64+163 变式1-3.（23-24高一下·安徽·期中）如图，已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为2，侧棱长为2，切割这个正四棱柱，得到四棱锥A1-BB1D1D，则这个四棱锥的表面积为 . 【题型二：公式法求体积问题】 例2.（2024·山西临汾·三模）宋代是中国瓷器的黄金时代，涌现出了五大名窑：汝窑、官窑、哥窑、钧窑、定窑．其中汝窑被认为是五大名窑之首．如图1，这是汝窑双耳罐，该汝窑双耳罐可近似看成由两个圆台拼接而成，其直观图如图2所示．已知该汝窑双耳罐下底面圆的直径是12厘米，中间圆的直径是20厘米，上底面圆的直径是8厘米，高是14厘米，且上、下两圆台的高之比是3:4，则该汝窑双耳罐的体积是（    ） A．1784π3 B．1884π3 C．2304π3 D．2504π3 变式2-1.（23-24高一下·黑龙江绥化·期中）正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素．如图，该几何体是一个棱长为2的正八面体，则此正八面体的体积与表面积的数值之比为 .    变式2-2.（23-24高一下·安徽合肥·期中）如图所示，底面边长为42的正四棱锥P-ABCD被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为22，高为4的正四棱锥P-A1B1C1D1. (1)求棱台A1B1C1D1-ABCD的体积； (2)求棱台A1B1C1D1-ABCD的表面积. 变式2-3.（23-24高一下·河北邢台·期中）如图，AB是圆柱的底面直径且AB=2，PA是圆柱的母线且PA=2，点C是圆柱底面圆周AB⏜上靠近点A的三等分点，点E在线段PA上． (1)求圆柱的表面积与体积； (2)求三棱锥P-ABC的体积； (3)若D是PB的中点，求CE+DE的最小值． 【题型三：轮换顶点法求体积问题】 例3.（23-24高一下·河北沧州·期中）如图，直三棱柱ABC-A1B1C1所有的棱长都为1，D，E分别为B1C1和AB1的中点．    (1)证明：DE//平面A1ACC1． (2)求三棱锥C1-AA1B1的体积． 变式3-1.（23-24高一下·浙江宁波·期中）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=4，AA1=3，点M,N,P，Q分别是棱A1B1,B1C1,CC1,CD的中点． (1)证明：三条直线MN,QP,D1C1相交于同一点 (2)求三棱锥C-MNP的体积． 变式3-2.（2024·内蒙古包头·一模）如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB//CD，点E在棱PB上，PE=2EB，点F，H是棱PA上的三等分点，点G是棱PD的中点.PC=CB=CD=23AB=2，AC=13. (1)证明：HD//平面CFG，且EC//FG； (2)求三棱锥A-PBD的体积. 变式3-3.（2024·全国·模拟预测）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC为正三角形，点E，F分别在棱BB1，AC上，且BE=13BB1，AF=14AC．    (1)证明：平面C1EF⊥平面ACC1A1； (2)若AC=AA1=12，求三棱锥C1-ECF的体积． 【题型四：平行线换顶点法求体积问题】 例4．（2024高一下·全国·专题练习）如图，四棱锥P-ABCD为正四棱锥，底面ABCD是边长为2的正方形，四棱锥的高为1，点E在棱AB上，且2AE=EB． (1)若点F在棱PC上，是否存在实数λ满足PF=λFC，使得BF//平面PDE？若存在，请求出实数λ的值；若不存在，请说明理由． (2)在第（1）问的条件下，当BF//平面PDE时，求三棱锥P-DEF的体积． 变式4-1．（22-23高一下·湖南邵阳·期末）如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD,AB⊥平面PAD,PA=AD=DC=2AB=4,PD=27,M是PC的中点.    (1)证明：BM ∥面PAD (2)证明：平面ABM⊥平面PCD； (3)求三棱锥M-PAB的体积. 变式4-2．（22-23高一下·河南开封·期末）如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB∥CD,AD⊥CD，CD=AD=AA1=2AB=2，点E为AA1的中点.    (1)求证：CD1 ∥平面BDE； (2)设F是直线CD1上的动点，求三棱锥F-BDE的体积. 变式4-3．（2023·江西·校联考模拟预测）如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BC=B1A=B1C,D是AC的中点，AB1⊥BD. (1)证明：B1D⊥平面ABC； (2)若AB=2，点B1到平面ACC1A1的距离为22，求三棱锥C1-A1B1C的体积. 【题型五：比例法求体积问题】 例5．（2023高三上·江苏徐州·学业考试）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，E为AP的中点，且AB=2,AP=4． (1)证明：CP//平面BDE； (2)求三棱锥P-BDE的体积． 变式5-1．（22-23高一下·湖北·阶段练习）如图，在正四棱锥P-ABCD中AB=2，PA=4，PM=2MB，N、E、F分别为PD、BC、CD中点.    (1)求证：EF ∥平面PMN； (2)三棱锥N-MCD的体积. 变式5-2．（2024·陕西宝鸡·一模）已知四棱锥P-ABCD中，PA=PD，AD//BC，∠ABC=90∘，PC⊥BC，M为PD的中点.    (1)求证：CM//平面PAB； (2)若PA=AD=2，PC=3AB=3，求四面体M-ACP的体积. 变式5-3．（22-23高一下·辽宁沈阳·期末）在如图所示的七面体ABCDEFG中，底面ABCD为正方形，EF//AB，FG//BC，AE⊥面ABCD．已知EF=FG=1，AB=2．    (1)设平面ABFE∩平面GCD=l，证明：l/平面ABCD； (2)若二面角F-BC-D的正切值为2，求四棱锥D-BCGF的体积． 【题型六：对称法求体积问题】 例6．（2024·四川·模拟预测）如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD为菱形，∠BAD=π3，BD=DE=2BF=2，DE⊥AC，BF∥DE． (1)求证：平面ACF⊥平面BDEF； (2)当BF⊥CD时，求三棱锥D-ACF的体积． 变式6-1．（22-23高一下·黑龙江大庆·期末）在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是∠DAB=60°的菱形，PA=AB=2，点M是PC的中点．    (1)证明：PA//平面MDB； (2)求三棱锥P-ADM的体积． 变式6-2．（2023·陕西宝鸡·一模）如图在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面ABCD是平行四边形.已知PA=AB=2，AD=5，AC=1，E是PB中点. (1)求证：PD ∥平面ACE； (2)求四面体P-ACE的体积. 变式6-3．如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD． （1）证明：AC⊥BD； （2）已知△ACD是直角三角形，AB=BD．若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比． 【题型七：割补法求体积问题】 例7．（2024·四川南充·二模）已知多面体ABCDEF中，AD//BC//EF，且AD=CD=DE=2，BC=EF=1，∠BCD=∠FED=π3.    (1)证明：AD⊥BF； (2)若BF=6，求多面体ABCDEF的体积. 变式7-1．（2024·陕西咸阳·二模）如图几何体中，底面ABC是边长为2的正三角形，AE⊥平面ABC，若AE//CD//BF，AE=5，CD=4，BF=3． (1)求证：平面DEF⊥平面AEFB； (2)求该几何体的体积． 变式7-2．（22-23高一下·宁夏石嘴山·期中）如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的高为3，底面边长为2，点D，D1分别为AC，A1C1上的点.    (1)在棱AC，A1C1上是否存在点D，D1使得平面BC1D∥平面AB1D1？如果存在，在此条件下证明平面BC1D∥平面AB1D1； (2)在（1）的条件下，求几何体ABB1C1D1D的体积. 变式7-3．（21-22高一下·辽宁·期末）已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，AB=BC=2,E,F分别为AC和CC1的中点，D为棱A1B1上的动点（包括端点）．BF⊥B1E，若平面A1B1E与棱BC交于点G．    (1)请补全平面A1B1E与棱柱的截面，并指出点G的位置； (2)求证：BF⊥平面A1B1E； (3)当点D运动时，试判断三棱锥D-EFG的体积是否为定值?若是，求出该定值及点D到平面EFG的距离；若不是，说明理由． 【题型八：体积最值与定值问题】 例8．（23-24高三上·河北保定·期末）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，已知A1A=AB=AD=2，∠A1AB=∠A1AD． (1)证明：BD⊥平面A1ACC1； (2)当三棱锥A-B1CD1体积最大时，求二面角D1-AC-B1的余弦值． 变式8-1．（2024·四川广安·二模）如图，在三棱锥P-ABC中，M为AC边上的一点，∠APC=∠PMA=90°，cos∠CAB=33，AB=2PC=6，PA=3. (1)证明：AC⊥平面PBM； (2)设点Q为边PB的中点，试判断三棱锥P-ACQ的体积是否有最大值？如果有，请求出最大值；如果没有，请说明理由. 变式8-2．（2023高一下·全国·专题练习）如图，四边形ABCD中，AB⊥AD,AD//BC,AD=6，BC=4，AB=2，E,F分别在BC,AD上，EF//AB.现将四边形ABEF沿EF折起，使得平面ABEF⊥平面EFDC. (1)当BE=1时，是否在折叠后的AD上存在一点P，使得CP//平面ABEF？若存在，求出P点位置；若不存在，说明理由； (2)设BE=x，问当x为何值时，三棱锥A-CDF的体积有最大值？并求出这个最大值. 变式8-3．（20-21高一下·全国·单元测试）已知正四棱锥P﹣ABCD的全面积为2，记正四棱锥的高为h．    (1)试用h表示底面边长，并求正四棱锥体积V的最大值； (2)当V取最大值时，求异面直线AB和PD所成角的正切值． 【题型九：体积最值与定值问题】 例9.（23-24高一下·浙江宁波·期中）已知球O为棱长为1的正四面体ABCD的外接球，若点P是正四面体ABCD的表面上的一点，Q为球O表面上的一点，则PQ的最大值为（    ） A．66 B．612 C．64 D．62 变式9-1.（2024·全国·模拟预测）在正三棱锥A-BCD中，BC=CD=DB=2，AB=AC=AD=3，则三棱锥A-BCD的外接球表面积为（    ） A．27π2 B．9π C．27π5 D．27π4 变式9-2.（22-23高一下·山东枣庄·阶段练习）已知三棱锥A-BCD的所有棱长均为2，球O为三棱锥A-BCD的外接球，则球O的表面积为（    ） A．π B．2π C．4π D．6π 变式9-3.（22-23高一下·湖北·阶段练习）在△ABC中，AB=AC=2，BC=23，D为BC的中点，将△ACD绕AD旋转至APD，使得BP=6，则三棱锥P-ABD的外接球表面积为（    ） A．82π3 B．55π6 C．7π D．8π 一、单选题 1．（23-24高一下·贵州贵阳·期中）《五曹算经》是我国南北朝时期数学家甄鸾为各级政府的行政人员编撰的一部实用算术书.其第四卷第九题如下：“今有平地聚粟，下周三丈，高四尺，问粟几何？”其意思为“场院内有圆锥形稻谷堆，底面周长3丈，高4尺，那么这堆稻谷有多少斛？”已知1丈等于10尺，1斛稻谷的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的稻谷约有（    ） A．60.08斛 B．171.24斛 C．61.73斛 D．185.19斛 2．（23-24高一下·山东济宁·期中）已知正三棱锥P－ABC的底面边长为6，顶点P到底面ABC的距离是6，则这个正三棱锥的侧面积为（    ） A．27 B．93 C．96 D．92 3．（2024高一下·全国·专题练习）如图所示，在四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，BD=2，BD⊥CD，将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体A'-BCD，使平面A'BD⊥平面BCD，则下列结论正确的是（　　） A．A'C⊥BD B．∠BA'C=90∘ C．CA'与平面A'BD所成的角为30∘ D．四面体A'-BCD的体积为13 4．（23-24高一下·天津南开·期中）庑殿顶是中国古代传统建筑中的一种屋顶形式，宋代称为“五脊殿”、“吴殿”，清代称为“四阿殿”，如图（1）所示.现有如图（2）所示的庑殿顶式几何体ABCDMN，其中正方形ABCD边长为3，MN//AB,MN=32，且MN到平面ABCD的距离为2，则几何体ABCDMN的体积为（    ） A．274 B．94 C．52 D．152 5．（23-24高一下·湖南长沙·期中）在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面PBC，PA=2，△PBC为边长等于3的正三角形，则三棱锥P-ABC的外接球的表面积是（    ） A．π B．2π C．4π D．8π 6．（23-24高一下·广东广州·期中）已知某圆台的上、下底面半径分别为r1，r2，且r2=3r1，若半径为23的球与圆台的上、下底面及侧面均相切，则该圆台的体积为（    ） A．28π B．28π3 C．56π3 D．2083π3 7．（23-24高一下·福建莆田·期中）已知等腰梯形ABCD，AB=2，CD=6，圆O为梯形ABCD的内切圆，并与AB，CD分别切于点E，F，如图所示，以EF所在的直线为轴，梯形ABCD和圆O分别旋转一周形成的曲面围成的几何体体积分别为V1，V2，则V1V2值为（    ） A．133 B．1333 C．136 D．1363 8．（23-24高一下·新疆乌鲁木齐·期中）球面被平面所截得的一部分叫做球冠（如图）.球冠是曲面，是球面的一部分.截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高.阿基米德曾在著作《论球与圆柱》中记录了一个被后人称作“Archimedes’  Hat-BoxTheorem”的定理：球冠的表面积=2πRh（如上图，这里的表面积不含底面的圆的面积）.某同学制作了一个工艺品，如下图所示.该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为4的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合），即一个球去掉了6个球冠后剩下的部分.若其中一个截面圆的周长为2π，则该工艺品的表面积为（    ） A．245-34π B．125-17π C．16π D．12π 二、多选题 9．（23-24高一下·福建泉州·期中）已知在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M,N分别为棱C1D1,C1C的中点，则下列结论正确的是（    ） A．直线MN与AC是异面直线 B．直线AM与BN是平行直线 C．三棱锥B1-A1BM的体积为43 D．平面BMN将正方体分为两个部分，其中较小部分的体积为73 10．（23-24高一下·重庆·期中）在等腰梯形ABCD中，AB//DC，AB=2DC=4，BC=5，以CD所在的直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，则下列说法正确的是（    ） A．等腰梯形ABCD的高为2 B．该几何体为圆柱 C．该几何体的表面积为16+45π D．该几何体的体积为40π3 11．（23-24高一下·山东·期中）已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°,AA1=2AC=2BC=22，M,N, Q,G点分别为棱A1B1,A1C1,AC,AB的中点，P是线段B1C1上（包含端点）的动点，则下列说法正确的是（    ） A．直三棱柱ABC-A1B1C1外接球的半径为2 B．三棱锥P-MNA的体积与P的位置无关 C．若P为B1C1的中点，则过A,M,P三点的平面截三棱柱所得截面为等腰梯形 D．一只虫子由表面从Q点爬到B1点的最近距离为17 三、填空题 12．（2024高一下·全国·专题练习）如图，在四面体A-BCD中，平面ABD⊥平面BCD，△ABD是边长为3的等边三角形，BD=CD，BD⊥CD，则四面体A-BCD的体积为 . 14．（23-24高一下·河南郑州·期中）已知矩形ABCD，AB=2，AD=1，沿BD将△ABD折起成△A'BD．若点A'在平面BCD上的射影落在△BCD内部，则四面体A'BCD的体积取值范围是 . 四、解答题 15．（23-24高二上·重庆梁平·开学考试）如图，在边长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为DD1中点， (1)证明：BD1//平面AEC； (2)求三棱锥E-ADC的体积． 16．（23-24高一下·河北沧州·期中）已知某几何体的直观图如图所示，其中底面为长为4，宽为3的长方形． (1)若该几何体的高为2，求该几何体的体积V； (2)若该几何体的侧棱长均为412，求该几何体的侧面积S． 17．（23-24高一下·山东·期中）已知圆锥的顶点为P，母线PA,PB所成角的余弦值为14，轴截面等腰三角形PAC的顶角为90∘，若△PAB的面积为215. (1)求该圆锥的侧面积； (2)求圆锥的内切球的表面积； (3)求该圆锥的内接正四棱柱的侧面面积的最大值. 18．（23-24高一下·北京·期中）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=AD=2，点E为线段PD的中点. (1)求证：PB//平面AEC； (2)求证：AE⊥平面PCD； (3)求三棱锥A-PCE的体积. 19．（23-24高一下·福建厦门·期中）如图（1），正三棱柱ABC-A1B1C1,AB=AA1=3，将其上底面ABC绕△ABC的中心逆时针旋转θ，θ∈0,π3，分别连接AA1,AB1,BB1,BC1,CC1,CA1得到如图（2）的八面体    (1)若θ=π6，依次连接该八面体侧棱AA1,AB1,BB1,BC1,CC1,CA1的中点分别为M，N，P，Q，R，S， （ⅰ）求证：M,N,P,Q,R,S共面； （ⅱ）求多边形MNPQRS的面积； (2)求该八面体体积的最大值． 课程标准学习目标理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，会求几何体的表面积与体积1、熟记柱、锥、台的表面积和体积的计算公式 2、理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，会求几何体的表面积与体积理解球的大、小圆，直线与球相切的意义 3、掌握球的表面积和体积公式，并能解决与球有关的组合体的相关计算问题　名称 几何体　　表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积＝S侧＋2S底V＝Sh锥体(棱锥和圆锥)S表面积＝S侧＋S底V＝eq \f(1,3)Sh台体(棱台和圆台)S表面积＝S侧＋S上＋S下V＝eq \f(1,3)(S上＋S下＋eq \r(S上S下))h球S＝4πR2V＝eq \f(4,3)πR3