高中数学北师大版讲义(必修二)第32讲6.3空间点、直线、平面之间的位置关系(9知识点+8题型+强化训练)(学生版+解析)特训

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6.3空间点、直线、平面之间的位置关系 知识点01 空间点、线、面 1、构成空间几何体的基本元素有：点、线、面. 2、用运动的观点理解空间基本图形之间的关系：点动成线、线动成面、面动成体. 3、点、线、面的表示 如图所示的长方体可以表示为长方体 ABCD-A1B1C1D1，它共有8 个顶点，可表示为A，B，C，D，A1，B1，C1，D1，12条棱可以表示为 AB,BC,CD,DA,AA1,BB1,CC1,DD1,AB1,B1C1,C1D1,D1A1，6 个面可以表示为平面ABCD，平面 ABB1A1，平面 BCC1B1，平面A1B1C1D1，平面CDD1C，平面ADD1A1。 【即学即练1】（2024高一下·全国·专题练习）如图所示的平行四边形MNPQ表示的平面不能记为（    ） A．平面MN B．平面NQP C．平面α D．平面MNPQ 知识点02 空间中点与直线、点与平面的位置关系 1、点A在直线l上：A∈l 2、点A在直线l外：A∉l 3、点A在平面α内：A∈α 4、点A在平面α外：A∉α 【即学即练2】（2020·高一课时练习）根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的位置关系. （1）点P与直线AB； （2）C与直线AB； （3）M与平面AC； （4）点A1与平面AC； 知识点03 空间中直线与直线的位置关系 1、直线a和直线l相交：a∩l=A 2、直线a和直线l不相交：a∩l=∅ 【即学即练3】（23-24高二上·上海松江·阶段练习）已知a，b为两条不同的直线，α为一个平面，且a//α，b⊂α，则直线a与b的位置关系是 . 知识点04 直线与平面的位置关系 直线a在平面α内：a⊂α 2、直线a与平面α相交：a∩α=A 3、直线a与平面α平行：a∕∕α 【即学即练4】（21-22高二上·上海杨浦·期中）对于直线l和平面α，"直线l不在平面α上"是"l∕∕α"的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 知识点05 两个平面的位置关系 两平面平行：α∕∕β 两平面相交：α∩β=l 【即学即练5】（2020·高一课时练习）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，判断下列直线、平面间的位置关系： ①A1B与D1C________；            ②A1B与B1C________； ③D1D与平面BCC1B1________；    ④AB1与平面BCC1________； ⑤平面ABB1与平面DCC1_________；     ⑥平面ABB1与平面DD1A1________. 知识点06空间点线面位置关系的公理 1.平面的基本事实 2.平面基本事实的推论 利用基本事实1和基本事实2，再结合“两点确定一条直线”，可以得到下面三个推论： 【即学即练6】（2024高一下·全国·专题练习）如图，在空间四边形ABCD中，点H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别是边AB，BC上的点，且CFFB=AEEB=13．求证：直线EH,BD,FG相交于一点． 知识点07 异面直线 1、定义：不同在任何一个平面内的两条直线． 2、异面直线的画法： ② 【即学即练7】（23-24高一下·湖北武汉·期中）下列说法正确的是（    ） A．空间中两直线的位置关系有三种：平行、垂直和异面 B．若空间中两直线没有公共点，则这两直线异面 C．和两条异面直线都相交的两直线是异面直线 D．若两直线分别是正方体的相邻两个面的对角线所在的直线，则这两直线可能相交，也可能异面 知识点08 空间等角定理 定理： 【即学即练8】（23-24高二上·上海·期中）已知空间两个角∠ABC和∠A'B'C'，若AB//A'B',BC//B'C'，∠A'B'C'=40∘，则∠A'B'C'= ． 知识点09 异面直线所成的角 1、定义：如图，a,b是异面直线，在空间中任选一点O，过点O分别作a,b的平行线a'和b'，则这两条直线a'和b'所成的___锐角或直角_________，称为异面直线a,b所成的角． 2、异面直线所成角范围：（0，π2] 3、求异面直线所成的角的步骤 一作，即依据定义作平行线，作出异面直线所成的角 二证，即证明作出的角是异面直线所成的角 三求，解三角形，求出作出的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角 【即学即练9】（22-23高二上·上海普陀·期中）设异面直线a、b所成的角为30°，经过空间一点O有且只有两条直线与异面直线a、b成等角θ，则θ的取值范围为 ． 【题型一：平面的基本性质及辨析】 例1．（23-24高二上·江西宜春·期末）能确定一个平面的条件是（    ） A．空间的三点 B．一个点和一条直线 C．两条相交直线 D．无数点 变式1-1．（21-22高一下·全国·课后作业）已知平面α∩平面β=l，点A、C∈α，点B∈β,且B∉l，又AC∩l=M，过A,B,C三点确定的平面为γ，则β∩γ是（    ） A．直线CM B．直线BM C．直线AB D．直线BC 变式1-2．（2024高一下·全国·专题练习）给出下列命题：①书桌面是平面； ②平面α与平面β相交，它们只有有限个公共点；③如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合. 正确的是 （填写序号）. 变式1-3．（23-24高二上·广东湛江·开学考试）若平面α∩β=l，直线a⊂α，直线b⊂β,a∩b=M，则点M与l的位置关系为 ． 【方法技巧与总结】 1.确定平面的条件： （1）不共线三点；（2）直线与直线外一点；(3)两条相交直线；（4）两条平行直线. 2.点、线、面位置关系判定：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内. 【题型二：点共面问题】 例2．（20-21高一上·宁夏固原·期末）在正方体中，E、F、G、H分别是该点所在棱的中点，则下列图形中E、F、G、H四点共面的是（   ） A． B． C． D． 变式2-1．（21-22高一·全国·课后作业）如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，若E，F，G分别为棱BC，CC1，B1C1的中点，O1，O2分别是四边形ADD1A1，A1B1C1D1的中心，则下列判断错误的是（    ） A．A，C，O1，D1四点共面 B．D，E，G，F四点共面 C．A，E，F，D1四点共面 D．G，E，O1，O2四点共面 变式2-2．（20-21高一·全国·课后作业）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点．求证：B,C,H,G四点共面．    变式2-3．（2023高三·全国·专题练习）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=1，AB=AD=2，E，F分别是AB，BC的中点，证明：A1,C1,F,E四点共面． 【方法技巧与总结】 基本思路： ①证明四个点在两条平行线上  = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②证明四个点在两条相交线上  = 3 \* GB3 ③证明三个点共线 ④三个不共线的点确定一个平面，证明第四个点在这个平面内 【题型三：线共面问题】 例3．（2024高一·江苏·专题练习）如图，已知a//b//c,l∩a=A,l∩b=B,l∩c=C.求证：直线a,b,c,l共面． 变式3-1．（21-22高二·全国·课后作业）如图，已知A∈l，B∈l，C∈l，D∉l，求证：直线AD，BD，CD共面． 变式3-2．（22-23高一·全国·课后作业）已知：l⊂α，D∈α，A∈l，B∈l，C∈l，D∉l．求证：直线AD,BD,CD共面于α． 变式3-3．（22-23高一下·山西大同·阶段练习）已知三条直线a，b，c相交于同一点O，直线d与它们分别相交于点A，B，C，（异于O点），求证：a，b，c，d四条直线在同一个平面内. 【方法技巧与总结】 基本思路： 两条直线确定一个平面，然后证明其它直线在这个平面内 【题型四：三线共点问题】 例4．（22-23高一下·安徽·阶段练习）空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别在AB，BC，CD，AD上，且满足AE:EB=CF:FB=2:1，CG:GD=AH:HD=3:1. (1)求证：E，F，G，H四点共面； (2)求证：EH，FG，BD三线共点. 变式4-1．（2022·河南·三模）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是B1C1和C1D1的中点． (1)证明：E，F，D，B四点共面． (2)证明：BE，DF，CC1三线共点． 变式4-2．（17-18高一·全国·课后作业）如图所示，已知棱长为1正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E,F分别是棱AB,AA1的中点．    求证：三条直线DA,CE,D1F交于一点； 变式4-3．（21-22高一下·安徽芜湖·期中）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E为棱AB的中点，F为棱BC的中点. (1)求证：E，F，C1，A1四点共面； (2)求证：A1E，C1F，B1B交于一点. 【方法技巧与总结】 基本思路：两条直线交于一点，然后证明交点在其它直线上 【题型五：三点共线】 例5．（21-22高一·全国·课后作业）如图，在三棱锥A-BCD中，作截面PQR，PQ，CB的延长线交于点M，RQ，DB的延长线交于点N，RP，DC的延长线交于点K．判断M，N，K三点是否共线，并说明理由． 变式5-1．（2024高一·江苏·专题练习）如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别为AB,AA1上的点且D1F∩CE=M．求证：点D,A,M三点共线．    变式5-2．（23-24高二上·北京·阶段练习）如图，在空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG:GC=DH:HC=1:2.    (1)求证：EF//GH； (2)设EG与FH交于点P，求证：P,A,C三点共线. 变式5-3．（20-21高一下·全国·课后作业）若直线l与平面α相交于点O，A，B∈l，C，D∈α，且AC//BD，求证O，C，D三点共线． 【方法技巧与总结】 基本思路：寻找一条特殊线，证明所有点在这条直线上或两点确定一条直线，然后证明其它点在这条直线上 【题型六：截面问题】 例6．（23-24高二上·江西·期末）如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，点E，F分别是AB，BC的中点，过点D1，E，F的平面截该正方体所得的截面多边形记为Ω，则Ω的周长为（    ） A．42+45 B．43+2 C．2+213 D．413+2 变式6-1．（2024高三·全国·专题练习）如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点K在棱A1B1上运动，过A，C，K三点作正方体的截面，若K为棱A1B1的中点，则截面的面积为 ． 变式6-2．（2023高一·全国·专题练习）如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为6，M是A1B1的中点，点N在棱CC1上，且CN=2NC1.作出过点D，M，N的平面截正方体ABCD-A1B1C1D1所得的截面，写出作法； 变式6-3．（22-23高一下·全国·课后作业）如图，正方体中，试画出过其中三条棱的中点P，Q，R的平面截得正方体的截面形状．    【方法技巧与总结】 作图原则 （1）两点确定一条直线. （2）只有同一个平面的两条直线的才会相交，作出的交点才是实际的交点. （3）如果已知两个不重合平面有一个共公点，则该两个平面的交线必过此公共点. 【题型七：异面直线辨析】 例7．（2024高三·全国·专题练习）下列命题中，真命题的个数是（　　） ① 分别在两个平面内的两条直线是异面直线； ② 和两条异面直线都垂直的直线有且只有一条； ③ 和两条异面直线都相交的两条直线必定异面； ④ 与同一条直线都异面的两条直线也是异面直线． A．0 B．1 C．2 D．3 变式7-1．（2024·山东日照·一模）已知l，m是两条不同的直线，α为平面，m⊂α，下列说法中正确的是（    ） A．若l与α不平行，则l与m一定是异面直线 B．若l∥α，则l与m可能垂直 C．若l∩α=A，且A∉m，则l与m可能平行 D．若l∩α=A，且l与α不垂直，则l与m一定不垂直 变式7-2．（23-24高一下·河北·期中）如图，这是一个正方体的平面展开图，若将其还原成正方体，下列直线中，与直线AD是异面直线的是（    ）    A．FG B．EH C．EF D．BC 变式7-3．（23-24高二上·上海崇明·期中）如图，已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点．    (1)证明：四边形EFGH为平行四边形； (2)证明：AC和BD是异面直线． 【题型八：异面直线所成角】 例8．（2024·陕西安康·模拟预测）如图，在底面为等边三角形的直三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1=2,D,E分别为棱BC,BB1的中点，F为棱AB上的动点，且线段C1F的长度最小值为5，则异面直线AC与DE所成角的余弦值为（    ） A．66 B．34 C．306 D．105 变式8-1．（23-24高一下·重庆·期中）如图，在三棱锥A-BCD中，AB=AC=BD=CD=6，AD=BC=4，M，N分别是AD，BC的中点.则异面直线AN，CM所成角的余弦值为（    ）    A．58 B．38 C．-78 D．78 变式8-2．（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）如图，已知正四棱锥P-ABCD的所有棱长均为2,E为棱PA的中点，则异面直线BE与PC所成角的余弦值为（    ） A．63 B．-63 C．33 D．-33 变式8-3．（2020·全国·模拟预测）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P，Q分别为A1B，B1D1，A1D，CD1的中点，则异面直线MN与PQ所成角的大小是（    ） A．π6 B．π4 C．π3 D．π2 【方法技巧与总结】 把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形； （4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,π2，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角． 一、单选题 1．（2024高一下·全国·专题练习）在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，P为边AB的中点，现将△DAP绕直线DP翻转至△DA'P处，如图所示，若M为线段A'C的中点，则异面直线BM与PA'所成角的正切值为（    ）    A．12 B．2 C．14 D．4 2．（23-24高一下·浙江·期中）已知正方体ABCD-A1B1C1D1，E、F、G分别为A1B1、AA1、AD的中点，则图中与直线DC1异面的直线是（    ）    A．EF B．AD1 C．B1G D．BC1 3．（23-24高一下·福建泉州·期中）如图，在四面体ABCD中作截面PQR，若PQ，CB的延长线交于点M，RQ，DB的延长线交于点N，RP，DC的延长线交于点K.则下列四个选项中正确的个数是（    ） （1）M，N，K三点共线； （2）P，N，M，C四点共面； （3）BC//NK. A．0 B．1 C．2 D．3 4．（23-24高一下·江苏无锡·期中）下列推理错误的是（    ） A．A∈l,A∈α,B∈l,B∈α⇒l⊂α B．A∈α,A∈β,B∈α,B∈β⇒α∩β=AB C．l⊄α,A∈l⇒A∉α D．A∈l,l⊂α⇒A∈α 5．（2024高一下·全国·专题练习）已知角α的两边和角β的两边分别平行，且α=80°，则β=（　　） A．80° B．100° C．80°或100° D．不能确定 6．（2024高一下·全国·专题练习）直线a，b，c两两平行且不共面，经过其中两条直线的平面共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．1个或3个 7．（2024高一下·全国·专题练习）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 8．（2024高一下·全国·专题练习）已知α,β为平面，A,B,M,N为点，a为直线，下列推理中错误的是（    ） A．A∈a,A∈β,B∈a,B∈β，则a⊂β B．M∈α,M∈β,N∈α,N∈β，则直线MN⊂α，直线MN⊂β C．A∈α,A∈β，则α∩β=A D．A,B,M∈α,A,B,M∈β，且A,B,M不共线，则α,β重合 二、多选题 9．（2024高一下·全国·专题练习）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点Q是棱DD1上的动点，则过A,Q,B1三点的截面图形是（　　） A．等边三角形 B．矩形 C．等腰梯形 D．正方形 10．（23-24高一下·广西南宁·阶段练习）一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中，下列结论正确的是（    ） A．AB⊥EF B．CD//MN C．MN与AB是异面直线 D．BF与CD成0°角 11．（22-23高一下·陕西西安·期末）如图是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中，下列说法中正确的序号是（    ） A．直线AF与直线DE相交； B．直线CN与直线DE平行； C．直线BM与直线DE是异面直线； D．直线CN与直线BM成60°角. 三、填空题 12．（23-24高一下·浙江杭州·期中）如图，在四面体A-BCD中，AC=2,BD=2,AC与BD所成的角为45∘，M,N分别为AB,CD的中点，则线段MN的长为 . 13．（23-24高一下·浙江宁波·期中）正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为2，N为线段AC上一动点，M为线段DD1上一动点，则A1M+MN的最小值为 . 14．（23-24高一下·安徽合肥·期中）如图，在三棱锥A-BCD中，AC⊥BD，点E在棱AB上，点F在棱CD上，且AEEB=CFFD，设α表示EF与AC所成的角，β表示EF与BD所成的角，则α+β的值为 .    四、解答题 15．（2024高一下·全国·专题练习）P是平面ABC外一点，PA=4,BC=25，D，E分别为PC，AB的中点，且DE=3.求异面直线PA与BC所成的角的大小. 16．（2024高三·全国·专题练习）如图，ABCD-A1B1C1D1是棱长为2的正方体，P为面对角线AD1上的动点（不包括端点），PM⊥平面ABCD交AD于点M，MN⊥BD于点N． (1)试用反证法证明直线AB1与BC1是异面直线； (2)设AP=x，将PN长表示为x的函数fx，并求此函数的值域； (3)当PN最小时，求异面直线PN与A1C1所成角的正弦值． 17．（2024高一下·全国·专题练习）如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M,N分别是A1B1,BB1的中点，则下列直线与平面、平面与平面的位置关系是什么？ (1)AM所在的直线与平面ABCD的位置关系； (2)CN所在的直线与平面ABCD的位置关系； (3)AM所在的直线与平面CDD1C1的位置关系； (4)平面ABB1M与平面CDD1C1的位置关系； (5)平面AMD1与平面BNC的位置关系. 18．（2024高一下·全国·专题练习）在正方体ABCD－A1B1C1D1中， (1)AA1与CC1是否在同一平面内？ (2)画出平面ACC1A1与平面BC1D的交线． 19．（2023高三·全国·专题练习）若△ABC所在的平面和△A1B1C1所在平面相交，并且直线AA1、BB1、CC1相交于一点O，求证：    (1)AB和A1B1、BC和B1C1、AC和A1C1分别在同一平面内； (2)如果AB和A1B1、BC和B1C1、AC和A1C1分别相交，那么交点在同一直线上（如图）. 课程标准学习目标1、借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义， 2、了解四个基本事实(与推论)，了解等角定理1、能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系。 2、能用图形、文字、符号三种语言描述四个基本事实。 3、理解两异面直线的定义，会用平面衬托来画异面直线。 4、能从实际问题中归纳出等角定理基本事实 （公理）内容图形符号作用基本事实1过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α确定平面；判定点线共面基本事实2如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α确定直线在平面内；判定点在平面内基本事实3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线P∈α，P∈β⇒α∩β＝l且P∈l判定两平面相交；判定点在直线上基本事实4行于同一条直线的两条直线平行a//bb//c⇒a//c.基本事实4表明了平行线的传递性基本事实4表明了平行线的传递性推论文字语言图形语言符号语言推论1经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个_平面____A∉l⇒有且只有一个平面α，使A∈α，l⊂α推论2经过____两条相交直线_____，有且只有一个平面a∩b＝P⇒有且只有一个平面α，使a⊂α，b⊂α推论3经过____两条平行直线_____，有且只有一个平面a∥b⇒有且只有一个平面α，使a⊂α，b⊂α文字语言如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补符号语言OA//O'A'，OB//O'B' ⇒∠AOB=∠A'O'B'或∠AOB+∠A'O'B'=180°图形语言作用判断或证明两个角相等或互补