6.6简单几何体的再认识 北师大版（2019）高中数学必修第二册（含答案解析） 试卷

6.6简单几何体的再认识北师大版（   2019）高中数学必修第二册

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 如图，是正方形的对角线，的圆心是，半径为，正方形以为轴旋转一周，则图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三部分旋转所得旋转体的体积之比是(    )

A.
B.
C.
D.

2. 已知正方体、等边圆柱轴截面是正方形、球的体积相等，它们的表面积分别为、、，则(    )

A.  B.  C.  D.

3. 如图，为圆锥底面圆的直径，点是圆上异于，的动点，已知，，则下列结论错误的是(    )

A. 圆锥的侧面积为
B. 三棱锥体积的最大值为
C. 圆锥内切球的半径为
D. 若，为线段上的动点，则的最小值为

4. 公元前世纪，古希腊欧几里得在几何原本里提出：“球的体积与它的直径的立方成正比”，此即，欧几里得未给出的值．世纪日本数学家们对求球的体积的方法还不了解，他们将体积公式中的常数称为“立圆率”或“玉积率”类似地，对于等边圆柱轴截面是正方形的圆柱、正方体也可利用公式求体积在等边圆柱中，表示底面圆的直径；在正方体中，表示棱长假设运用此体积公式求得球直径为、等边圆柱底面圆的直径为、正方体棱长为的“玉积率”分别为、、，那么等于(    )

A.  B.  C.  D.

5. 阿基米德公元前年公元前年是伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学家，他死后的墓碑上刻着一个“圆柱容球”的立体几何图形：在圆柱容器里放一个球，使该球四周碰壁，且与上、下底面相切，则在该几何体中，圆柱的体积与球的体积之比为(    )

A.  B.  C. 或 D.

6. 世纪日本数学家们对于数学关于体积方法的问题还不了解，他们将体积公式中的常数称为“立圆术”或“玉积率”。创用了求“玉积率”的独特方法“会玉术”。其中，为直径，类似地，对于等边圆柱轴截面是正方形的圆柱叫做等边圆柱、正方体也有类似的体积公式，其中，在等边圆柱中，表示底面圆的直径；在正方体中，表示棱长，假设运用此“会玉术”求得的球、等边圆柱、正方体的“玉积率”分别为。那么等于

A.  B.  C.  D.

7. 已知直四棱柱的底面为矩形，，且该棱柱外接球的表面积为，为线段上一点．则当该四棱柱的体积取最大值时，的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图，矩形中，为的中点，将沿直线翻折成，连结，为的中点，则在翻折过程中，下列说法正确的是

A. 存在某个位置，使得
B. 翻折过程中，的长不是定值；
C. 若，则
D. 若，当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积是．
 

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9. 已知矩形，，将沿对角线进行翻折，得到三棱锥，则在翻折的过程中，下列结论正确的是(    )

A. 三棱锥的体积最大值为
B. 三棱锥的外接球体积不变
C. 三棱锥的体积最大值时，二面角的大小是
D. 异面直线与所成角的最大值为

10. 如图，已知圆锥顶点为，其轴截面是边长为的为正三角形，为底面的圆心，为圆的一条直径，球内切于圆锥与圆锥底面和侧面均相切，点是球与圆锥侧面的交线上一动点，则(    )

A. 圆锥的表面积是
B. 球的体积是
C. 四棱锥体积的最大值为
D. 的最大值为

11. 如图，正方形与正方形边长均为，平面与平面互相垂直，是上的一个动点，则以下结论正确的是(    )

A. 的最小值为
B. 的最小值为
C. 当在直线上运动时，三棱锥的体积不变
D. 三棱锥的外接球表面积为
 

12. 已知矩形，将沿对角线进行翻折，得到三棱锥，在翻折的过程中下列结论成立的是                       (    )

A. 三棱雉的体积最大值为
B. 三棱锥的外接球体积不变
C. 异面直线与所成角的最大值为
D. 与平面所成角的余弦值最小值为

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，且球的表面积为，，平面，，则三棱锥的体积为          ．
14. 如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为，高为，内孔半径为，则此六角螺帽毛坯的体积是________．

15. 唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺．它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度，如图所示．已知球的半径为，酒杯内壁表面积为设酒杯上部分圆柱的体积为，下部分半球的体积为，则的值是          ．

16. 如图，某种螺帽是由一个半径为的半球体挖去一个正三棱锥所得的几何体，该正三棱锥的底面三角形内接于半球底面的大圆，顶点在半球面上，则被挖去的正三棱锥的体积为________．

四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分

若等边圆柱轴截面是正方形、球、正方体的体积相等，设它们的表面积分别为、、，判断它们的大小关系，并证明．

18. 本小题分

已知正三棱锥，顶点为，底面是三角形．

若该三棱锥的侧棱长为，且两两成角为，设质点自出发依次沿着三个侧面移动环绕一周直至回到出发点，求质点移动路程的最小值；

若该三棱锥的所有棱长均为，试求以为顶点，以三角形内切圆为底面的圆锥的体积；

若该锥体的体积为定值，求这三棱锥侧面与底面所成的角的余弦值，使该三棱锥的表面积最小．

19. 本小题分

如图所示，四边形是直角梯形单位：，求图中阴影部分绕所在直线旋转一周所成几何体的表面积和体积．
 

20. 本小题分
    图形由矩形和扇形组合而成如图所示，，求将该图形沿旋转一周后所形成的几何体的表面积和体积．

21. 本小题分

如图，求图中阴影部分绕旋转一周所形成的几何体的表面积和体积．

22. 本小题分

如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，是底面的内接正三角形，为上一点，．

证明：平面平面；

设，圆锥的侧面积为，求三棱锥的体积．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了圆锥、圆柱和球的体积计算，属于中档题．
利用圆锥、圆柱和球的体积公式即可求解．

【解答】

解：设正方形的边长为，可得


，
故图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三部分旋转所得旋转体的体积之比是 ，
故选A．

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查正方体、等边圆柱轴截面是正方形、球的体积、表面积公式，考查学生的计算能力，属于中档题．
利用正方体、等边圆柱轴截面是正方形、球的体积、表面积公式，即可得出结论．

【解答】

解：正方体的棱长为，体积，，
等边圆柱轴截面是正方形的高为，
体积，，
球的半径为，体积，，
，
故选C．

3.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查旋转体及其特征，考查棱锥体积的求法，考查空间想象能力及思维能力，考查运算求解能力，属于中档题．
由已知求出圆锥侧面积判断；求出三棱锥体积的最大值判断；转化为求内切圆的半径判断；利用剪展问题求得的最小值判断．

 

【解答】

解：由，，得，

，又，可得．

对于选项、圆锥的侧面积为，故正确；

对于选项、当时，的面积最大，此时，

则三棱体积的最大值为，故正确；

对于选项、圆锥内切球的半径，就是内切圆的半径，

设为，则，可得，故错误；

对于选项、，，，，

又，为等边三角形，则．

将以为轴旋转到与共面，得到，

则为等边三角形，，

如图：．

，，

，

的最小值为，故正确．

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了球、圆柱、正方体的体积计算公式、类比推力，属于中档题．
根据球、圆柱、正方体的体积计算公式、类比推理即可得出．
【解答】

解：；
；
；
故．
故选D．

5.【答案】 

【解析】

【分析】

本题是一道关于圆柱与球的综合题，主要考查体积的运算，属于基础题．
根据题意设球的半径为，则圆柱的底面半径为，高为，由此表示出圆柱与球的体积，再求比值．

【解答】

解：设球的半径为，则圆柱的底面半径为，高为，
则圆柱的体积为；
球的体积为；
所以，圆柱的体积与球的体积之比为，
故选A．

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查球、等边圆柱、正方体的“玉积率”的比值的求法，考查球、等边圆柱、正方体的体积公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，是中档题．
利用球的体积公式求出；利用等边圆柱的体积公式求出；利用正方体的体积公式求出由此能求出：：的值．

【解答】
解：在球中，，解得；
在等边圆柱中，，解得，
在正方体中，，解得．
：：．
故选D．  

7.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查直棱柱的结构特征，体积和基本量的计算及外接球的表面积，考查了基本不等式的应用，属于中档题．
首先求得外接球的半径，再设出矩形的长，宽分别为，，根据外接球的直径就是直四棱柱的对角线长，得到，进而由基本不等式得到的最大值，即可得到体积的最大值．

【解答】

解：设外接球的半径为，则球的表面积，
由题意，，解得，
设矩形的长，宽分别为，，
则，即，
直四棱柱的体积为，当且仅当时取等号，
即底面为边长为的正方形时，四棱柱的体积最大，
将平面沿展开，与处于同一平面，
则．
故选：．

8.【答案】 

【解析】略
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查棱锥的表面积和体积，球的表面积和体积，多面体上的最短距离折叠与展开图，异面直线所成角及二面角的求法．
当平面平面时，三棱锥的高最大，可判断，；设的中点为，则，故为三棱锥外接球的球心，
其半径为，故三棱锥的外接球体积不变；当时可得，
又，可得平面，即 ，故可判断．

【解答】

解：对于，为点到平面的距离，当平面平面时，三棱锥的高最大，又为定值，故此时三棱锥的体积最大，最大值为，故A错；
对于，设的中点为，则由知，，
所以为三棱锥外接球的球心，其半径为，所以外接球体积为，
即三棱锥的外接球体积不变，故B正确；
对于，由的解析过程知，三棱锥的体积最大值时，平面平面，
所以二面角的大小是，故C错误；
对于，当沿对角线进行翻折到使点与点的距离为，即时，在中，，所以，又，翻折后此垂直关系没有变，，，平面，所以平面，因为平面，所以，即异面直线与所成角的最大值为，故D正确．
故选BD．

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查圆锥的表面积公式、球的体积公式、棱锥的体积公式、利用基本不等式求最值，属于中档题设截面圆圆心为，根据题意得出球的半径，，截面圆的半径为，再对各选项逐项判定，即可求出结果．
【解答】
解：设截面圆圆心为，
则球的半径，，
截面圆的半径为，

对于，圆锥的表面积是，所以A错误；
对于，球的体积是，所以B正确；
对于，因为到平面的距离与截面圆圆心到平面的距离相等，均为，
因此当与垂直时，体积最大，
其最大值为，所以C正确；
对于，，
所以，
所以，
所以，
由均值不等式可知，
即，当且仅当时取等号，所以D正确．  

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了空间中的距离，三棱锥的体积与外接球的面积，属于中档题．
根据题意逐一判断即可．
【解答】
解：对于，连接，，因为
故得到平面，，
易得，故A错误；
对于，如图，将翻折到与平面共面，则当、、三点共线时，
取得最小值，

，故B错误；
 对于，做于，在直线上运动时，
的面积等于矩形面积的一半，矩形的面积为定值，
故的面积是定值，点到面的距离为 故三棱锥的体积不变，故C正确；
对于，将该几何体补成正方体，则外接球半径为，外接球表面积故D正确．  

12.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查棱锥和球的体积，异面直线和直线与平面所成角，考查空间想象能力，属于中档题．
当平面平面时，三棱锥的高最大，可判断；设的中点为，则为三棱锥外接球的球心，其半径为，可判断；若，由，可得平面，则，由，显然不成立，故可判断因为是定值，则只需到面的距离最大时，与平面所成角最大，当平面平面时，到面的距离最大，为，可求得与平面 所成角的余弦值最小值，故D正确．
【解答】
解：对于，，
当平面平面时，三棱锥的高最大，
此时体积最大值为，故A正确；
对于，设的中点为，则由知，，
所以为三棱锥外接球的球心，其半径为，
所以外接球体积为，
即三棱锥的外接球体积不变，故B正确；
对于，若，由，，平面，平面，可得平面，
因为平面，则，
因为，则显然不成立，故C错误；
对于，因为是定值，则只需到面的距离最大时，与平面 所成角最大，
当平面平面时，到面的距离最大，为，
设与平面 所成角为，此时，
因为为锐角，所以，
即与平面 所成角的余弦值最小值为，故D正确．
故选ABD．  

13.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查棱锥的外接球表面积的求法，棱锥的体积，考查数学转化思想方法，是中档题．
由题意画出图形，求出的长，再由棱锥的体积公式求解．

【解答】

解：如图，

由题意，，
由平面，可得，，
设，则三棱锥的外接球的直径即是以，，为棱的长方体的体对角线．
则，
再由，得．
，即．
三棱锥的体积为．
故答案为．

14.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查柱体体积公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
通过棱柱的体积减去圆柱的体积，即可推出结果．

【解答】

解：六棱柱的体积为：，
圆柱的体积为：，
所以此六角螺帽毛坯的体积是：，
故答案为：．

15.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了圆柱的体积及球的体积，以及组合体的表面积计算，属于中档题．
根据题意，设圆柱的高度为，酒杯内壁表面积为圆柱与半球的表面积，结合已知条件，可得，再求出圆柱的体积和半球的体积，即可得的值．

【解答】

解：设圆柱的高度为，则，
即，
所以．
故答案为．

16.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查正三棱锥的体积的计算，考查空间想象能力和运算求解能力，考查的核心素养是直观想象和数学运算，属于中档题．
设中点为，连结，过点作平面，交于，则，，，由此能求出被挖去的正三棱锥体积．
【解答】
解：如图，记挖去的正三棱锥为正三棱锥，则该正三棱锥的底面三角形内接于半球底面的大圆，顶点在半球面上．
设的中点为，连接，过点作平面，交于点，
则，，，
所以，
所以挖去的正三棱锥的体积．

17.【答案】解：设等边圆柱底面圆半径为，球半径为，正方体棱长为，
则，
则，，
， ，，
，，
故．
即  

【解析】本题考查几何体的结构特征以及表面积、体积，属于基础题．
根据体积相等得到它们的底面半径、球半径以及正方体的棱长的关系，进一步求表面积．
 

18.【答案】解：如图沿侧棱将三棱锥的侧面展开如图，则即为质点移动路程的最小值，
由题意可得：，所以，，
由余弦定理得，，
所以质点移动路程的最小值为．

设三棱锥的高为，内切圆的半径为，外接圆半径为，圆锥的母线为，
则，解得：，
，所以，
，
所以圆锥的侧面积为，
圆锥的体积为．
设为点在底面的投影，设点到的距离为，于点，
则，连接，则，所以，，
因为是等边三角形，所以，，
因为，所以，
侧面积为，
所以三棱锥的表面积，
因为，所以，
所以棱锥的体积，
所以，
所以，
令，则，又，所以，
所以

，

当且仅当即，时等号成立，

取得最小值，取得最小值，此时

所以体积一定时，该三棱锥侧面与底面所成的二面角为时其表面积最小．

【解析】利用三棱锥的侧面展开图即可求解；
求出底面三角形内切圆的半径，圆锥的高和母线，利用圆锥的侧面积和体积公式即可求解；
设为点在底面的投影，点到的距离为，利用表示与，进而可用表示，再利用基本不等式求最值即可求解．
本题主要考查锥体体积的求解，锥体表面积的求解，立体几何中的最值问题等知识，属于中等题．
 

19.【答案】解：由题意知，所成几何体的表面积等于圆台下底面面积圆台的侧面积一半球面面积．
又，
，
，
所以该几何体的表面积为
又，

所以该几何体的体积为 

【解析】本题考查几何体的表面积和体积的求法，解题时要认真审题，注意圆台、半球的体积的求法和应用．
由题意，知所成几何体的表面积等于圆台下底面面积圆台的侧面积半球面面积，该几何体的体积为，由此能求出结果．
 

20.【答案】解：由题意得，该几何体是由一个圆柱和半球拼接而成的组合体，其中圆柱和半球的底面半径均为，圆柱高为，
圆柱的底面积，
圆柱的侧面积，
半球的表面积，
将该图形沿旋转一周后所形成的几何体的表面积为：
；
圆柱的体积，
半球的体积，
将该图形沿旋转一周后所形成的几何体的体积为：
． 

【解析】本题考查简单组合体的表面积和体积的求法，属于中档题．
该几何体是由一个圆柱和半球拼接而成的组合体，其中圆柱和半球的底面半径均为，圆柱高为，由此能求出将该图形沿旋转一周后所形成的几何体的表面积和体积．
 

21.【答案】解：由题意知所求旋转体的表面由三部分组成：圆台下底面、侧面和半球面，

解：，

，

圆台底．

故所求几何体的表面积为．

又，

，

所以所求几何体的体积为．

【解析】本题主要考查旋转体的表面积和体积，属于基础题．
由题意知所求旋转体的表面由三部分组成：圆台下底面、侧面和半球面，分别求出三部分的表面积求和即可，旋转体的体积由圆台体积减去半球体积即可．
 

22.【答案】解：由已知条件得，

因为，所以，

所以，

又因为是等边三角形，
所以，

所以，，

所以，，

因为，，平面，

所以平面，

因为平面，

所以平面平面．

设圆锥的底面半径为，母线长为，

由题意得

解得，

所以等边三角形的边长为，
从而，

所以，

所以三棱锥的体积
．

【解析】本题考查线面位置关系的判定，圆锥的侧面积公式，棱锥的体积公式的应用，考查空间想象能力与运算能力，属于中档题．

由题意证得，，从而得到平面，根据面面垂直的判定定理即可证明；

由圆锥的性质可求得底面半径与母线长，从而可求得的边长，从而可求得三棱锥的高，从而可求得体积．