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高中数学北师大版 (2019)必修 第二册5.1 正弦函数的图象与性质再认识优质课件ppt
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这是一份高中数学北师大版 (2019)必修 第二册5.1 正弦函数的图象与性质再认识优质课件pptPPT课件主要包含了必备知识·自主学习，关键能力·合作学习，课堂检测·素养达标，课时素养评价等内容，欢迎下载使用。
1.正弦函数的图象(1)画正弦函数图象的步骤可以归纳如下:第一步:如图所示,在直角坐标系的x轴的负半轴上任取一点O1,以O1为圆心作单位圆;
第二步:从圆O1与x轴的交点A起把圆弧分成12等份;第三步:过圆O1上各分点分别作x轴的垂线,得到对应于角0, , , ,…,2π等分点的正弦值;第四步:相应地,再把x轴上从0到2π这一段分成12等份;第五步:再把角x所对应的正弦线向右平移,使它的起点与x轴上表示数x的点重合;第六步:最后用光滑曲线把这些正弦线的终点连接起来,就得到了正弦函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象. (2)五点法作正弦函数的图象,五个点为.(0,0), ,(π,0), ,(2π,0).
2.正弦函数的性质(1)定义域:R.(2)周期性:最小正周期为2π.(3)单调性:单调增区间: (k∈Z),单调减区间: (k∈Z).
(4)值域:[-1,1].当且仅当x=2kπ+ (k∈Z)时,正弦函数y=sin x取得最大值1;当且仅当x=2kπ- (k∈Z)时,正弦函数y=sin x取得最小值-1.(5)奇偶性:正弦函数y=sin x在R上是奇函数.(6)对称性:对称轴x=kπ+ ,k∈Z,对称中心(kπ,0),k∈Z.
【思考】(1)-2π是正弦函数的周期吗?提示:是.2kπ(k∈Z,k≠0)都是它的周期.(2)正弦函数的对称轴之间的距离有什么特点?对称中心呢?提示:对称轴之间的距离差了π的整数倍.对称中心之间也相差了π的整数倍.
【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)(1)正弦函数在区间 上是递增的.( )(2)若存在一个常数T,使得对定义域内的每一个x,都有f(x+T)=f(x),则函数f(x)为周期函数.( )(3)函数f(x)=sin x-1的一个对称中心为(π,-1).( )
提示:(1)×.正弦函数在区间 上先递增,再递减.(2)×.应为非零常数T.(3)√.因为正弦函数的一个对称中心为(π,0),函数f(x)=sin x-1即将正弦函数向下平移一个单位,故一个对称中心为(π,-1).
2.函数y=sin x是( ) A.增函数B.减函数C.偶函数D.周期函数【解析】选D.由正弦曲线y=sin x的图象,可得函数y=sin x的增区间是 (k∈Z),减区间是 (k∈Z),函数是奇函数,且是周期为2π的周期函数.
3.(教材二次开发:例题改编)下列关系式中正确的是( )A.sin 11°
类型一 正弦函数的图象(直观想象、数学运算)【典例】 用五点法作出函数y=1-2sin x,x∈[-π,π]的简图,并回答下列问题:(1)观察函数图象,写出满足下列条件的x的区间.①y>1;②y<1.(2)若直线y=a与y=1-2sin x有两个交点,求a的取值范围;(3)求函数y=1-2sin x的最大值,最小值及相应的自变量的值.
【思路导引】用五点法作图.再根据函数y=1-2sin x,x∈[-π,π]的简图解题.【解析】按五个关键点列表
描点连线得:(1)由图象可知函数y=1-2sin x在y=1上方的部分y>1,在y=1下方的部分y<1,所以当x∈(-π,0)时,y>1,当x∈(0,π)时,y<1.(2)如图,当直线y=a与y=1-2sin x有两个交点时,1【解题策略】(1)解答本题的关键是要抓住五个关键点,使函数中x取-π,- ,0, ,π,然后求出相应的y值,作出图象.(2)五点法作图是画三角函数的简图的常用方法,这五点主要指函数的零点及最大值、最小值点,连线要保持光滑,注意凸凹方向.(3)仔细观察图象,找出函数图象与y=1,y=a的交点及最大值,最小值点正确解答问题.
【跟踪训练】用“五点法”画出函数y= +sin x,x∈[0,2π]上的图象.【解析】取值列表如下:
描点,并将它们用光滑的曲线连接起来.(如图)
类型二 正弦函数的单调性及应用(直观想象、数学运算)【典例】1.比较下列各组数的大小:(1)sin 与sin ;(2)sin 与cs .2.求函数y=-2sin x-1的单调递增区间.【思路导引】1.利用诱导公式将各个角化到一个单调区间,利用正弦函数的单调性比较.2.由题意,需求正弦函数y=sin x的单调递减区间.
【解析】1.(1)因为- <- <- <0,正弦函数y=sin x在区间 上是增函数,所以sin >sin .
(2)因为cs =sin ,又 ,而正弦函数y=sin x在 上是减函数所以sin >sin ,即sin >cs .2.因为y=-2sin x-1,所以函数y=-2sin x-1的递增区间就是函数y=sin x的递减区间.所以 +2kπ≤x≤ +2kπ(k∈Z),所以函数y=-2sin x-1的递增区间为 (k∈Z).
【解题策略】利用正弦函数单调性比较大小的步骤(1)一定:利用诱导公式把角化到同一单调区间上.(2)二比较:利用函数的单调性比较大小.
【跟踪训练】1.函数y=9-sin x的单调递增区间是( )A. (k∈Z)B. (k∈Z)C. (k∈Z)D. (k∈Z)【解析】选B.y=9-sin x的单调递增区间与y=sin x的单调递减区间相同.
2.比较大小:(1)sin 250°与sin 260°;(2)sin 与sin .【解析】(1)sin 250°=sin(180°+70°)=-sin 70°,sin 260°=sin(180°+80°)=-sin 80°,因为0°<70°<80°<90°,且函数y=sin x,x∈ 是增函数,所以sin 70°-sin 80°,即sin 250°>sin 260°.
(2)sin =-sin =-sin =-sin =-sin .sin =-sin =-sin .因为0< < < ,且函数y=sin x,x∈ 是增函数,所以sin-sin ,即sin
2.求函数f(x)=sin(π+x)+sin2x-1的最大值和最小值,并求出取得最大值和最小值时x的值.【思路导引】1.根据正弦函数的值域,分情况表示出最大值和最小值,通过解方程组求a,b.2.利用诱导公式、同角三角函数的关系统一成正弦,还原求最值.
【解析】1.选AC.因为f(x)=2asin x+a+b的定义域是 ,所以0≤sin x≤1,当a<0时,由题意 所以 当a>0时,由题意 解得
2.f(x)=sin(π+x)+sin2x-1=sin2x-sin x-1,令t=sin x,则y=t2-t-1= - ,t∈ .因为-1≤t≤1,所以- ≤y≤1,所以ymax=1,此时sin x=-1,x=- +2kπ,k∈Z;所以ymin=- ,此时sin x= ,x= +2kπ,k∈Z或x= +2kπ,k∈Z.
【解题策略】与正弦函数有关的函数的值域(或最值)的求法(1)求形如y=asin x+b的函数的最值或值域时,可利用正弦函数的有界性(-1≤sin x≤1)求解.(2)求形如y=asin2x+bsin x+c,a≠0,x∈R的函数的值域或最值时,可以通过换元,令t=sin x,将原函数转化为关于t的二次函数,利用配方法求值域或最值.求解过程中要注意正弦函数的有界性.
【跟踪训练】1.求使下列函数取得最大值和最小值时的x值,并求出函数的最大值和最小值:(1)y=2sin x-1;(2)y=-sin2x+ sin x+ .
【解析】(1)由-1≤sin x≤1知,当x= +2kπ,k∈Z时函数y=2sin x-1取得最大值,ymax=1;当x= π+2kπ,k∈Z时函数y=2sin x-1取得最小值,ymin=-3.(2)y=-sin2x+ sin x+ = ,因为-1≤sin x≤1,所以当sin x= ,即x= +2kπ或x= +2kπ(k∈Z)时,函数取得最大值,ymax= ;当sin x=-1,即x= +2kπ(k∈Z)时,函数取得最小值,ymin=- - .
2.设f(x)=asin x+b的最大值是1,最小值是-3,试确定g(x)=b2sin x+a2的最大值.【解析】由题意,a≠0,当a>0时, 所以 此时g(x)=sin x+4的最大值为5.当a<0时, 所以 此时g(x)=sin x+4的最大值为5.综上知g(x)的最大值为5.
备选类型 正弦函数图象与性质的应用(直观想象、数学运算)【典例】1.函数f(x)= -sin x在区间[0,2π]上的零点个数为( ) A.1B.2C.3D.42.求函数y= 的定义域、值域和零点.【思路导引】1.转化为函数图象的交点个数判断.2.按照相关的概念列式,结合不等式、方程求解.
【解析】1.选B.令f(x)= -sin x=0,即 =sin x,如图所示.函数y= 与y=sin x在[0,2π]上有两个交点,故函数f(x)= -sin x有两个零点.
2.令 -2sin x≥0,即sinx≤ ,解得 +2kπ≤x≤ +2kπ,k∈Z,所以函数的定义域为 ,k∈Z.因为-1≤sin x≤ ,所以0≤ -2sin x≤ +2,所以0≤ ≤ ,故函数的值域为 .令y= =0,解得x= +2kπ或x= π+2kπ,k∈Z.
【解题策略】关于正弦函数性质、图象的应用(1)周期性的应用:正弦函数是周期函数,可以先研究其在一个周期内的性质,再推广到定义域内.(2)奇偶性的应用:先确定函数的奇偶性,只研究函数在[0,+∞)上的性质,再利用奇偶函数的性质推广到(-∞,0]上.(3)数形结合的应用:将问题转化为正弦函数与其他初等函数图象间的关系,利用图象解决问题.
【跟踪训练】1.(2020·福州高一检测)函数y= 的定义域为( )
【解析】选D.要使函数有意义,则2sin(π-2x)-1≥0,即sin2x≥ ,则2kπ+ ≤2x≤2kπ+ ,k∈Z,则kπ+ ≤x≤kπ+ ,k∈Z,即函数的定义域为 .
2.函数f(x)=sin x- 的零点个数是( )A.4B.5C.6D.7【解析】选D.令f(x)=sin x- =0,即sin x= ,令y1=sin x,y2= ,在同一坐标系内分别作出y1,y2的图象如图. 由图象可知图象有7个交点,即函数有7个零点.
【补偿训练】求方程sin x=lg x的解的个数.【解析】建立平面直角坐标系xOy,先用五点法画出函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象,再向右连续平移2π个单位,得到y=sin x的图象.描出点(1,0),(10,1),并用光滑曲线连接得到y=lg x的图象,如图所示.由图象可知方程sin x=lg x的解有3个.
1.(教材二次开发:练习改编)函数y=2-sin x在______上单调递增,在区间________上单调递减.当x=______时,y取最大值______,当x=________时,y取最小值________. 【解析】函数y=2-sin x的单调递增区间是函数y=sin x的单调递减区间即 (k∈Z),同理可得单调递减区间是 (k∈Z),当x=2kπ- ,k∈Z时,y取最大值3.当x=2kπ+ ,k∈Z时,y取最小值1.
答案: (k∈Z) (k∈Z) 2kπ- ,k∈Z 3 2kπ+ ,k∈Z 1
2.已知a∈R,函数f(x)=sin x-|a|,x∈R为奇函数,则a等于________. 【解析】定义域x∈R,因为f(-x)=sin(-x)-|a|=-sin x-|a|,又f(x)=-f(-x),所以sin x-|a|=sin x+|a|,所以|a|=0,即a=0.答案:0
3.用五点法画出函数y=-2sin x在区间[0,2π]上的简图.【解析】列表:
描点、连线得y=-2sin x的图象如图.
七 正弦函数的图象与性质再认识【基础通关——水平一】 (15分钟 30分)1.以下对正弦函数y=sin x的图象描述不正确的是( )A.在x∈[2kπ,2kπ+2π](k∈Z)时的图象形状相同,只是位置不同B.介于直线y=1与直线y=-1之间C.关于x轴对称D.与y轴仅有一个交点
【解析】选C.由正弦函数y=sin x在x∈[2kπ,2kπ+2π](k∈Z)时的图象可知C项不正确.
2.不等式sin x≥ ,x∈(0,2π)的解集为( )
【解析】选B.因为sin x≥ ,x∈(0,2π),结合y=sin x的图象知 ≤x≤ ,故不等式sin x≥ 的解集为 .
3.函数y=sin x,x∈ ,则y的范围是( )A.[-1,1] B. C. D. 【解析】选C.当x= 时,y取最小值 ,当x= 时y取最大值1.
4.函数y= 的定义域为( )A.[0,π] B.{第一或第二象限的角}C.{x|2kπ≤x≤(2k+1)π,k∈Z}D.(0,π)【解析】选C.要使函数y= 有意义,则需sin x≥0,由y=sin x的图象可得{x|2kπ≤x≤(2k+1)π,k∈Z}.
5.函数y=-2sin x+10取最小值时,自变量x的集合是________. 【解析】由题意知y=-2sin x+10取最小值,就是sin x取最大值,即x= +2kπ,k∈Z.答案:
6.求函数y=(sin x-1)2+2的最大值和最小值,并说出取得最大值和最小值时相应的x的值.【解析】设t=sin x,则有y=(t-1)2+2,且t∈[-1,1],在闭区间[-1,1]上,当t=-1时,函数y=(t-1)2+2取得最大值(-1-1)2+2=6.由t=sin x=-1,得x=2kπ- (k∈Z),即当x=2kπ- (k∈Z)时,函数y=(sin x-1)2+2取得最大值6.在闭区间[-1,1]上,
当t=1时,函数y=(t-1)2+2取得最小值,最小值为2.由t=sin x=1,得x=2kπ+ (k∈Z),即当x=2kπ+ (k∈Z)时,函数y=(sin x-1)2+2取得最小值2.
【能力进阶——水平二】(30分钟 60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.已知a= sin 59°,b=sin 15°+cs 15°,c=2 sin 31°·cs 31°,则实数a,b,c的大小关系是( )A.a
【解析】选C.注意图象所对应的函数值的正负,可排除选项A,D.当x∈(0,π)时,sin|x|>0,而图中显然小于零,因此排除选项B.
3.已知函数f(x)=2sin x,对任意的x∈R都有f(x1)≤f(x)≤f(x2),则|x1-x2|的最小值为( )A. B. C.πD.2π【解析】选C.由不等式f(x1)≤f(x)≤f(x2)对任意x∈R恒成立,不难发现f(x1),f(x2)分别为f(x)的最小值和最大值,故|x1-x2|的最小值为函数f(x)=2sin x的半个周期.因为f(x)=2sin x的周期为2π,所以|x1-x2|的最小值为π.
4.设函数y=sin x的定义域为[m,n],值域为 ,令t=n-m,则t的最大值与最小值的和为( )A.2πB. C.πD.
【解析】选A.因为函数y=sin x的定义域为[m,n],值域为 ,结合正弦函数y=sin x的图象与性质,不妨取m=- ,n= ,此时n-m取得最大值为 ,取m=- ,n= ,n-m取得最小值为 ,则t的最大值与最小值的和为2π.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.已知函数f(x)= ·cs x,则下列说法正确的是( )A.f(x)的最小正周期为πB.f(x)的图象关于 中心对称C.f(x)在区间 上单调递增D.f(x)的值域为[-1,1]
【解析】选BC.因为函数f(x)= ·cs x= 画出函数f(x)的图象,如图所示:f(x)的最小正周期是2π,根据f(x)的图象,f(x)的图象关于 中心对称,f(x)在区间 上单调递增,f(x)的值域为(-1,1).
6.函数f(x)=sin x+2|sin x|,x∈[0,2π]的图象与直线y=k的交点个数可能是( )A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】选ABCD.f(x)=sin x+2|sin x|= 在同一坐标系内分别作出函数y=f(x)与y=k的图象,如图所示,当k>3或k<0时,两图象无交点;当k=3时,两图象有1个交点;当1
【解析】(1)若x∈ ,则-x∈ .因为f(x)是偶函数,所以f(x)=f(-x)=sin(-x)=-sin x.若x∈ ,则π+x∈ ,因为f(x)是最小正周期为π的周期函数,所以f(x)=f(π+x)=sin(π+x)=-sin x,所以x∈[-π,0],f(x)=-sin x.
(2)函数f(x)在[-π,π]上的函数简图,如图所示:(3)x∈[0,π],sin x≥ ,可得 ≤x≤ ,函数周期为π,因此x的取值范围是kπ+ ≤x≤kπ+ ,k∈Z.
10.若函数y=a-bsin x的最大值为 ,最小值为- ,求函数f(x)=-4absin x的最值.【解】①当b>0时,由题意,得 解得 所以f(x)=-2sin x,此时f(x)的最大值为2,最小值为-2.
②当b<0时,由题意,得 解得 所以f(x)=2sin x,此时f(x)的最大值为2,最小值为-2.
【创新迁移】1.对于函数f(x)=asin(π-x)+bx+c(其中a,b∈R,c∈Z),选取a,b,c的一组值计算f(1)和f(-1),所得出的正确结果一定不可能是( )A.4和6B.3和1C.2和4D.1和2
【解析】选D.因为sin(π-x)=sin x,所以f(x)=asin x+bx+c,则f(1)=asin 1+b+c,f(-1)=asin(-1)+b×(-1)+c=-asin 1-b+c,所以f(-1)=-f(1)+2c.①把f(1)=4,f(-1)=6代入①式,得c=5∈Z,故排除A;把f(1)=3,f(-1)=1代入①式,得c=2∈Z,故排除B;把f(1)=2,f(-1)=4代入①式,得c=3∈Z,故排除C;把f(1)=1,f(-1)=2代入①式,得c= ∉Z.
2.已知函数f(x)=-sin2x+sin x+a,若1≤f(x)≤ 对一切x∈R恒成立,求实数a的取值范围.
【解析】令t=sin x,t∈[-1,1],则原函数可化为g(t)=-t2+t+a=- +a+ .当t= 时,g(t)max=a+ ,即f(x)max=a+ ;当t=-1时,g(t)min=a-2,即f(x)min=a-2.故对于一切x∈R,函数f(x)的值域为 .所以 解得3≤a≤4.
1.正弦函数的图象(1)画正弦函数图象的步骤可以归纳如下:第一步:如图所示,在直角坐标系的x轴的负半轴上任取一点O1,以O1为圆心作单位圆;
第二步:从圆O1与x轴的交点A起把圆弧分成12等份;第三步:过圆O1上各分点分别作x轴的垂线,得到对应于角0, , , ,…,2π等分点的正弦值;第四步:相应地,再把x轴上从0到2π这一段分成12等份;第五步:再把角x所对应的正弦线向右平移,使它的起点与x轴上表示数x的点重合;第六步:最后用光滑曲线把这些正弦线的终点连接起来,就得到了正弦函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象. (2)五点法作正弦函数的图象,五个点为.(0,0), ,(π,0), ,(2π,0).
2.正弦函数的性质(1)定义域:R.(2)周期性:最小正周期为2π.(3)单调性:单调增区间: (k∈Z),单调减区间: (k∈Z).
(4)值域:[-1,1].当且仅当x=2kπ+ (k∈Z)时,正弦函数y=sin x取得最大值1;当且仅当x=2kπ- (k∈Z)时,正弦函数y=sin x取得最小值-1.(5)奇偶性:正弦函数y=sin x在R上是奇函数.(6)对称性:对称轴x=kπ+ ,k∈Z,对称中心(kπ,0),k∈Z.
【思考】(1)-2π是正弦函数的周期吗?提示:是.2kπ(k∈Z,k≠0)都是它的周期.(2)正弦函数的对称轴之间的距离有什么特点?对称中心呢?提示:对称轴之间的距离差了π的整数倍.对称中心之间也相差了π的整数倍.
【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)(1)正弦函数在区间 上是递增的.( )(2)若存在一个常数T,使得对定义域内的每一个x,都有f(x+T)=f(x),则函数f(x)为周期函数.( )(3)函数f(x)=sin x-1的一个对称中心为(π,-1).( )
提示:(1)×.正弦函数在区间 上先递增,再递减.(2)×.应为非零常数T.(3)√.因为正弦函数的一个对称中心为(π,0),函数f(x)=sin x-1即将正弦函数向下平移一个单位,故一个对称中心为(π,-1).
2.函数y=sin x是( ) A.增函数B.减函数C.偶函数D.周期函数【解析】选D.由正弦曲线y=sin x的图象,可得函数y=sin x的增区间是 (k∈Z),减区间是 (k∈Z),函数是奇函数,且是周期为2π的周期函数.
3.(教材二次开发:例题改编)下列关系式中正确的是( )A.sin 11°
类型一 正弦函数的图象(直观想象、数学运算)【典例】 用五点法作出函数y=1-2sin x,x∈[-π,π]的简图,并回答下列问题:(1)观察函数图象,写出满足下列条件的x的区间.①y>1;②y<1.(2)若直线y=a与y=1-2sin x有两个交点,求a的取值范围;(3)求函数y=1-2sin x的最大值,最小值及相应的自变量的值.
【思路导引】用五点法作图.再根据函数y=1-2sin x,x∈[-π,π]的简图解题.【解析】按五个关键点列表
描点连线得:(1)由图象可知函数y=1-2sin x在y=1上方的部分y>1,在y=1下方的部分y<1,所以当x∈(-π,0)时,y>1,当x∈(0,π)时,y<1.(2)如图,当直线y=a与y=1-2sin x有两个交点时,1
【跟踪训练】用“五点法”画出函数y= +sin x,x∈[0,2π]上的图象.【解析】取值列表如下:
描点,并将它们用光滑的曲线连接起来.(如图)
类型二 正弦函数的单调性及应用(直观想象、数学运算)【典例】1.比较下列各组数的大小:(1)sin 与sin ;(2)sin 与cs .2.求函数y=-2sin x-1的单调递增区间.【思路导引】1.利用诱导公式将各个角化到一个单调区间,利用正弦函数的单调性比较.2.由题意,需求正弦函数y=sin x的单调递减区间.
【解析】1.(1)因为- <- <- <0,正弦函数y=sin x在区间 上是增函数,所以sin >sin .
(2)因为cs =sin ,又 ,而正弦函数y=sin x在 上是减函数所以sin >sin ,即sin >cs .2.因为y=-2sin x-1,所以函数y=-2sin x-1的递增区间就是函数y=sin x的递减区间.所以 +2kπ≤x≤ +2kπ(k∈Z),所以函数y=-2sin x-1的递增区间为 (k∈Z).
【解题策略】利用正弦函数单调性比较大小的步骤(1)一定:利用诱导公式把角化到同一单调区间上.(2)二比较:利用函数的单调性比较大小.
【跟踪训练】1.函数y=9-sin x的单调递增区间是( )A. (k∈Z)B. (k∈Z)C. (k∈Z)D. (k∈Z)【解析】选B.y=9-sin x的单调递增区间与y=sin x的单调递减区间相同.
2.比较大小:(1)sin 250°与sin 260°;(2)sin 与sin .【解析】(1)sin 250°=sin(180°+70°)=-sin 70°,sin 260°=sin(180°+80°)=-sin 80°,因为0°<70°<80°<90°,且函数y=sin x,x∈ 是增函数,所以sin 70°
(2)sin =-sin =-sin =-sin =-sin .sin =-sin =-sin .因为0< < < ,且函数y=sin x,x∈ 是增函数,所以sin
2.求函数f(x)=sin(π+x)+sin2x-1的最大值和最小值,并求出取得最大值和最小值时x的值.【思路导引】1.根据正弦函数的值域,分情况表示出最大值和最小值,通过解方程组求a,b.2.利用诱导公式、同角三角函数的关系统一成正弦,还原求最值.
【解析】1.选AC.因为f(x)=2asin x+a+b的定义域是 ,所以0≤sin x≤1,当a<0时,由题意 所以 当a>0时,由题意 解得
2.f(x)=sin(π+x)+sin2x-1=sin2x-sin x-1,令t=sin x,则y=t2-t-1= - ,t∈ .因为-1≤t≤1,所以- ≤y≤1,所以ymax=1,此时sin x=-1,x=- +2kπ,k∈Z;所以ymin=- ,此时sin x= ,x= +2kπ,k∈Z或x= +2kπ,k∈Z.
【解题策略】与正弦函数有关的函数的值域(或最值)的求法(1)求形如y=asin x+b的函数的最值或值域时,可利用正弦函数的有界性(-1≤sin x≤1)求解.(2)求形如y=asin2x+bsin x+c,a≠0,x∈R的函数的值域或最值时,可以通过换元,令t=sin x,将原函数转化为关于t的二次函数,利用配方法求值域或最值.求解过程中要注意正弦函数的有界性.
【跟踪训练】1.求使下列函数取得最大值和最小值时的x值,并求出函数的最大值和最小值:(1)y=2sin x-1;(2)y=-sin2x+ sin x+ .
【解析】(1)由-1≤sin x≤1知,当x= +2kπ,k∈Z时函数y=2sin x-1取得最大值,ymax=1;当x= π+2kπ,k∈Z时函数y=2sin x-1取得最小值,ymin=-3.(2)y=-sin2x+ sin x+ = ,因为-1≤sin x≤1,所以当sin x= ,即x= +2kπ或x= +2kπ(k∈Z)时,函数取得最大值,ymax= ;当sin x=-1,即x= +2kπ(k∈Z)时,函数取得最小值,ymin=- - .
2.设f(x)=asin x+b的最大值是1,最小值是-3,试确定g(x)=b2sin x+a2的最大值.【解析】由题意,a≠0,当a>0时, 所以 此时g(x)=sin x+4的最大值为5.当a<0时, 所以 此时g(x)=sin x+4的最大值为5.综上知g(x)的最大值为5.
备选类型 正弦函数图象与性质的应用(直观想象、数学运算)【典例】1.函数f(x)= -sin x在区间[0,2π]上的零点个数为( ) A.1B.2C.3D.42.求函数y= 的定义域、值域和零点.【思路导引】1.转化为函数图象的交点个数判断.2.按照相关的概念列式,结合不等式、方程求解.
【解析】1.选B.令f(x)= -sin x=0,即 =sin x,如图所示.函数y= 与y=sin x在[0,2π]上有两个交点,故函数f(x)= -sin x有两个零点.
2.令 -2sin x≥0,即sinx≤ ,解得 +2kπ≤x≤ +2kπ,k∈Z,所以函数的定义域为 ,k∈Z.因为-1≤sin x≤ ,所以0≤ -2sin x≤ +2,所以0≤ ≤ ,故函数的值域为 .令y= =0,解得x= +2kπ或x= π+2kπ,k∈Z.
【解题策略】关于正弦函数性质、图象的应用(1)周期性的应用:正弦函数是周期函数,可以先研究其在一个周期内的性质,再推广到定义域内.(2)奇偶性的应用:先确定函数的奇偶性,只研究函数在[0,+∞)上的性质,再利用奇偶函数的性质推广到(-∞,0]上.(3)数形结合的应用:将问题转化为正弦函数与其他初等函数图象间的关系,利用图象解决问题.
【跟踪训练】1.(2020·福州高一检测)函数y= 的定义域为( )
【解析】选D.要使函数有意义,则2sin(π-2x)-1≥0,即sin2x≥ ,则2kπ+ ≤2x≤2kπ+ ,k∈Z,则kπ+ ≤x≤kπ+ ,k∈Z,即函数的定义域为 .
2.函数f(x)=sin x- 的零点个数是( )A.4B.5C.6D.7【解析】选D.令f(x)=sin x- =0,即sin x= ,令y1=sin x,y2= ,在同一坐标系内分别作出y1,y2的图象如图. 由图象可知图象有7个交点,即函数有7个零点.
【补偿训练】求方程sin x=lg x的解的个数.【解析】建立平面直角坐标系xOy,先用五点法画出函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象,再向右连续平移2π个单位,得到y=sin x的图象.描出点(1,0),(10,1),并用光滑曲线连接得到y=lg x的图象,如图所示.由图象可知方程sin x=lg x的解有3个.
1.(教材二次开发:练习改编)函数y=2-sin x在______上单调递增,在区间________上单调递减.当x=______时,y取最大值______,当x=________时,y取最小值________. 【解析】函数y=2-sin x的单调递增区间是函数y=sin x的单调递减区间即 (k∈Z),同理可得单调递减区间是 (k∈Z),当x=2kπ- ,k∈Z时,y取最大值3.当x=2kπ+ ,k∈Z时,y取最小值1.
答案: (k∈Z) (k∈Z) 2kπ- ,k∈Z 3 2kπ+ ,k∈Z 1
2.已知a∈R,函数f(x)=sin x-|a|,x∈R为奇函数,则a等于________. 【解析】定义域x∈R,因为f(-x)=sin(-x)-|a|=-sin x-|a|,又f(x)=-f(-x),所以sin x-|a|=sin x+|a|,所以|a|=0,即a=0.答案:0
3.用五点法画出函数y=-2sin x在区间[0,2π]上的简图.【解析】列表:
描点、连线得y=-2sin x的图象如图.
七 正弦函数的图象与性质再认识【基础通关——水平一】 (15分钟 30分)1.以下对正弦函数y=sin x的图象描述不正确的是( )A.在x∈[2kπ,2kπ+2π](k∈Z)时的图象形状相同,只是位置不同B.介于直线y=1与直线y=-1之间C.关于x轴对称D.与y轴仅有一个交点
【解析】选C.由正弦函数y=sin x在x∈[2kπ,2kπ+2π](k∈Z)时的图象可知C项不正确.
2.不等式sin x≥ ,x∈(0,2π)的解集为( )
【解析】选B.因为sin x≥ ,x∈(0,2π),结合y=sin x的图象知 ≤x≤ ,故不等式sin x≥ 的解集为 .
3.函数y=sin x,x∈ ,则y的范围是( )A.[-1,1] B. C. D. 【解析】选C.当x= 时,y取最小值 ,当x= 时y取最大值1.
4.函数y= 的定义域为( )A.[0,π] B.{第一或第二象限的角}C.{x|2kπ≤x≤(2k+1)π,k∈Z}D.(0,π)【解析】选C.要使函数y= 有意义,则需sin x≥0,由y=sin x的图象可得{x|2kπ≤x≤(2k+1)π,k∈Z}.
5.函数y=-2sin x+10取最小值时,自变量x的集合是________. 【解析】由题意知y=-2sin x+10取最小值,就是sin x取最大值,即x= +2kπ,k∈Z.答案:
6.求函数y=(sin x-1)2+2的最大值和最小值,并说出取得最大值和最小值时相应的x的值.【解析】设t=sin x,则有y=(t-1)2+2,且t∈[-1,1],在闭区间[-1,1]上,当t=-1时,函数y=(t-1)2+2取得最大值(-1-1)2+2=6.由t=sin x=-1,得x=2kπ- (k∈Z),即当x=2kπ- (k∈Z)时,函数y=(sin x-1)2+2取得最大值6.在闭区间[-1,1]上,
当t=1时,函数y=(t-1)2+2取得最小值,最小值为2.由t=sin x=1,得x=2kπ+ (k∈Z),即当x=2kπ+ (k∈Z)时,函数y=(sin x-1)2+2取得最小值2.
【能力进阶——水平二】(30分钟 60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.已知a= sin 59°,b=sin 15°+cs 15°,c=2 sin 31°·cs 31°,则实数a,b,c的大小关系是( )A.a
【解析】选C.注意图象所对应的函数值的正负,可排除选项A,D.当x∈(0,π)时,sin|x|>0,而图中显然小于零,因此排除选项B.
3.已知函数f(x)=2sin x,对任意的x∈R都有f(x1)≤f(x)≤f(x2),则|x1-x2|的最小值为( )A. B. C.πD.2π【解析】选C.由不等式f(x1)≤f(x)≤f(x2)对任意x∈R恒成立,不难发现f(x1),f(x2)分别为f(x)的最小值和最大值,故|x1-x2|的最小值为函数f(x)=2sin x的半个周期.因为f(x)=2sin x的周期为2π,所以|x1-x2|的最小值为π.
4.设函数y=sin x的定义域为[m,n],值域为 ,令t=n-m,则t的最大值与最小值的和为( )A.2πB. C.πD.
【解析】选A.因为函数y=sin x的定义域为[m,n],值域为 ,结合正弦函数y=sin x的图象与性质,不妨取m=- ,n= ,此时n-m取得最大值为 ,取m=- ,n= ,n-m取得最小值为 ,则t的最大值与最小值的和为2π.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.已知函数f(x)= ·cs x,则下列说法正确的是( )A.f(x)的最小正周期为πB.f(x)的图象关于 中心对称C.f(x)在区间 上单调递增D.f(x)的值域为[-1,1]
【解析】选BC.因为函数f(x)= ·cs x= 画出函数f(x)的图象,如图所示:f(x)的最小正周期是2π,根据f(x)的图象,f(x)的图象关于 中心对称,f(x)在区间 上单调递增,f(x)的值域为(-1,1).
6.函数f(x)=sin x+2|sin x|,x∈[0,2π]的图象与直线y=k的交点个数可能是( )A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】选ABCD.f(x)=sin x+2|sin x|= 在同一坐标系内分别作出函数y=f(x)与y=k的图象,如图所示,当k>3或k<0时,两图象无交点;当k=3时,两图象有1个交点;当1
【解析】(1)若x∈ ,则-x∈ .因为f(x)是偶函数,所以f(x)=f(-x)=sin(-x)=-sin x.若x∈ ,则π+x∈ ,因为f(x)是最小正周期为π的周期函数,所以f(x)=f(π+x)=sin(π+x)=-sin x,所以x∈[-π,0],f(x)=-sin x.
(2)函数f(x)在[-π,π]上的函数简图,如图所示:(3)x∈[0,π],sin x≥ ,可得 ≤x≤ ,函数周期为π,因此x的取值范围是kπ+ ≤x≤kπ+ ,k∈Z.
10.若函数y=a-bsin x的最大值为 ,最小值为- ,求函数f(x)=-4absin x的最值.【解】①当b>0时,由题意,得 解得 所以f(x)=-2sin x,此时f(x)的最大值为2,最小值为-2.
②当b<0时,由题意,得 解得 所以f(x)=2sin x,此时f(x)的最大值为2,最小值为-2.
【创新迁移】1.对于函数f(x)=asin(π-x)+bx+c(其中a,b∈R,c∈Z),选取a,b,c的一组值计算f(1)和f(-1),所得出的正确结果一定不可能是( )A.4和6B.3和1C.2和4D.1和2
【解析】选D.因为sin(π-x)=sin x,所以f(x)=asin x+bx+c,则f(1)=asin 1+b+c,f(-1)=asin(-1)+b×(-1)+c=-asin 1-b+c,所以f(-1)=-f(1)+2c.①把f(1)=4,f(-1)=6代入①式,得c=5∈Z,故排除A;把f(1)=3,f(-1)=1代入①式,得c=2∈Z,故排除B;把f(1)=2,f(-1)=4代入①式,得c=3∈Z,故排除C;把f(1)=1,f(-1)=2代入①式,得c= ∉Z.
2.已知函数f(x)=-sin2x+sin x+a,若1≤f(x)≤ 对一切x∈R恒成立,求实数a的取值范围.
【解析】令t=sin x,t∈[-1,1],则原函数可化为g(t)=-t2+t+a=- +a+ .当t= 时,g(t)max=a+ ,即f(x)max=a+ ;当t=-1时,g(t)min=a-2,即f(x)min=a-2.故对于一切x∈R,函数f(x)的值域为 .所以 解得3≤a≤4.
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