高中数学北师大版讲义(必修二)第30讲6.1基本立体图形(8知识点+5题型+强化训练)(学生版+解析)特训

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6.1基本立体图形 知识点01 构成几何体的基本元素 1、构成空间几何体的基本元素有：点、线、面. 2、用运动的观点理解空间基本图形之间的关系：点动成线、线动成面、面动成体. 3、点、线、面的表示 如图所示的长方体可以表示为长方体 ABCD-A1B1C1D1，它共有8 个顶点，可表示为A，B，C，D，A1，B1，C1，D1，12条棱可以表示为 AB,BC,CD,DA,AA1,BB1,CC1,DD1,AB1,B1C1,C1D1,D1A1，6 个面可以表示为平面ABCD，平面 ABB1A1，平面 BCC1B1，平面A1B1C1D1，平面CDD1C，平面ADD1A1。 【即学即练1】（22-23高一下·全国·课后作业）空间中构成几何体的基本元素是 . 【答案】点、线、面 【分析】根据空间几何体的结构特质，即可求解. 【详解】根据空间几何体的结构特征知，构成几何体的基本元素为点、线、面. 故答案为：点、线、面. 知识点02 棱柱 1、定义：一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱. 2、图示及表示：记作棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1 3、相关概念 （1）底面：有两个互相平行的面叫做棱柱的底面，它们是全等的多边形， （2）侧面：其余各面叫做棱柱的侧面，它们都是平行四边形; （3）侧棱：相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱; （4）顶点：侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点. （5）高：过棱柱一个底面上的任意一个顶点，作另一个底面的垂线所得到的线段（或它的长度）. （6）侧面积：棱柱所有侧面的面积之和. 4、棱柱的图形及名称 底面：如图中的多边形 ABCDEF和多边形A1B1C1D1E1F1， 侧面：如图中的四边形ABB1A1，BCC1B1，CDD1C1等， 侧棱：如图中的线段AA1，BB1，CC1，DD1，EE1，FF1等， 顶点：如图中的点A，A1，B，B1，C，C1，D，D1等 【即学即练2】（2024高一下·全国·专题练习）下列说法正确的是（    ） A．棱柱中相邻两个面的公共边叫做侧棱 B．棱柱中至少有两个面的形状完全相同 C．棱柱中两个互相平行的面一定是棱柱的底面 D．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱 【答案】B 【分析】根据棱柱的结构特征，判断选项中的结论是否正确. 【详解】A错误，底面和侧面的公共边不是侧棱； B正确，根据棱柱的特征知，棱柱的两个底面一定是全等的，故棱柱中至少有两个面的形状完全相同； C错误，正六棱柱的两个相对侧面互相平行； D错误，“其余各面都是平行四边形”并不能保证“相邻两个四边形的公共边都互相平行”，如图所示的几何体就不是棱柱． 故选：B. 知识点03 棱锥 1、定义：一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥. 2、图形及表示：可记作：棱锥S-ABCD或者S-AC 3、相关概念 （1）底面：这个多边形面叫做棱锥的底面; （2）侧面：有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面; （3）侧棱：相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱; （4）顶点：各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点. （5）棱锥的高：过棱锥的顶点作棱锥底面的垂线，所得到的线段（或它的长度）. （6）棱锥的侧面积：棱锥所有侧面的面积之和． 注意：有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体不一定是棱锥， 如图.棱锥还需要满足各三角形有且只有一个公共顶点. 4、棱锥的分类： 按照棱锥底面多边形的边数，可以把棱锥分成三棱锥，四棱锥，五棱锥……… 5、正棱锥：  = 1 \* GB2 \* MERGEFORMAT ⑴定义：如果棱锥的底面是正多边形，且棱锥的顶点与底面中心的连线垂直于底面，则称这个棱锥为正棱锥．  = 2 \* GB2 \* MERGEFORMAT ⑵斜高：侧面等腰三角形底边上的高.  = 3 \* GB2 \* MERGEFORMAT ⑶特征：侧面都全等，而且都是等腰三角形，斜高也相等. 注意：底面为正多边形的棱锥叫做正棱锥，如正三棱锥，正四棱锥………. 【即学即练3】（2024高一下·全国·专题练习）下列说法中正确的是（　　） A．各侧棱都相等的棱锥为正棱锥 B．各侧面都是面积相等的等腰三角形的棱锥为正棱锥 C．各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥为正棱锥 D．底面是正多边形且各侧面是全等三角形的棱锥为正棱锥 【答案】D 【分析】根据题意，结合正棱锥的定义和几何结构特征，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，各侧棱都相等，但无法保证底面为正多边形，所以A错误； 对于B中，各侧面都是面积相等的等腰三角形，但无法保证各个等腰三角形全等且腰长均为侧棱长，所以B错误； 对于C中，各侧面都是全等的等腰三角形，但无法保证等腰三角形的腰长为侧棱长，所以C错误； 对于D中，底面是正多边形，各侧面是全等三角形，则可以保证顶点在底面的射影为底面中心，满足正棱锥定义，所以D正确. 故选：D. 知识点04 棱台 1、定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，我们把底面和截面之间那部分多面体叫做棱台. 2、图形及表示：可记作：棱台A’B’C’D’-ABCD 3、相关概念 （1）底面：原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面; （2）侧面：其他各面叫做棱台的侧面; （3）侧棱：相邻侧面的公共边叫做棱台的侧棱; （4）顶点：侧面与底面的公共顶点叫做棱台的顶点. （5）棱台的高:过棱台一个底面上的任意一个顶点，作另一个底面的垂线所得到的线段（或它的长度）. （6）棱台的侧面积:棱台所有侧面的面积之和． 4、棱台的分类：由三棱锥、四棱锥、五棱锥…截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台…… 5、正棱台 （1）定义：由正棱锥截得的棱台. （2）高：上下两底面中心的连线. （3）斜高：侧面等腰梯形的高. （4）特征：侧面都全等，而且都是等腰梯形，斜高也相等. 【即学即练4】（多选）（2024高一下·全国·专题练习）（多选）下列说法不正确的是（　　） A．棱台的两个底面相似 B．棱台的侧棱长都相等 C．棱锥被平面截成的两部分是棱锥和棱台 D．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形 【答案】BCD 【分析】根据题意，由棱台、棱锥、棱柱的定义，依次分析选项，即可得到答案. 【详解】由棱台是用平行于底面的平面截棱锥而得，知A正确，B，C不正确；棱柱的侧棱都相等且互相平行，且侧面是平行四边形，但侧面并不一定全等，D不正确. 故选：BCD 知识点05 圆柱 1、定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周所围成的旋转体叫做圆柱 2、图示： 3、相关概念： 轴：旋转轴叫做圆柱的轴； 底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面； 侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面； 圆柱侧面的母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的边； 柱体：圆柱和棱柱统称为柱体 4、侧面展开图： 5、结构特征：  = 1 \* GB3 ①两个底面互相平行，  = 2 \* GB3 ②有无数条母线，且长度相等，都与轴平行，轴截面是全等的矩形. 6、轴截面：在旋转体中，通过轴的平面所得到的截面简称为轴截面. 【即学即练5】（23-24高二下·江西抚州·期中）中国古代建筑中的圆柱，多是根部略粗，顶部略细，这种做法称为“收分”，柱子做出收分，既稳定又轻巧．已知某古代建筑的一根圆柱，每增高1.2m，直径收分1cm，若该柱子柱根直径为30cm，柱高6m，则柱头直径为（   ） A．24cm B．25cm C．26cm D．27cm 【答案】B 【分析】根据比值关系即可求解. 【详解】柱头直径为30-61.2×1=25cm． 故选：B． 知识点06 圆锥 1、定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 2、图示： 3、相关概念： 轴：旋转轴叫做圆锥的轴； 底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面； 侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面； 母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边； 锥体：棱锥和圆锥统称锥体 4、侧面展开图： 5、结构特征：  = 1 \* GB3 ①底面是圆面，  = 2 \* GB3 ②有无数条母线，长度相等且交于一点，平行于底面的截面是与底面大小不同的圆，  = 3 \* GB3 ③轴截面是全等的等腰三角形. 6、轴截面：在旋转体中，通过轴的平面所得到的截面简称为轴截面. 【即学即练6】（23-24高三上·四川·期末）若某圆锥的底面半径r=1，且底面的周长等于母线长，则该圆锥的高为（    ） A．4π2-1 B．4π-1 C．2π2-1 D．4π2+1 【答案】A 【分析】圆锥的高和底面半径与母线长，满足勾股定理，再由底面的周长等于母线长，列方程求圆锥的高. 【详解】设该圆锥的高为h，依题意有2πr=r2+h2，则4π2r2=r2+h2， 解得h=r4π2-1=4π2-1. 故选：A 知识点07 圆台 1、定义：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间部分叫做圆台 2、图示： 3、相关概念： 轴：圆锥的轴； 底面：圆锥的底面和截面； 侧面：圆锥的侧面在底面与截面之间的部分； 母线：圆锥的母线在底面与截面之间的部分； 台体：棱台和圆台统称为台体 4、侧面展开图： 5、结构特征：  = 1 \* GB3 ①上、下底面是平行且大小不同的圆面，母线的延长线交于一点，  = 2 \* GB3 ②平行于底面的截面是与两底面大小都不同的圆，  = 3 \* GB3 ③轴截面是全等的等腰梯形. 6、轴截面：在旋转体中，通过轴的平面所得到的截面简称为轴截面. 【即学即练7】（2024高一下·全国·专题练习）把一个圆锥截成圆台，已知圆台上、下底面的半径之比为1:4，母线长为9，则圆锥的母线长是 ． 【答案】12 【分析】根据圆台的几何特征利用三角形相似即可求得结果. 【详解】设圆台的上底面半径为r，圆锥的母线长为l， 则圆台的下底面的半径为4r， 作出圆锥的轴截面如图，则△SO'A'∽△SOA， 所以SA'SA=O'A'OA，即l-9l=r4r． 解得l=12，即圆锥的母线长为12． 故答案为：12.    知识点08 球 1、定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球 2、图示： 3、相关概念： （1）球面 定义1：一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面. 定义2：球面可以看成空间中到一个定点的距离等于定长的点的集合. 球心：形成球面的半圆的圆心； 半径：连接球面上一点和球心的线段. 直径：连接球面上两点并且通过球心的线段. 大圆：球面被经过球心的平面截得的圆. （6）小圆：球面被不经过球心的平面截得的圆. 【即学即练8】（23-24高二上·四川乐山·期末）一个几何体，它的轴截面一定是圆面，则这个几何体是（   ） A．圆柱 B．圆锥 C．圆台 D．球 【答案】D 【分析】 根据各选项中旋转体的定义与性质逐项判断. 【详解】对于A：圆柱的轴截面是矩形，故A不符合题意； 对于B：由于圆锥的轴截面是一个等腰三角形，故B不符合题意； 对于C，圆台轴截面是等腰梯形，故C不符合题意； 对于D：用任意的平面去截球，得到的截面均为圆，故D符合题意． 故选：D． 【题型一：棱柱的结构特征】 例1．（2023·全国·高一专题练习）“棱柱有相邻两个侧面是矩形”是“该棱柱为直棱柱”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要 D．既非充分又非必要条件 【答案】C 【分析】利用棱柱的结构特征和充分，必要条件的定义进行求解 【详解】若棱柱有相邻两个侧面是矩形，则两侧面的交线必定垂直于底面，所以该棱柱为直棱柱，满足充分性； 若棱柱为直棱柱，则棱柱有相邻两个侧面是矩形，满足必要性； 故“棱柱有相邻两个侧面是矩形”是“该棱柱为直棱柱”的充要条件， 故选:C. 变式1-1．（2023·高一单元测试）如图所示的是一个五棱柱，则下列判断错误的是（    ） A．该几何体的侧面是平行四边形 B．该几何体有七个面 C．该几何体恰有十二条棱 D．该几何体恰有十个顶点 【答案】C 【分析】根据棱柱的定义及性质判断即可. 【详解】解：根据棱柱的定义可知，该几何体的侧面是平行四边形，故A正确； 该五棱柱有七个面，十五条棱，十个顶点，故B、D正确，C错误； 故选：C 变式1-2．（2023·全国·高一专题练习）设M={正四棱柱}，P={直四棱柱}，N={长方体}，Q={正方体}，则它们之间的关系是______. 【答案】Q⊂M⊂N⊂P 【分析】根据题意，由正四棱柱，直四棱柱，长方体以及正方体的定义即可得到结果. 【详解】直四棱柱是底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱；长方体是底面为矩形的直四棱柱；正四棱柱是底面为正方形的直四棱柱；正方体是侧棱长与底面长相等的正四棱柱； 综上，可得Q⊂M⊂N⊂P 故答案为: Q⊂M⊂N⊂P 变式1-3．（2021·高二课时练习）记A为所有多面体组成的集合，B为所有棱柱组成的集合，C为所有直棱柱组成的集合，D为所有正棱柱组成的集合，写出集合A，B，C，D之间的关系. 【答案】D⊂C⊂B⊂A 【分析】根据多面体、棱柱、直棱柱、正棱柱的定义，分析即得解 【详解】由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体； 上下两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，这些面围成的几何体叫棱柱； 侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱； 底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱； 由多面体、棱柱、直棱柱、正棱柱的定义可知：D⊂C⊂B⊂A 【方法技巧与总结】 棱柱特征： 两底面互相平行且全等; 各侧面都是平行四边形; 各侧棱互相平行且相等. 【题型二：棱锥的结构特征】 例2．（2023·全国·高一专题练习）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E,F分别是A1B1，A1C1的中点，连接BE,EF,FC，试判断几何体A1EF-ABC是什么几何体，并指出它的底面与侧面. 【答案】几何体A1EF-ABC是三棱台.面ABC是下底面，面A1EF是上底面，面ABEA1，面BCFE和面ACFA1是侧面 【解析】根据题意以及三棱台的结构特征，可以猜想几何体A1EF-ABC是三棱台，再根据三棱台的定义证明即可，然后由三棱台定义可指出它的底面与侧面． 【详解】∵E,F分别是A1B1,A1C1的中点，且A1B1=AB，A1C1=AC，B1C1=BC， ∴A1EAB=A1FAC=EFBC=12. ∴△A1EF~△ABC，且AA1,BE,CF延长后交于一点. 又面A1B1C1与面ABC平行， ∴几何体A1EF-ABC是三棱台. 其中面ABC是下底面，面A1EF是上底面，面ABEA1，面BCFE和面ACFA1是侧面. 【点睛】本题主要考查三棱台的结构特征，以及利用三棱台定义判断几何体的形状，属于基础题． 变式2-1．（多选）（2022·全国·高一假期作业）在正棱锥中，侧面可为正三角形的是（    ） A．正四棱锥 B．正五棱锥 C．正六棱锥 D．正八棱锥 【答案】AB 【分析】根据正棱锥底面多边形的特点，假设侧面都是正三角形，分别求出底面外接圆的半径，再求出相应的棱锥的高，即可判断是否成立. 【详解】对于A正四棱锥，侧面为正三角形，所以侧棱长与底边长相等，设底边长为a, 则底面外接圆半径为22a，高为h=a2-(22a)2=22a， 满足要求，所以A正确； 对于B正五棱锥，侧面为正三角形，所以侧棱长与底边长相等， 设底边长为a，底面正五边形每个内角为108o， 则底面外接圆半径为r=a2cos54°0，满足要求，所以B正确； 对于C正六棱锥，侧面为正三角形，所以侧棱长与底边长相等，设底边长为a， 底面正六边形每个内角为120o，则底面外接圆半径为a， 高为h=a2-a2=0，不满足条件，所以C不正确； 对于D正八棱锥，侧面为正三角形，所以侧棱长与底边长相等，设底边长为a， 底面正八边形每个内角为135o，则底面外接圆半径为r=a2sin22.5°>a2sin30°=a， 高为h2=a2-(a2sin22.5°)20得不等式，分类取值即可. 【详解】（1）设足球有m个正五边形，则有32-m个正六边形， 足球的顶点n=5m+632-m3，棱数e=5m+632-m2， 由欧拉公式得5m+632-m3-5m+632-m2+32=2， 解得m=12，即此足球中有12个面为正五边形， 所以此足球的棱数e=5m+632-m2=90. （2）由n个顶点的凸多面体，其面数尽可能多，那么相当于每一个面尽可能均为三角形， 当棱数最多时，该凸多面体每一个面均为三角形，此时e=3f2，即f=23e， 又n-e+f=2，即n-e+23e=2，解得e=3n-6， 故n个顶点的凸多面体，至多有3n-6条棱. （3）设正多面体每个顶点有p条棱，每个面都是正q边形， 则此多面体棱数e=qf2=pn2，p,q≥3，即f=pnq， 由欧拉公式n-e+f=2，得n=4q2q+2p-qp， 所以2q+2p-qp>0，即1q+1p>12，即1p>12-1q≥12-13=16， 所以p