北师大版 (2019)必修 第二册4.2 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质评优课ppt课件

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1.正弦函数、余弦函数的基本性质根据正弦函数v=sin α和余弦函数u=cs α的定义,我们不难从单位圆看出它们具有以下性质:(1)定义域是R;(2)最大值是1,最小值是-1,值域是[-1,1];
(3)它们是周期函数,其周期是2kπ(k∈Z,k≠0),最小正周期为2π;(4)正弦函数v=sin α在区间 (k∈Z)上是增加的,在区间 (k∈Z)上是减少的.余弦函数u=cs α在区间[2kπ-π,2kπ](k∈Z)上是增加的,在区间[2kπ,2kπ+π](k∈Z)上是减少的.
【思考】　当α取何值时,正弦函数v=sin α取到最值?提示:当α=2kπ+ ,k∈Z时,正弦函数v=sin α取得最大值1;当α=2kπ- ,k∈Z时,正弦函数v=sin α取得最小值-1.
2.正弦函数、余弦函数在各象限的符号[注意]　按正值简记为:正弦一、二象限全为正;余弦偏在一、四中.
【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)(1)正弦函数v=sin α与余弦函数u=cs α的定义域都是R.(　　)(2)函数v=sin α在[0,π]上是单调减函数.(　　)(3)函数u=cs α在[0,π]上的值域是[0,1].(　　)(4)函数v=sin α的最大值为1,最小值为-1.(　　)
提示:(1)√(2)×.v=sin α在 上是增函数,在 上是减函数.(3)×.函数u=cs α在[0,π]上的值域是[-1,1].(4)√
2.函数y=πsin x的最大值与最小值的差为(　　)A.π　B.-πC.2π　D.-2π【解析】选C.y=πsin x的最大值为π,最小值为-π,所以差为2π.
3.(教材二次开发:练习改编)余弦函数u=cs α,α∈ 的单调增区间为______,单调减区间为________. 【解析】在单位圆中,当x由-π到 时,u=cs α由-1增大到1,再由1减小到 .所以它的单调增区间为[-π,0],单调减区间为 答案: [-π,0] 　
类型　正弦函数、余弦函数性质的应用(逻辑推理)角度1　正弦函数、余弦函数的定义域问题 【典例】求下列函数的定义域:(1)y=4-cs x;(2)y= 【思路导引】通过单位圆观察角的终边与单位圆交点坐标的变化,解出关于正、余弦函数的不等式.
【解析】(1)由y=4-cs x知定义域为R.(2)由题意知2sin x+1≥0,即sin x≥- 在一周期 内满足上述条件的角为x∈ ,由此可以得到函数的定义域为 (k∈Z).
【变式探究】　(1)函数y= 的定义域为______. (2)函数y=ln sin x的定义域为______. 【解析】(1)由2+cs x≠0知cs x≠-2,又由cs x∈[-1,1],故定义域为R.答案:R
(2)由题意知sin x>0.又y=sin x在[0,2π]内sin x>0满足0角度2　正弦函数、余弦函数的单调区间、周期和最值 【典例】求下列函数的单调区间和值域,并说明取得最大值和最小值时的自变量x的值.(1)y=-sin x,x∈ ;(2)y=cs x,x∈[-π,π].【思路导引】写出三角函数的单调递增和单调递减区间以及单调区间端点处的三角函数值,进而求得三角函数的最大值和最小值.
【解析】(1)y=-sin x,x∈ 的单调递减区间为 ,单调递增区间为 当x= 时ymin=-1;当x=π时,ymax=0,故函数y=-sin x,x∈ 的值域为[-1,0].(2)y=cs x,x∈[-π,π]的单调递减区间为[0,π],单调递增区间为[-π,0).当x=0时,ymax=1;当x=-π或π时,ymin=-1,故函数y=cs x,x∈[-π,π]的值域为[-1,1].
【解题策略】利用单位圆研究三角函数性质的方法第一步:在单位圆中画出角x的取值范围;第二步:作出角的终边与单位圆的交点P(cs x,sin x);第三步:研究P点横坐标及纵坐标随x的变化而变化的规律;第四步:得出结论.
【题组训练】1.函数y= 的定义域是(　　)A.(2kπ,2kπ+π),k∈ZD.[2kπ,2kπ+π],k∈Z【解析】选B.由sin x≥0,-cs x≥0,得x为第二象限角或y轴正半轴上的角或x轴负半轴上的角,所以定义域是2kπ+ ≤x≤2kπ+π,k∈Z.
2.求y= cs x,x∈ 的最大值.【解析】结合单位圆知y= cs x在 上y∈ 故最大值为0,即ymax= cs =0.
3.求下列函数的最小正周期及值域.(1)y=-cs x+2;(2)y=asin x+b(a<0).【解析】(1)当y=cs x取得最大值时,y=-cs x+2取得最小值,而当y=cs x取得最小值时,y=-cs x+2取得最大值,所以y=-cs x+2的值域是[1,3],最小正周期是2π.(2)因为-1≤sin x≤1,且a<0,所以当sin x=-1时,ymax=-a+b;当sin x=1时,ymin=a+b,所以y=asin x+b的值域是[a+b,-a+b],y=asin x+b的最小正周期是2π.
1.函数y=sin x,x∈ 的最大值和最小值分别是(　　)　　　　　　A.1,-1B.1, C. ,- D.1,- 【解析】选C.函数y=sin x在区间 上是增加的,则最大值是sin = ,最小值是sin =- .
2.函数y=2+ cs x的定义域为(　　) 【解析】选B.由条件知定义域为R.
3.函数y=sin x,x∈ 的增区间为______,减区间为______. 【解析】借助单位圆可知,y=sin x,x∈ ,在区间 上是减少的,在 上是增加的.答案: 　
4.函数y=2-sin x的最小正周期为______. 【解析】因为2-sin(2π+x)=2-sin x,所以y=2-sin x的最小正周期为2π.答案:2π
5.(教材二次开发:练习改编)求y=-2sin x,x∈ 的最大值与最小值.【解析】当x=- 时,ymax=1,当x= 时,ymin=-2.
五　单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质【基础通关一水平一】(15分钟　30分)1.下列函数是周期函数的有(　　)①y=sin x　②y=cs x　③y=x2　　　　A.①③　B.②③C.①②　D.①②③【解析】选C.很明显y=sin x和y=cs x是周期函数,函数y=x2的图象不是重复出现,故函数y=x2不是周期函数.
2.有下列命题,其中正确的个数是(　　)①终边相同的角的同名三角函数值相等;②同名三角函数值相等的角也相等;③终边不相同,它们的同名三角函数值一定不相等;④不相等的角,同名三角函数值也不相等.A.0B.1C.2D.3
【解析】选B.对于①,由三角函数的定义可得正确;对于②,由sin 30°=sin 150°= ,但30°≠150°,所以②错误;对于③,如α=60°,β=120°的终边不相同,但sin 60°=sin 120°= ,所以③错误;对于④,由③中的例子可知④错误.
3.下列各式正确的是(　　)A.sin 1>sin B.sin 14.y=3 sin x,x∈ 的值域为________. 【解析】借助单位圆可知,函数y=sin x,x∈ 在x= 处取最大值1,在x=- 和x= 处同时取得最小值- ,即- ≤sin x≤1,所以- ≤3 sin x≤3.答案:
5.函数y=4sin x+3在[-π,π]上的递增区间为________. 【解析】y=sin x的递增区间就是y=4sin x+3的递增区间.答案:
6.若函数y=a-bsin x的最大值是 ,最小值是- ,求函数y=-4asin bx的最大值与最小值及周期.
【解析】因为-1≤sin x≤1,当b>0时,-b≤bsin x≤b.所以a-b≤a-bsin x≤a+b,所以 解得 所以所求函数为y=-2sin x.当b<0时b≤bsin x≤-b所以a+b≤a-bsin x≤a-b.所以 解得 所以所求函数为y=-2sin(-x)=2sin x.所以y=±2sin x的最大值是2,最小值是-2,周期是2π.
【能力进阶一水平二】　(20分钟　40分)一、单选题(每小题5分,共15分)1.y=2sin 2x在x∈[ ]上的最大值与最小值的和为(　　)A.0B.1C.2D.3【解析】选B.因为- ≤x≤ ,所以- ≤2x≤ π,当2x=- 时,ymin=2sin (- )=-1,当2x= 时,ymax=2sin =2,所以和为1.
2.若sin x=2m+3,且x∈ ,则m的取值范围为(　　)
【解析】选C.因为x∈ ,所以结合单位圆知sin x∈ ,即- ≤2m+3≤ .所以- ≤m≤- .
3.函数y= 的定义域为(　　)A.R　B.[0,π]C.[-4,-π]D.[-4,-π]∪[0,π]【解题指南】先求出每一段的x的取值范围,然后求它们的交集.
【解析】选D.要使函数式有意义,需 由①得-4≤x≤4,由②得2kπ≤x≤2kπ+π(k∈Z),故函数的定义域为[-4,-π]∪[0,π].
【补偿训练】　　　在[0,2π]上,满足sin x≥ 的x的取值范围是(　　)
【解析】选B.如图易知选B.
二、多选题(共5分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)4.函数y= 的函数值可以取的值是(　　)A.- B.-1C.1D.2【解析】选BCD.令sin α=t,则t∈[-1,0)∪(0,1],所以y= 的值域为(-∞,-1]∪[1,+∞).
【光速解题】令y= 等于- ,-1,1,2,然后分别求解α.
【补偿训练】　　　已知函数f(x)= 则下列结论不正确的是(　　)A.f(x)是偶函数B.f(x)是增函数C.f(x)是周期函数D.f(x)的值域为[-1,+∞)
【解析】选ABC,因为f(π)=π2+1,f(-π)=-1,所以f(-π)≠f(π),所以函数f(x)不是偶函数,A不正确;函数f(x)在(-2π,-π)上单调递减,B不正确;函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以函数f(x)不是周期函数,C不正确;因为x>0时,f(x)>1,x≤0时,-1≤f(x)≤1,所以函数f(x)的值域为[-1,+∞),D正确.
三、填空题(每小题5分,共10分)5.函数f(x)=sin x在区间[a,b]上是增函数,且f(a)=-1,f(b)=1,则cs =______. 【解析】由条件知,a=- +2kπ,b= +2kπ,所以cs =cs 2kπ=1.答案:1
6.函数y=cs 2x-4cs x+5的值域为________. 【解析】令t=cs x,由于x∈R,故-1≤t≤1.y=t2-4t+5=(t-2)2+1,当t=-1时,即cs x=-1时函数有最大值10;当t=1,即cs x=1时函数有最小值2.所以该函数的值域是[2,10].答案:[2,10]
【误区警示】本题容易忽视求解t的取值范围,而导致求解值域出错.
四、解答题7.(10分)已知函数y=acs x+b的最大值是0,最小值是-4,求a,b的值.
【解析】当a>0时, 解得 当a<0时, 解得 所以a=2,b=-2或a=b=-2.
【补偿训练】　　　已知函数f(x)= (1)判定函数f(x)是否为周期函数;(2)求函数f(x)的单调递增区间;(3)当x∈ 时,求f(x)的值域.
【解析】(1)由于-1≤sin x≤1,所以f(x)的定义域是R.又f(x+2π)= =f(x),故f(x)是周期函数.(2)由正弦函数的基本性质,可知在区间 (k∈Z)上,函数y=sin x是增函数,而此时函数h(x)=2-sin x是减函数,从而可知此时函数f(x)是增函数,故可知函数f(x)的单调递增区间为 (k∈Z).(3)设t=sin x ,则t∈ 所以1≤2-t< ,则 ≤1.故f(x)的值域为