高中数学北师大版讲义(必修二)第04讲1.4正弦函数和余弦函数的概念及其性质7种常见考法归类(学生版+解析)特训

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1.4 正弦函数和余弦函数的概念及其性质 7种常见考法归类 知识点01任意角的正弦函数和余弦函数 1．给定任意角α，角α的终边与单位圆的交点为P(u，v)，点P的纵坐标v、横坐标u都是唯一确定的，则v＝sin a，u＝cos a． 2．利用角的终边上任意一点的坐标定义正、余弦函数 如图所示，在角α终边上任取一点P(x，y)，设|OP|＝r，则sin α＝xr＝yx2+y2，cos α＝xr＝xx2+y2 ． 【即学即练1】已知点P55,−255是角α的终边与单位圆的交点，则cosα=（       ） A．−255 B．55 C．−45 D．−35 【即学即练2】已知角的始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ） A． B． C． D． 【即学即练3】若角的终边经过点，则_______，______． 【即学即练4】在平面直角坐标系中，若角的终边经过点，则（ ） A． B． C． D． 【即学即练5】已知角的终边过点，则（ ） A． B． C． D． 【即学即练6】若cosα=32，且角α的终边经过点P(x,−2)，则P点的横坐标x是（    ） A．23 B．±23 C．22 D．−23 知识点02　正弦函数、余弦函数的基本性质 1．定义域：R． 2．最大(小)值：当α＝2kπ+π2(k∈Z)时，正弦函数v＝sin α取得最大值1； 当α＝2kπ−π2(k∈Z)时，正弦函数v＝sin α取得最小值−1. 当α＝2kπ(k∈Z)时，余弦函数u＝cos α取得最大值1；当α＝(2k+1) π (k∈Z)时，余弦函数取得最小值−1． 3．值域：[ −1,1]． 4．周期性：对任意k∈Z，sin (α＋2kπ)＝sin a ，α∈R；对任意k∈Z，cos (α＋2kπ)＝cos a，α∈R，最小正周期为2π. 5．单调性：正弦函数在区间2kπ−π2, 2kπ+π2(k∈Z) 上单调递增，在区间2kπ+π2,2kπ+3π2(k∈Z)上单调递减．余弦函数在区间[2kπ−π,2kπ] (k∈Z) 上单调递增，在区间[2kπ,2kπ+π] (k∈Z)上单调递减． 【即学即练7】求使下列函数取得最大值、最小值的自变量的集合，并分别写出最大值、最小值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【即学即练8】已知函数的最小值为，最大值为2，求、的值. 知识点03　正弦函数值和余弦函数值的符号 注：对三角函数值符号的理解 三角函数值的符号是根据三角函数定义和各象限内坐标符号导出的．从原点到角的终边上任意一点的距离r总是正值．根据三角函数定义知： (1)正弦值符号取决于纵坐标y的符号； (2)余弦值的符号取决于横坐标x的符号． 【即学即练9】若sinα0)．则sin α＝yr，cos α＝xr. 已知α的终边求α的三角函数值时，用这几个公式更方便． (3)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论． 题型三：正弦函数、余弦函数基本性质的应用 例3.下列函数哪些是奇函数？哪些是偶函数？哪些既不是奇函数也不是偶函数？ (1)； (2)； (3)； (4)． 变式1.求下列函数的最小值及取得最小值时自变量x的集合： （1）；         （2）. 变式2.求下列函数的单调区间： (1)； (2)； (3)； (4)． 变式3.已知函数的最大值是0，最小值是，求的值． 变式4.已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)当x[0,2π]时，求函数的最大值及取得最大值时的值. 变式5.比较下列各组数的大小： (1)，； (2)，. 【方法技巧与总结】 对于形如y＝a sin x＋b的函数性质的研究可借助y＝sin x的性质．要清楚a，b对函数y＝a sin x＋b的影响，若参数不确定还要注意分类讨论． 题型四：正、余弦函数值的符号判断及应用 例4.已知且，则角的终边所在的象限是（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 变式1.若为第三象限角，则（ ） A． B． C． D． 变式2.已知角θ在第二象限，则（    ） A．sinθ>0，cosθ>0 B．sinθ>0，cosθ