高中数学北师大版讲义(必修二)第07讲1.7正切函数10种常见考法归类(学生版+解析)特训

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1.7 正切函数10种常见考法归类 知识点01正切函数的定义 根据函数的定义，比值sinxcosx是x的函数，称为x的正切函数，记作y＝tan x，其中定义域{x∈R|x≠π2+kπ，k∈Z}． 【即学即练1】（2024高一课堂练习）函数的定义域是（ ） A． B． C． D． 【即学即练2】（2024高一课堂练习）求下列函数的定义域： （1）函数y＝＋lg(1－tanx)； （2）函数y＝tan(sinx)． 知识点02　正切函数的诱导公式 tan (kπ＋α)＝tan α(k∈Z) tan (－α)＝－tan α tan (π＋α)＝tan α tan (π－α)＝－tan α tan π2+α＝－1tanα tan π2−α＝1tanα． 注：(1)正切函数的诱导公式可以用正、余弦函数诱导公式一样的方法记忆，即“奇变偶不变，符号看象限”． (2)利用诱导公式求任意角的正切函数值的步骤与求任意角的正弦函数值、余弦函数值的步骤相同，都是依据“负化正，大化小，化为锐角再求值”，即由未知转化为已知的化归思想． 【即学即练3】（2023下·河南驻马店·高一校联考期中）（    ） A． B． C． D． 【即学即练4】（2023下·山东·高一校联考阶段练习） ． 【即学即练5】（2023下·河北衡水·高一校考开学考试） . 【即学即练6】（2023上·江苏淮安·高一校考阶段练习）已知，求，的值. 【即学即练7】（2024上·山西太原·高一统考期末）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴非负半轴重合，其终边经过点. (1)求的值； (2)求的值. 知识点03 正切函数的图象 利用正切线作出函数的图象（如图）．作法如下： (1)作直角坐标系，并在y轴左侧作单位圆． (2)把单位圆右半圆分成8等份，分别在单位圆中作出正切线． (3)描点．（横坐标是一个周期的8等分点，纵坐标是相应的正切线） (4)连线． 根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，就可以得到正切函数，且的图象，我们把它叫做正切曲线(如图)． 正切曲线是被相互平行的直线所隔开的无穷多支曲线组成的． 注：如何作正切函数的图象 (1)几何法 就是利用单位圆中的正切线来做出正切函数的图象，该方法作图较为精确，但画图时较烦琐． (2)“三点两线”法 “三点”是指−π4，−1，(0，0)，π4，1；“两线”是指x＝－π2和x＝π2. 在“三点”确定的情况下，类似于“五点法”作图，可大致画出正切函数在−π2，π2上的简图，然后向左、右平移(每次平移π个单位长度)即可得到正切曲线． 【即学即练8】（2024高一课堂练习）在内，使成立的x的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【即学即练9】（2024高一课堂练习）设函数. （1）求函数f(x)的最小正周期､对称中心； （2）作出函数f(x)在一个周期内的简图. 【即学即练10】（2024高一课堂练习）作出函数y＝|tan x|的图象，并根据图象求其最小正周期和单调区间． 知识点04正切函数的性质 1．周期性 由诱导公式可知，，因此是正切函数的一个周期. 一般地，函数的最小正周期． 2．奇偶性 正切函数的定义域为，关于原点对称，由于 ，因此正切函数是奇函数． 3．单调性和值域 单位圆中的正切线如下图所示． 利用单位圆中的正切线研究正切函数的单调性和值域，可得下表： 由上表可知正切函数在，上均为增函数，由周期性可知正切函数的增区间为 ．此外由其变化趋势可知正切函数的值域为或，因此正切函数没有最值． 【即学即练11】（2024高一课堂练习）函数的周期为__________． 【即学即练12】（2024高一课堂练习）函数y＝－taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(3π,4)))的单调递减区间为________________． 【即学即练13】（2024高一课堂练习）下列点不是函数的图象的一个对称中心的是（　　） A． B． C． D． 【即学即练14】（2024高一课堂练习）已知函数y=3tan． （1）求函数的最小正周期； （2）求函数的定义域； （3）说明此函数的图象是由y=tanx的图象经过怎样的变换得到的？ 【即学即练15】（2024高一课堂练习）已知函数． （1）求的定义域； （2）求的周期； （3）求的单调递增区间． 题型一：求函数的定义域 例1．（2023上·湖南株洲·高一校考阶段练习）函数的定义域为（　　） A． B． C． D． 变式1．（2023下·内蒙古包头·高一统考期末）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 变式2．（2024上·新疆乌鲁木齐·高一乌鲁木齐市第十一中学校考期末）求函数的定义域 ． 变式3．（2022上·浙江温州·高一统考期末）函数的定义域是（    ） A． B． C． D．且 变式4．（2022上·内蒙古赤峰·高一赤峰二中校考期末）函数的定义域为（    ）． A．， B．， C．， D．， 变式5．（2019下·辽宁朝阳·高一校联考阶段练习）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 变式6．（2023上·全国·高一专题练习）函数的定义域是(　　) A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 求正切函数定义域的方法 求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tan x有意义即x≠π2＋kπ，k∈Z.而对于构建的三角不等式，常利用三角函数的图象求解． 题型二：利用正切函数诱导公式求值 例2．（2022下·辽宁·高一东港市第二中学校联考期中）的值为（    ） A． B． C． D． 变式1．（2023·全国·高一专题练习） ． 变式2．（2022上·江苏南通·高一江苏省南通中学校考阶段练习）在平面直角坐标系中，点位于第（    ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 变式3．（2022上·黑龙江鸡西·高一鸡西市第四中学校考期末）下列选项中错误的是（   ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 给角求值，关键是利用诱导公式将任意角的三角函数值转化为锐角，通常是特殊角的三角函数值． 给值求值时，要注意分析已知角与未知角之间的内在关系，选择恰当的诱导公式求值． 题型三：利用正切函数的诱导公式化简 例3．（2023上·湖北襄阳·高一统考期末）已知，则 . 变式1．（2023下·高一课时练习）已知，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 变式2．（2022下·上海长宁·高一华东政法大学附属中学校考期中）化简： ． 变式3．（2023·高一单元测试）已知为第三象限角，且． (1)化简并求； (2)若，求的值． 变式4（2022上·广东广州·高一广州市第九十七中学校考阶段练习）已知． (1)化简,并求的值; (2)若,且,求的值． 【方法技巧与总结】 用正切函数诱导公式化简、证明的总体原则： (1)“切化弦”，函数名称尽可能化少． (2)“大化小”，角尽可能化小． 题型四：正切函数的图象及应用 例4．（2024上·宁夏银川·高一银川二中校考期末）函数（）的图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   变式1．（2023上·广东·高一校联考期末）若函数的图象与直线没有交点，则的最小值为（    ） A．0 B． C． D． 变式2．（2023上·河北邢台·高一邢台市第二中学校联考阶段练习）当时，函数与函数的图象的交点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 变式3．（2023·全国·高一随堂练习）方程的实数根个数是 ． 变式4．（2023上·全国·高一专题练习）借助函数的图象写出下列不等式或方程的解集： (1)，； (2)； (3)； (4)； 变式5．（2023·全国·高一随堂练习）在同一平面直角坐标系中，画出函数和，的图象，依据图象回答以下问题： (1)写出这两个函数图象的交点坐标； (2)写出使成立的x的取值范围； (3)写出使成立的x的取值范围； (4)写出使成立的x的取值范围； (5)写出使这两个函数有相同的单调性的区间． 【方法技巧与总结】 解决与正切函数图象有关的问题，必须熟练画出正切函数y＝tan x，x∈−π2，π2的图象，求自变量x的范围时，要注意是否包含端点值，切记正切函数的最小正周期为π. 题型五：正切函数的周期性问题 例5．（2024上·北京大兴·高一统考期末）函数的最小正周期等于（    ） A． B． C． D． 变式1．（2024上·贵州安顺·高一统考期末）函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 变式2．（2024上·山东聊城·高一统考期末）下列函数中，既是周期函数又是偶函数的是（   ） A． B． C． D． 变式3．（2024上·河南南阳·高三方城第一高级中学校联考期末）已知是曲线与直线相邻的三个交点，则（    ） A． B． C． D． 变式4．（2024上·新疆巴音郭楞·高一新疆兵团第二师华山中学校考期末）函数的图象的相邻两支截直线所得线段长为，则的值是 ． 变式5．（2023·广东·东莞市东华高级中学校联考一模）已知函数的最小正周期为，则 . 变式6．（2023·宁夏银川·银川一中校考模拟预测）若，（），则（    ） A． B． C．0 D． 题型六：正切函数的奇偶性问题 例6．（2023·全国·高一随堂练习）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3)； (4)． 变式1．（2022上·内蒙古赤峰·高一校考期末）函数是（    ） A．周期为的偶函数 B．周期为的奇函数 C．周期为的偶函数 D．周期为的奇函数 变式2．（2023上·河南郑州·高一河南省实验中学校考阶段练习）已知，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 变式3．（2023上·陕西·高三校联考阶段练习）已知函数，且，则（    ） A． B． C．1 D．4 变式4．（2023·四川达州·统考一模）已知函数，则的值为 . 变式5．（2024·全国·模拟预测）若函数为奇函数，则（    ） A． B． C．D． 变式6．（2021上·河南开封·高三阶段练习）已知，则“函数的图象关于轴对称”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型七：正切函数的对称性问题 例7．（2023上·陕西西安·高一统考期末）下列是函数的对称中心的是（    ） A． B． C． D． 变式1．（2024上·贵州毕节·高一统考期末）下列函数中，以点为对称中心的函数是（    ） A． B． C． D． 变式2．（2024上·河北保定·高一统考期末）“”是“函数的图象关于原点中心对称”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 变式3．（2024·全国·模拟预测）“函数的图象关于中心对称”是“”的 条件． 变式4．（2024上·广东茂名·高一统考期末）已知函数，其最小正周期为，则的一个对称中心的坐标为 ． 变式5．（2024·全国·高一专题练习）已知函数图象的一个对称中心为，则的值为 ． 变式6．（2023下·湖北荆州·高一校联考期中）已知函数的图象关于点对称，则（    ） A． B． C． D． 题型八：正切函数的单调性问题 求函数的单调区间 例8．（2023下·四川眉山·高一仁寿一中校考阶段练习）函数的单调区间是（    ） A． B． C． D． 变式1．（2023下·四川凉山·高一校联考期中）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 变式2．（2023下·高一单元测试）函数的单调区间是（    ） A． B． C． D． 变式3．（2022上·高一课时练习）已知函数，则（    ） A．增区间为， B．增区间为， C．减区间为， D．减区间为， 变式4．（2021下·高一课时练习）已知函数在内是减函数，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式5．（2022·湖南长沙·长沙一中校考模拟预测）已知函数，若在区间内单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 比较大小 例9．（2024上·湖南·高一校联考期末）三个数，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 变式1．（2024上·河南开封·高一统考期末）若 则（    ） A． B． C． D． 变式2．（2024上·内蒙古赤峰·高一统考期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 求函数y＝A tan (ωx＋φ)(A，ω，φ都是常数)的单调区间的方法 ①若ω>0，由于y＝tan x在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令kπ－π2