初中北师大版（2024）角平分线优秀习题

这是一份初中北师大版（2024）角平分线优秀习题，文件包含专题05角平分线性质与判定知识串讲+8大考点原卷版docx、专题05角平分线性质与判定知识串讲+8大考点解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共87页， 欢迎下载使用。

知识一遍过
（一）角平分线的性质
（1）概念：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线。
（2）角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等；
数学语言：
∵∠MOP=∠NOP，PA⊥OM PB⊥ON
∴PA=PB
（二）角平分线的判定
（1）判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上．
数学语言：
∵PA⊥OM PB⊥ON PA=PB
∴∠MOP=∠NOP
（三）尺规作图——角平分线
作法：①在OA和OB上分别截取OD、OE，使OD=OE。
②分别以D、E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C
③作射线OC，则OC就是∠AOB的平分线
考点一遍过
考点1：角平分线的性质——求线段
典例1：（2023上·江苏南京·八年级校联考期中）如图，点P在∠AOB的平分线OM上（不与点O重合），PC⊥OA于点C，PC=3，若D是OB边上任意一点，连接PD，则下列关于线段PD的说法一定正确的是（ ）
A．PD=3B．PD3D．PD≥3
【变式1】（2023上·江苏南京·八年级校联考期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB=10，S△ABD=20，则CD的长为（ ）

A．2B．3C．4D．5
【变式2】（2023上·湖南长沙·八年级校考期中）如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AB=8cm，AC=6cm，则S△ABD:S△ACD为（ ）

A．9：16B．3：4C．16：9D．4：3
【变式3】（2023上·四川绵阳·八年级统考期中）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，SΔABC=11，AB=6，DE=2，则AC=（ ）

A．7B．6C．5D．4
考点2：角平分线的性质——求角
典例2：（2023上·湖北·八年级校联考期中）如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=60°，点E在BC的延长线上，∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD，则∠CAD度数为（ ）

A．35°B．45°C．55°D．65°
【变式1】（2022下·四川巴中·七年级统考期末）如图：已知∠ABC=∠ACB=50°，BD、CD、BE分别平分△ABC的内角∠ABC、外角∠ACP、外角∠MBC，其中点D、C、E在同一条直线上，以下结论：错误的是（ ）
A．∠DCP=65°B．∠BDC=40°C．∠DBE=85°D．∠E=50°
【变式2】（2023上·四川绵阳·八年级统考阶段练习）如图，∠ABC=∠ACB，AD，BD分别平分△ABC的外角∠EAC，内角∠ABC，以下结论：①AD∥BC；②∠ACB=2∠ADB；③BD⊥AC．其中正确的有（ ）

A．①③B．②③C．①②③D．①②
【变式3】（2022·河北石家庄·校考二模）如图，有一锐角三角形纸张，其中∠A=70°，现将∠C折至∠A，使点C与点A重合，之后将三角形还原，再将∠B折至∠A，使点B与点A重合，之后将三角形还原．若两次的折线交于点P，则∠BPC的度数为（ ）

A．70°B．110°C．125°D．140°
考点3：角平分线的性质——求面积
典例3：（2022上·北京东城·八年级统考期末）如图所示，点O是△ABC内一点，BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，连接OA，若OD=5，AB=20，则△AOB的面积是（ ）
A．20B．30C．50D．100
【变式1】（2023上·山东菏泽·八年级统考期中）如图，△ABC的三边AB、BC，AC的长分别是20cm、30cm、40cm，点O为△ABC三内角平分线的交点，则S△AOB:S△BOC:S△AOC等于（ ）

A．1:1:1B．2:3:4C．1:2:3D．3:4:5
【变式2】（2023上·湖北武汉·八年级统考期中）如图，在△ABC中，AB=2AC，AD平分∠BAC，延长AD至点E，使DE=AD，连接BE． 若S△BDE=12，则S△ABC为（ ）．
A．12B．16C．18D．20
【变式3】（2023上·江苏徐州·八年级校考期中）如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，对角线BD平分∠ABC，若BC=5，AD=3，则△BCD的面积为（ ）

A．6B．7.5C．12D．15
考点4：角平分线的性质——实际应用
典例4：（2023上·北京·八年级校考期中）为进一步美化校园，我校计划在校园绿化区增设3条绿化带，如图所示，绿化带MN∥PQ，绿化带AB交绿化带MN于A，交绿化带PQ于B．若要建一喷灌处到三条绿化带的距离相等，则可供选择的喷灌处修建点有（ ）
A．4处B．3处C．2处D．1处
【变式1】（2023上·湖北武汉·八年级统考期中）如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路旁边的平地上修建一个游客中心，要使这个游客中心到三条公路的距离相等，游客中心可以选择的位置有（ ）种

A．一B．二C．三D．四
【变式2】（2023上·黑龙江绥化·八年级校考期中）三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（ ）
A．三条高的交点B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点D．三边垂直平分线的交点
【变式3】（2022上·山西吕梁·九年级统考阶段练习）黄河社区是由AB，AC，BC三条路围成的小型社区，现在越来越多的人们选择购买电动汽车，为了让生活设施跟上时代的发展，黄河社区准备在社区内修建一个电动车充电点．现社区人员计划将充电点建设在到三条路的距离相等的位置，则充电点应该建在三角形ABC（ ）
A．三个角的平分线的交点处B．三条中线的交点处
C．三条高线的交点处D．三条边的垂直平分线的交点处
考点5：角平分线与等边三角形
典例5：（2022下·陕西西安·七年级西安市第三中学校联考阶段练习）如图，已知点B是AC边上的动点（不与A、C重合），在AC的同侧作等边△ABD和等边△BCE，连接AE，CD，下列结论正确的个数有（ ）
①△ABE≌△DBC；②∠CHE＝60°；③△AGB≌△DFB；④GF∥AC；⑤△BFG是等边三角形；⑥BH平分∠AHC；⑦AH＝DH＋BH
A．4个B．5个C．6个D．7个
【变式1】（2022下·重庆·七年级重庆一中校考期末）如图，等边△ABC中，D、E分别为AC、BC边上的点，AD=CE，连接AE、BD交于点F，∠CBD、∠AEC的平分线交于AC边上的点G，BG与AE交于点H，连接FG．下列说法：①△ABD≌△CAE；②∠BGE=30°；③∠ABG=∠BGF；④AB=AH+FG；⑤S△AGE：S△BGC=DG:GC，其中正确的说法有（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
【变式2】（2023上·北京西城·八年级北师大实验中学校考期中）如图，在等边△ABC和等边△ECD中，B，C，D三点共线，AC与BE，AD与BE，AD与CE分别交于点F，点H，点G，下列四个结论中：①AD=BE；②CH平分∠BHD；③FG∥BD；④EH+CH=DH．所有正确的结论是（ ）
A．①②B．①③④C．①②④D．①②③④
【变式3】（2022上·安徽黄山·八年级统考期末）如图，已知等边△ABC和等边△BPE，点P在BC的延长线上，EC的延长线交AP于点M，连接BM，有下列结论：
①AP=CE； ②∠PME=60°； ③MB平分∠AME； ④AM+MC=BM，其中正确的结论是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④
考点6：角平分线判定
典例6：（2023上·河南洛阳·八年级校考期中）如图，在△ABD和△ACE中，AB=AD，AB>AC，AE=AC，∠DAB=∠CAE=50°，连接BE，连接AF．下列结论：①BE=CD；②∠EFC=50°；③∠DAF=∠EAF；④FA平分∠DFE．其中正确的个数为（ ）

A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式1】（2023上·广东广州·八年级广州市南武中学校联考期中）如图，四边形ABDC中，对角线AD平分∠BAC，∠ACD=136°，∠BCD=44°，则∠ADB的度数为（ ）

A．44°B．46°C．45°D．52°
【变式2】（2022上·广西南宁·八年级校考阶段练习）如图，∠BCF、∠EBC的角平分线CD、BD交于点D，若∠EAD=38°，则∠EAF的度数是（ ）
A．76°B．67°C．81°D．78°
【变式3】（2023上·河南周口·八年级校联考阶段练习）如图，已知点D是∠BAC内一点，且DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E,F，DE=DF，作射线AD，若∠ADE=68°，则∠2的度数为（ ）

A．22°B．30°C．32°D．68°
考点7：尺规作图——角平分线
典例7：（2023上·云南昆明·八年级云南省昆明市第二中学校联考期中）如图，在△ABC中，AB=AC，E是AC的中点．

(1)实践与操作：尺规作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）．
①作∠DAC的平分线AM；
②连接BE并延长，交AM于点F．
(2)猜想与证明：试猜想AF与BC有怎样的数量关系，并证明你的结论．
【变式1】（2023上·新疆伊犁·八年级统考期中）尺规画图：（不写作法，保留作图痕迹．）
如图，在△ABC中，已知其周长为26cm．

(1)在△ABC中，用直尺和圆规作边AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D，E；
(2)画∠A的平分线交BC于点F；
(3)连接EB，若AD为4cm，求△BCE的周长．
【变式2】（2023上·山东济宁·八年级统考期中）如图，已知△ABC．

(1)尺规作图：作∠A的平分线，与边BC相交于点D（保留作图痕迹）；
(2)若∠B=2∠C，求证：AB+BD=AC．
【变式3】（2023上·河北石家庄·八年级统考期中）如图，已知△ABC．

(1)尺规作图，作∠BAC的角平分线交BC于点D（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)如果AB=6，AC=10，△ABC的面积为18，求△ACD的面积．
考点8：角平分线的性质与判定综合
典例8：（2023上·云南曲靖·八年级校考期中）如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD=100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF=50°，连接DE．

(1)求证：DE平分∠ADC；
(2)若AB=7，AD=4，CD=8，S△ACD=15，求△ABE的面积．
【变式1】（2023上·天津南开·八年级南开中学校考期中）如图，△ABC中，点D在边BC延长线上，∠ACB=110°，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且∠CEH=55°．

(1)求∠ACE的度数；
(2)求证：AE 平分∠CAF；
(3)若AC+CD=14，AB=8.5，且SACD=21，求△ABE的面积．
【变式2】（2023上·湖北武汉·八年级统考期中）在△ABC中，AO、BO分别平分∠BAC、∠ABC．

(1)如图1，若∠C=32°，则∠AOB=________；
(2)如图2，连结OC，求证：OC平分∠ACB；
(3)如图3，若∠ABC=2∠ACB，AB=4，AC=7，求OB的长．
【变式3】（2023上·江苏扬州·八年级高邮市南海中学校考阶段练习）如图，△ABC中，点D在边BC延长线上，∠ACB=96°，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且∠CEH=48°．

(1)直接写出∠ACE的度数= ；
(2)求证：AE平分∠CAF；
(3)若AC+CD=14，AB=8，且S△ACD=21，求△ABE的面积．
同步一遍过
一、单选题
1．（2022上·北京·八年级北京市文汇中学校考期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，若CD=2，AB=5，△ABD面积是（ ）
A．2B．5C．10D．20
2．（2022上·湖北十堰·八年级十堰市实验中学校考阶段练习）下列说法中错误的是（ ）
A．三角形的三条中线交于一点B．三角形任意两外角平分线的交点到三边的距离相等
C．三角形具有稳定性D．形状完全相同的两个三角形全等
3．（2022上·北京海淀·八年级海淀实验中学校考期中）如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点．若PA=4，则PQ的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．（2023上·湖北荆州·八年级统考期中）如图，已知OC平分∠AOB，CE⊥OB于点E，CD∥OB，∠COE=15°，CD=2，则CE=（ ）

A．1B．2C．3D．4
5．（2023·江苏宿迁·统考三模）如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC=64°，根据图中的尺规作图痕迹，则∠EOF的度数是（ ）

A．64°B．56°C．58°D．45°
6．（2022上·福建厦门·八年级厦门市湖滨中学校考期中）如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=32，DE =4，AB=6,则AC 的长是( )
A．8B．9C．10D．12
7．（2023上·重庆铜梁·八年级重庆市巴川中学校校考期中）如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AD平分∠BAC交BC于点D，CE平分∠ACB交AB于点E，AD、CE交于点F．则下列说法正确的个数为（ ）
①∠AFC=120°；②AE+CD=AC；③S△CDF:S△AEF=FC:AF；④若点E是AB的中点，则CA=CB．

A．1个B．2个C．3个D．4个
8．（2022下·江苏南通·七年级如东县实验中学校考阶段练习）如图，在△ABC中，∠BAC=α，∠ACB=β，D为△ABC形外一点，DA平分∠BAC，且∠CBD=12α+β，则∠DCB的度数为（ ）
A．90°−12αB．60°C．90°−12βD．90°−12α+β
9．（2022上·河北石家庄·八年级石家庄市第四十中学校考期末）如图，已知锐角∠AOB．在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC的长为半径作弧，交射线OB于点D，连接CD；分别以点C，D为圆心，CD的长为半径作弧，两弧在∠AOB内部交于点P，连接CP，DP；作射线OP，交CD于点Q．根据以上作图过程及所作图形，有下列结论①CP∥OB；②∠AOP=∠BOP；③OP⊥CD．其中正确的结论是（ ）
A．①②③B．①③C．②③D．①②
10．（2023上·广西南宁·八年级统考期中）如图，已知△ABC，分别以AB、AC为边向外作等边△ABF和等边△ACE，CF和BE交于O点，则下列结论：①CF=BE；②∠COB=120°；③OA平分∠FOE；④OF=OA+OB．其中正确的有（ ）
A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④
二、填空题
11．（2022上·辽宁鞍山·八年级统考期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于D．如果AC=10cm，那么AE+DE等于 ．
12．（2023上·广西玉林·八年级统考期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，根据尺规作图的痕迹，若BD=4，可得CD的长为 ．
13．（2022上·山东潍坊·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，∠B=45°，DE⊥AB，垂足为E．若AC=8，BE=3，则S△ACD= ．
14．（2022上·广东广州·八年级统考期中）如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE、BF相交于点O，AE交BC于点E，BF交AC于点F，过点O作OD⊥BC于点D，则下列三个结论：①∠AOB＝90°+12∠C；②当∠C＝60°时，AF+BE＝AB；③若OD＝a，AB+BC+CA＝2b，则S△ABC＝12ab．其中正确的是 ．
15．（2022上·北京海淀·八年级人大附中校考期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD为△ABC的角平分线，过点D作直线l∥AB，点P为直线l上的一个动点，若△BCD的面积为16，BC＝8，则AP最小值为 ．
16．（2022下·广东揭阳·八年级校考阶段练习）如图，一张直角三角形的纸片，像图中那样折叠，使A与B重合，∠B=30°，AC=3，则折痕DE等于 ．
三、问答题
17．（2022下·山西·七年级校联考期末）如图，已知△ABC的高AD，∠BAC的平分线AE，∠B=26°，∠AED=41°，求∠CAD的度数．
18．（2022·山东青岛·校联考一模）请在平面内确定一点O，使得点O到ΔABC的两边AB、AC的距离相等，且点O到B、C两点的距离也相等.
19．（2023上·黑龙江大庆·八年级校联考阶段练习）如图，△ABC中，∠B=90°，AB=BC，AD是△ABC的角平分线，若BD=1，求DC的长．
20．（2022下·陕西西安·八年级统考期中）如图，在△ABC中，∠C=90°．请用尺规在边BC上作一点P，使点P到点C的距离与点P到边AB的距离．（保留作图痕迹，不写作法）
21．（2022·福建厦门·统考二模）（1）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个锐角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”小明作图的依据是 ．
（2）尺规作图作∠AOB的平分线方法如下：以O为圆心，任意长为半径画弧OA、OB于C、D，再分别以点C、D为圆心，以大于12CD长为半径画弧，两弧交于点P，则作射线OP即为所求．由作法得△OCP≌△ODP的根据是 ．
22．（2022上·江苏泰州·八年级校考阶段练习）（1）如图1，在△ABC中，利用直尺和圆规按要求作图（不写作法，保留作图痕迹）：
①在BC边上作点P，使得点P到AB和AC的距离相等；
②在射线AP上作点Q，使得AQ＝CQ．
（2）如图2，在△ABC中，∠A＝27°，∠C＝72°，请你在图2中画一条线段将△ABC分成两个等腰三角形，并标出等腰三角形顶角的度数．
23．（2022上·北京·八年级校考期中）如图，在四边ABCD中，对角BD平分∠ABC，∠A=120°，∠C=60°，AB=17，AD=12．
（1）求证AD=DC；
（2）求四边形ABCD的周长．
24．（2022上·江苏镇江·八年级统考期末）如图，△ABC中，∠C=90°．
（1）在BC边上作一点P，使得点P到点C的距离与点P到边AB的距离相等（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，若AC=8，BC=6，求CP的长．
25．（2022下·江苏泰州·八年级统考期中）数学阅读：古希腊数学家海伦曾提出一个利用三角形三边之长求面积的公式：若一个三角形的三边长分别为a、b、c，则这个三角形的面积为S=pp−ap−bp−c，其中p=12a+b+c．这个公式称为“海伦公式”．数学应用：如图1，在ΔABC 中，已知AB=9，AC=8，BC=7．
(1)请运用海伦公式求△ABC的面积；
(2)设AB边上的高为ℎ1，AC边上的高ℎ2，求ℎ1+ℎ2的值；
(3)如图2，AD、BE为ΔABC的两条角平分线，它们的交点为I，求ΔABI的面积．