北师大版（2024）八年级下册直角三角形精品同步练习题

这是一份北师大版（2024）八年级下册直角三角形精品同步练习题，文件包含专题03直角三角形知识串讲+8大考点原卷版docx、专题03直角三角形知识串讲+8大考点解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共79页， 欢迎下载使用。

知识一遍过
（一）直角三角形性质——角的关系
①直角三角形的两个锐角互余。
（二）直角三角形性质——等积法
如图：△ABC为直角三角形，AD⊥BC
S△ABC=AB×AC=AD×BC；则AB×AC=AD×BC
（三）勾股定理逆定理
表示方法：如图：三角形的三边分别为，，，若则三角形为直角三角形
（四）直角三角形全等的判定
（1）直角三角形全等
①斜边和一条直角边对应相等（HL）
②证明两个直角三角形全等同样可以用SAS,ASA和AAS.
考点一遍过
考点1：直角三角形的性质——角的关系
典例1：（2023上·河北廊坊·八年级校考期中）如图，在△ABC中，∠A与∠B互余，CD⊥AB垂足为D，若∠DCB=30°，则∠A=( )

A．30°B．45°C．60° D．条件不足，无法计算
【答案】A
【分析】本题考查了直角三角形中两个锐角互余，根据等角的补角相等，即可求解．
【详解】解：∵CD⊥AB，
∴∠DCB+∠B=90°
∵∠A+∠B=90°，∠DCB=30°，
∴∠A=∠DCB=30°，
故选：A．
【变式1】（2023上·湖北恩施·八年级统考期中）已知△ABC中，AD为△ABC的高，AE为△ABC的角平分线，∠B=40°，∠CAD=20°，则△ABC的高AD与角平分线AE的夹角为（ ）
A．35°B．15°C．20°D．35°或15°
【答案】D
【分析】本题考查了直角三角形的特征及角平分线的性质，利用分类讨论及数形结合，根据直角三角形两锐角互余及角平分线的性质即可求解，熟练掌握直角三角形的特征及角平分线的性质，利用数形结合的思想解决问题是解题的关键．
【详解】解：当如图所示时：
∵AD为△ABC的高，
∴∠ADB=90°，
∵∠B=40°，
∴∠BAD=90°−∠B=50°，
∵∠CAD=20°，
∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=70°，
∵AE为△ABC的角平分线，
∴∠BAE=∠CAE=12∠BAC=35°，
∴ AD与角平分线AE的夹角为∠CAE−∠CAD=15°，
当如图所示时：
∵AD为△ABC的高，
∴∠ADB=90°，
∵∠B=40°，
∴∠BAD=90°−∠B=50°，
∵∠CAD=20°，
∴∠BAC=∠BAD−∠CAD=30°，
∵AE为△ABC的角平分线，
∴∠BAE=∠CAE=12∠BAC=15°，
∴ AD与角平分线AE的夹角为∠CAE+∠CAD=35°，
综上所述，AD与角平分线AE的夹角为35°或15°，
故选D．
【变式2】（2023上·湖北武汉·八年级校联考期中）如图，AC=AB=BD，AB⊥BD，BC=10，则△BCD的面积为（ ）

A．15B．25C．20D．50
【答案】B
【分析】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，作AE⊥CB，DF⊥CB，通过证明△AEB≌△BFDAAS得到DF=BE=4，即可求解．解题的关键是作辅助线构造出全等三角形，熟练掌握相关基本性质．
【详解】解：如图，作AE⊥CB于点E，DF⊥CB于点F，
∵AC=AB=BD，BC=10，
∴BE=12BC=12×10=5，
∵AE⊥CB，DF⊥CB，AB⊥BD，
∴∠ABD=∠AEB=∠BFD=90°，
∴∠BAE+∠ABE=∠ABE+∠DBF=90°，
∴∠BAE=∠DBF，
在△AEB和△BFD中，
∠AEB=∠BFD∠BAE=∠DBFAB=BD，
∴△AEB≌△BFDAAS，
∴BE=DF=4，
△BCD的面积为：12×BC×DF=12×10×5=25．
故选：B．

【变式3】（2023上·湖北荆州·八年级统考期中）一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°，∠E=45°，∠A=60°，则∠DBC的度数（ ）
A．165°B．45°C．30°D．15°
【答案】D
【分析】此题考查了平行线的性质，直角三角形两锐角互余，直接利用三角板的特点，结合平行线的性质得出∠DCB=30°，再利用角的和差关系求出∠DBC，掌握“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．
【详解】∵∠F=∠ACB=90°，∠E=45°，∠A=60°，
∴∠EDF=45°，∠ABC=30°，
∵AB∥CF，
∴∠EDF=∠ABD=45°，
∴∠DBC=∠ABD−∠ABC=45°−30°=15°，
故选：D．
考点2：直角三角形的性质——求线段
典例2：（2023上·河北唐山·八年级统考期中）如图，在△ABC中，∠C=60°，AD⊥BC，AE=DE，连接BE并延长交AC于点F，若∠AFB=90°，EF=3，则BF的长为（ ）
A．15B．20C．9D．12
【答案】A
【分析】本题考查了直角三角形两个锐角互余，含30°角的直角三角形特征，熟练掌握直角三角形特征是解题关键．
【详解】解：∵∠C=60°，AD⊥BC，
∴∠DAC=90°−∠C=90°−60°=30°，
∵∠AFB=90°，EF=3，
∴AE=ED=2EF=6，
∵∠C=60°，∠AFB=90°，
∴∠FBC=90°−60°=30°，即∠EBD=30°，
∴BE=2ED=12，
∴BF=BE+EF=12+3=15．
故选：A．
【变式1】（2023上·浙江宁波·八年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B