初中数学北师大版（2024）八年级下册中心对称优秀精练

这是一份初中数学北师大版（2024）八年级下册中心对称优秀精练，文件包含专题03中心对称知识串讲+9大考点原卷版docx、专题03中心对称知识串讲+9大考点解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共75页， 欢迎下载使用。

知识一遍过
（一）中心对称的相关概念
（1）中心对称概念：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫作对称中心.这两个图形旋转后能重合的对应点叫作关于对称中心的对称点.
如图，绕着点旋转后，与完全重合，则称和关于点对称，点是点关于点的对称点.
（2）中心对称图形概念：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫作中心对称图形，这个点就是它的对称中心.
（二）中心对称的性质
（1）中心对称的性质：
①中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；
②中心对称的两个图形是全等图形.
（2）找对称中心的方法和步骤：
方法1：连接两个对应点，取对应点连线的中点，则中点为对称中心.
方法2：连接两个对应点，在连接两个对应点，两组对应点连线的交点为对称中心.
（三）平面直角坐标系——原点对称
两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点
P’(-x，-y)
考点一遍过
考点1：中心对称的定义
典例1：（2023上·北京朝阳·九年级校考期中）下列各图中，四边形ABCD是正方形，其中阴影部分两个三角形成中心对称的是（ ）
A． B．C．D．
【变式1】（2023下·浙江金华·八年级统考期末）如图，在正方形网格中，A，B，C，D，E，F，G，H，I，J是网格线交点，△ABC与△DEF关于某点成中心对称，则其对称中心是（ ）

A．点GB．点HC．点ID．点J
【变式2】（2023·河北邯郸·统考模拟预测）图是由8个大小相等的正方形组成的中心对称图形，则此图的对称中心是（ ）
A．P点B．M点C．N点D．Q点
【变式3】（2024上·福建厦门·九年级统考期末）如图，直线l是正方形的一条对称轴，l与AB，CD分别交于点M，N．AN，BC的延长线相交于点P，连接BN．下列三角形中，与△NCP成中心对称的是（ ）
A．△NCBB．△BMNC．△AMND．△NDA
考点2：中心对称作图
典例2：（2023上·山东东营·八年级校考阶段练习）在4×4的正方形网格中，在其中选择一个白色的小正方形并涂黑，使图中黑色部分是一个中心对称图形，你能找到（ ）个这样的白色小正方形．
A．0B．1C．2D．3
【变式1】（2023上·山东淄博·八年级鲁村中学校考阶段练习）在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形，该小正方形的序号是（ ）
A．④B．③C．②D．①
【变式2】（2023·河北邢台·统考一模）如图是4×4的网格图，将图中标有①、②、③、④的一个小正方形涂灰，使所有的灰色图形构成中心对称图形，则涂灰的小正方形是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【变式3】（2023·河北沧州·模拟预测）如图，老师让同学们利用棋子在棋盘上拼出一个中心对称图形（颜色忽略），为了增加难度，加入了方向角，则下一个棋子应该放在中心点的（ ）

A．西北方向的A处B．西南方向的A处C．东南方向的B处D．西南方向的B处
考点3：中心对称图形
典例3：（2024上·四川广安·九年级统考期末）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2022上·北京海淀·九年级统考期末）下列各曲线是根据不同的函数绘制而成的，其中是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2023上·辽宁鞍山·九年级统考期中）下列四个图形，既是轴对称又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【变式3】（2023·山东青岛·统考模拟预测）以下投稿的民间建筑装饰图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
考点4：中心对称性质——求坐标
典例4：（2023上·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在第一象限，点B，C的坐标分别为(2,1)，(6,1)，∠BAC=90°，AB=AC，直线AB交y轴于点P，若△ABC与△A′B′C′关于点P成中心对称，则点A′的坐标为（ ）
A．(−4,−5)B．(−5,−4)
C．(−3,−4)D．(−4,−3)
【变式1】（2024上·重庆合川·九年级统考期末）若点A2,a与Bb,−3关于原点对称，则a−b的值为（ ）
A．1B．−1C．5D．−5
【变式2】（2024上·辽宁大连·九年级统考期末）平面直角坐标系中，点P(−1,2)关于原点的对称点Q的坐标是（ ）
A．(2,−1)B．(1,−2)C．(−1,−2)D．(−2,1)
【变式3】（2024上·江苏苏州·八年级期末）在平面直角坐标系中，将点A先向左平移6个单位长度，再向下平移8个单位长度，得到的点A'正好与点A关于原点对称，则点A的坐标是（ ）
A．3,4B．−3,4C．3,−4D．−3,−4
考点5：中心对称性质——求面积
典例5：（2023·四川凉山·统考模拟预测）如图，AB垂直于BC且AB＝BC＝3cm，OA与OC关于点O中心对称，AB、BC、OA、OC所围成的图形的面积是( )cm
A．92B．92πC．34D．34π
【变式1】（2023上·福建龙岩·九年级校联考期末）如图，在面积为12的□ABCD中，对角线BD绕着它的中点O按顺时针方向旋转一定角度后，其所在直线分别交AB、CD于点E、F，若AE=2EB，则图中阴影部分的面积等于（）
A．3B．1C．43D．23
【变式2】（2023·河北保定·校联考三模）用一条直线 m 将如图 1 的直角铁皮分成面积相等的两部分．图 2、图 3 分别是甲、乙两同学给出的作法，对于两人的作法判断正确的是（ ）
A．甲正确，乙不正确B．甲不正确，乙正确
C．甲、乙都正确D．甲、乙都不正确
【变式3】（2023上·江西南昌·九年级南昌市第十七中学校考期末）如图矩形的长为10，宽为4，点O是各组三角形的对称中心，则图中阴影面积为（ ）
A．20B．15C．10D．25
考点6：中心对称的性质——求线段
典例6：（2023上·河北石家庄·八年级统考期末）如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若∠C=90°，∠B=30°，AC=1，则BB′的长为（ ）
A．2B．4C．23D．25
【变式1】（2022下·河南鹤壁·七年级统考期末）如图，△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（ ）
A．点A与点A′是对称点B．BO=B′O
C．∠AOB=∠A′OB′D．∠ACB=∠C′A′B′
【变式2】（2023上·吉林·九年级吉林松花江中学校考期中）如图，BO是等腰三角形ABC的底边的中线，AC=2，BO=15，△PQC与△BOC关于点C成中心对称，连接AP，则AP的长是（ ）
A．4B．42C．35D．26
【变式3】（2022·河北秦皇岛·统考一模）如图，已知点A与点C关于点O对称，点B与点D也关于点O对称，若BC=3，OD=4．则AB的长可能是（ ）
A．3B．4C．7D．11
考点7：中心对称的性质——规律探究
典例7：（2022上·河北邯郸·九年级校考期中）在如图所示的平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，点13,3在第 个三角形上，△B2nA2n+1B2n+1（n是正整数）的顶点A2n+1的坐标是 ．
【变式1】（2022下·湖南永州·九年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为：A−2,0，B1,2，C1,−2.已知N−1,0，作点N关于点A的对称点N1，点N1关于点B的对称点N2，点N2关于点C的对称点N3，点N3关于点A的对称点N4，点N4关于点B的对称点N5，…，依此类推，则点N2022的坐标为 .
【变式2】（2023·贵州黔东南·统考中考真题）以▱ABCD对角线的交点O为原点，平行于BC边的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若A点坐标为（﹣2，1），则C点坐标为 ．
【变式3】（2023上·新疆·九年级新疆农业大学附属中学校考期中）在平面直角坐标系中，点A的坐标为(a,3)，点B的坐标是(4,b)，若点A与点B关于(1,0)中心对称，则ab= ．
考点8：中心对称的应用——综合
典例8：（2023上·北京海淀·九年级校考开学考试）对于点P和图形W，若点P关于图形W上任意的一点的对称点为点Q，所有点Q组成的图形为M，则称图形M为点P关于图形W的“对称图形”．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(−1,−2)，B(2,−2)，C(2,1)，D(−1,1)．

(1)①在点E(−2,−4)，F(0,−4)，G(3,−3)中，是点O关于线段AB的“对称图形”上的点有_______．
②画出点O关于四边形ABCD的“对称图形”；
(2)点T(t,0)是x轴上的一动点．
①若点T关于四边形ABCD的“对称图形”与O关于四边形ABCD的“对称图形”有公共点，求t的取值范围；
②直线y=x−t与x轴交于点T，与y轴交于点H，线段TH上存在点K，使得点K是点T关于四边形ABCD的“对称图形”上的点，直接写出t的取值范围．
【变式1】（2022·安徽安庆·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，RtΔABC的三个顶点分别是A（－3，2）、B（0，4）、C（0，2）．
(1)将ΔABC以点C为中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C；
(2)平移△ABC，若点A的对应点A2的坐标为（1，－4），画出平移后对应的△A2B2C2；
(3)若将△A1B1C绕某一点旋转可以得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标；
【变式2】（2023上·福建福州·九年级福州三牧中学校考阶段练习）如图所示，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A(−4,−2),B(−2,−1),C(−3,2)．
（1）作出与△ABC关于原点O成中心对称的△A′B′C′；
（2）若点B关于x轴的对称点为点B1，将点B1向右平移a个单位长度后落在△A′B′C′的内部（不包括顶点和边）．
①写出点B1坐标_________；
②写出a的取值范围为___________．
【变式3】（2023上·北京西城·九年级校考期中）在平面内，将图形G关于点M作中心对称变换得到图形G1的过程简记为：G→MG1．若图形G1再关于点N作中心对称变换得到图形G2，即：G→MG1→NG2，则由图形G变换到G2的过程称为图形G作M，N对称得到图形G2，记作：G→M，NG2．
容易知道：若G→MG1，则G1→MG；若G→M，NG2，则G2→N，MG．
已知在平面直角坐标系xOy中，点A1，1，B1，0．

(1)如图1，已知点S0，−12，T−12，−1，R12,0．点A作下面的变换后，对应点仍在△AOB的内部或边上的是___________（写序号）：①O，S对称；②S，T对称；③T，R对称；④R，O对称．
(2)点P在直线y=x+1上，线段AB→O，PCD，当线段CD与坐标轴有公共点时，求点P的横坐标xP的取值范围；
(3)点Q是平面内一点，OQ=1．若线段AB上存在点H，使点H作O，Q对称后的对应点K在x轴上，直接写出点K的横坐标xK的取值范围．
考点9：中心对称的应用——图案设计
典例9：26．（2023·吉林·统考一模）图①、图②和图③都是5×5的正方形网格，每个小正方形边长均为1．按要求分别在图①、图②和图③中画图：
(1)在图①中画等腰△ABC，使其面积为3，并且点C在小正方形的顶点上；
(2)在图②中画四边形ABDE，使其是轴对称图形但不是中心对称图形，D，E两点都在小正方形的顶点上；
(3)在图③中画四边形ABFG，使其是中心对称图形但不是轴对称图形，F，G两点都在小正方形的顶点上；
【变式1】（2022下·湖南长沙·八年级长沙市长郡双语实验中学校考期末）在平面直角坐标系中，将坐标为（0，0），（1，3），（2，0），（3，3）的点用线段依次连接起来得到一个图案N．
(1)在图（1）中，分别画出图案N关于x轴和y轴对称的图案；
(2)在图（2）中，将图案N先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，画出第二次平移后的图案；
(3)在图（3）中，以原点为对称中心，画出与图案N成中心对称的图案．
【变式2】（2022·浙江温州·统考二模）如图是由54个边长为1的小等边三角形组成的网格，请按要求画格点多边形（顶点均在格点上）．
(1)在图1中画一个以AB为腰的△ABC．
(2)在图2中画一个四边形ABDE，使其中一条对角线长为4，且恰有两个内角为90°．
【变式3】（2022·吉林长春·校考一模）如图，在4×4的方格纸中，ΔABC的三个顶点都在格点上．
图1 图2 图3
(1)在图1中，画出一个与ΔABC成中心对称的格点三角形；
(2)在图2中，画出一个与ΔABC成轴对称且与ΔABC有公共边的格点三角形；
(3)在图3中，选择格点D，画出以A，B，C，D为顶点的平行四边形．
同步一遍过
一、单选题
1．（2018上·山东日照·九年级阶段练习）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．（2023上·湖北咸宁·九年级统考期末）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．正三角形B．平行四边形C．正五边形D．等腰梯形
3．（2018上·全国·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，将N−1,−2绕原点旋转180°，得到的对应点的坐标是（ ）
A．1,2B．−1,2C．−1,−2D．1,−2
4．（2020下·辽宁盘锦·九年级统考学业考试）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
5．（2016上·九年级课时练习）如图，点A，B，C的坐标分别为（0，﹣1），（0，2），（3，0）．从下面四个点M（3，3），N（3，﹣3），P（﹣3，0），Q（﹣3，1）中选择一个点，以A，B，C与该点为顶点的四边形不是中心对称图形，则该点是（ ）
A．MB．NC．PD．Q
6．（2019·浙江温州·统考一模）剪纸是中国古老的民间艺术，下列作品中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
7．（2019上·广西河池·九年级统考期中）下面四个图案是常用的交通标志，其中为中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
8．（2021·广东广州·统考一模）已知点A（﹣2，3）经变换后到点B，下面的说法正确的是（ ）
A．点A先向上平移3个单位，再向左平移4个单位到点B，则点B的坐标为B（2，6）
B．点A绕原点按顺时针方向旋转90°后到点B，则点B的坐标为B（3，2）
C．点A与点B关于原点中心对称，则点B的坐标为B（3，﹣2）
D．点A与点B关于x轴对称，则点B的坐标为B（2，3）
9．（2022下·福建漳州·八年级统考期中）下列命题不正确的是 （ ）
A．一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等
B．两边分别相等的两个直角三角形全等
C．三角形经过旋转，对应线段平行且相等．
D．中心对称图形上每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分．
10．（2018上·河北秦皇岛·九年级校联考期末）在正三角形、正四边形、正五边形、正六边形、正八边形5个图形中既是轴对称又是中心对称的图形有( )个
A．2B．3C．4D．5
二、填空题
11．（2017·四川宜宾·中考真题）在平面直角坐标系中，点M（3，﹣1）关于原点的对称点的坐标是 ．
12．（2019·湖北武汉·统考一模）已知平面直角坐标系上的三个点D（0，0），A（﹣1，1），B（﹣1，0）．将△ABD绕点D旋转180°，则点A、B的对应点A、B的坐标分别是A1 ，B1
13．（2023上·山东日照·九年级校考期中）已知点Aa+4,−5−b与点B2b,2a+8关于原点成中心对称，则a2+b= ．
14．（2020上·广东珠海·九年级珠海市九洲中学校考期中）在平面直角坐标系中，若点P(x﹣2，x+1)关于原点的对称点在第四象限，则x的取值范围是 ．
15．（2023上·江苏宿迁·九年级校联考阶段练习）从下列图形：等边三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形中任意抽取一个图形，抽取的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是 ．
16．（2019上·山东威海·八年级统考期末）如图，在ΔOAB中，OA=OB=3，∠AOB=45°，C是AB中点，则点O关于点C的对称点的坐标是 ．
三、解答题
17．（2019上·山西·九年级校考期中）已知在图（1）与图（2）中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△AOB的三个顶点都在格点上．
（1）将△OAB关于点P对称，在图（1）中画出对称后的图形△O′A′B′，并涂黑；
（2）先画出△OAB关于y轴的轴对称图形△O′A′B′，然后将△O′A′B′向右平移2个单位，再向上平移3个单位，在图（2）中画出平移后的图形△O″A″B″，并涂黑．
18．（2023下·浙江·八年级专题练习）如图，在直角坐标平面内，已知点A的坐标−5,0．
(1)图中点B的坐标是 ；
(2)点B关于原点对称的点C的坐标是 ；点A关于y轴对称的点D的坐标是 ；
(3)△ABC的面积是 ．
19．（2021上·福建龙岩·九年级统考期中）如图，已知△ABC的顶点A、B、C的坐标分别是A(−1,−1)，B(−4,−3)，C(−4,−1)．
（1）画出△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1；
（2）将△ABC绕原点O按顺时针方向旋转90°后得到△A2B2C2，画出△A2B2C2，并写出点A2、B2、C2的坐标．
20．（2018·安徽合肥·九年级统考期末）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点B的坐标为（1，0）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）画出将△ABC绕原点O按逆时针旋转90°所得的△A2B2C2，并写出点C2的坐标；
（3）△A1B1C1与△A2B2C2成中心对称吗？若成中心对称，写出对称中心的坐标．
21．（2023下·湖南益阳·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，每个小方格的长度为1，已知点A(−5,1)，B(−1,1)，C(−2,3)．

(1)请画出△ABC，并判断△ABC的形状__________直角三角形．（填“是”或“不是”）
(2)请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1．
(3)请画出△ABC关于原点对称的△A2B2C2．
22．（2020·吉林长春·校考模拟预测）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，请按要求分别在图①和图②中画出相应的图形，所画的图形的各个顶点均在格点上（每个小正方形的顶点均为格点）

（1）请在图①中画一个四边形ABCD，使得它是一个中心对称图形，且面积为12；
（2）请在图②中画一个△ABE，使得△ABE面积为6，且有一个内角等于45°．
23．（2021上·内蒙古呼和浩特·九年级校考期末）如图，△ABC在平面直角坐标系内，顶点的坐标分别为A−4,4，B−2,5，C−2,1．
（1）平移△ABC，使点C移到点C1−2,−4，画出平移后的△A1B1C1，并写出点A1，B1的坐标；
（2）画出与△ABC关于原点对称的图形．
24．（2022下·山东菏泽·八年级校联考期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A−1,2，B−3,3，C−2,5．
(1)将△ABC向右平移4个单位，再向下平移1个单位得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；
(2)画出与△A1B1C1关于原点O的对称图形△A2B2C2，并写出点C2的坐标．
25．（2023上·广东深圳·九年级校联考开学考试）如图，在由边长为1的小正方形组成的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上．

(1)画出△ABC关于原点成中心对称的△A1B1C1
(2)画出△ABC向右平移5个单位得到△A2B2C2后，再绕点A2逆时针旋转90°得到的△A2B3C3．
(3)在x轴上有长度为1的线段PQ（点P在点Q的左侧），是否存在一点P，使得PB+PQ+AQ的长最小?若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．