初中数学北师大版（2024）八年级下册等腰三角形精品当堂检测题

这是一份初中数学北师大版（2024）八年级下册等腰三角形精品当堂检测题，文件包含专题01等腰三角形知识串讲+9大考点原卷版docx、专题01等腰三角形知识串讲+9大考点解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共75页， 欢迎下载使用。

知识一遍过
（一）等腰三角形
（1）等腰三角形性质：
①等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）
②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。（三线合一）
（2）等腰三角形的判定：
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）.
（二）解题方法
（1）三角形三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三边的距离等。
（2）三角形三个边的中垂线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
（3）常用辅助线： = 1 \* GB3 ①三线合一； = 2 \* GB3 ②过中点做平行线[来源:
考点一遍过
考点1：等腰三角形的性质——求角
典例1：（2023上·浙江·八年级校考期中）在△ABC中，AB=BC，∠A=80°, 则∠B=（ ）
A．100°B．80°C．20°D．80°或20°
【答案】C
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握“等腰三角形两底角相等”．
【详解】解：∵在△ABC中，AB=BC，∠A=80°，
∴∠C=∠A=80°，
∴∠B=180°−80°−80°=20°，
故选：C．
【变式1】（2023上·河北邢台·八年级校联考阶段练习）如图，点B在CD上，△ABO≌△CDO，AO∥BC，∠BOD=30°时，∠A的度数为（ ）
A．20°B．30°C．40°D．35°
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的性质，等边对等角的性质，平行线的性质，根据全等三角形对应边相等可得OB=OD，全等三角形对应角相等可得∠ABO=∠D，再根据等边对等角求出∠OBD=∠D，然后求出∠ABC，再根据两直线平行，内错角相等解答即可．熟记性质并准确识图是解题的关键．
【详解】解：∵△ABO≌△CDO，
∴OB=OD，∠ABO=∠D，
∴∠OBD=∠D=12180°−∠BOD=75°，
∴∠ABC=180°−75°×2=30°，
∵AO∥BC，
∴∠A=∠ABC=30°．
故选：B．
【变式2】（2022上·浙江金华·八年级校考阶段练习）已知锐角∠AOB=30°，如图，按下列步骤作图：①在OA边取一点D，以O为圆心，OD长为半径画MN，交OB于点C，连接CD．②以D为圆心，DO长为半径画GH，交OB于点E，连接DE．则∠CDE的度数为（ ）．
A．25°B．35°C．45°D．55°
【答案】C
【分析】根据作图步骤得到OC=OD，DO=DE，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠OCD=75°，∠DEO=∠DOE=30°，然后利用三角形外角性质可计算出∠CDE的度数．
【详解】解：由作法得OC=OD，DO=DE，
∵ OD=OC，
∴ ∠OCD=∠ODC=12(180°−∠AOB)=12×(180°−30°)=75°，
∵ DO=DE，
∴ ∠DEO=∠DOE=30°，
∵ ∠OCD=∠CDE+∠DEC，
∴ ∠CDE=∠OCD−∠DEC=75°−30°=45°．
故选：C．
【点睛】本题考查了尺规作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质和尺规作图的基本原理．
【变式3】（2023上·云南昆明·八年级昆明市第三中学校考期中）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA,OB组成，OC=CD=DE，点D、E可在槽中滑动．若∠BDE=75°，则∠CDE的度数是（ ）

A．60°B．65°C．75°D．80°
【答案】D
【分析】根据OC=CD=DE，可得∠O=∠ODC,∠DCE=∠DEC，根据三角形的外角性质可知∠DCE=∠O+∠ODC=2∠ODC，进一步根据三角形的外角性质可知∠BDE=3∠ODC=75°，即可求出∠ODC的度数，进而求出∠CDE的度数．
【详解】解：∵OC=CD=DE，
∴∠O=∠ODC,∠DCE=∠DEC，
∴∠DCE=∠O+∠ODC=2∠ODC，
∵∠O+∠OED=3∠ODC=∠BDE=75°，
∴∠ODC=25°，
∵∠CDE+∠ODC=180°−∠BDE=105°，
∴∠CDE=105°−∠ODC=80°．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形的外角性质，理清各个角之间的关系是解答本题的关键．
考点2：等腰三角形的性质——求线段
典例2：（2022上·河北邯郸·八年级校考期中）如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，∠A=∠ABE．若AC=5，BC=3，则BD的长为（ ）

A．2.5B．1.5C．2D．1
【答案】D
【分析】由已知条件判定△BCD≌△ECDASA，得到BC=CE，△BEC的等腰三角形，进而得到BD=12BE，由等角对等边判定AE=BE，则易求BD=12BE=12AE=12AC−CE．
【详解】解：∵CD平分∠ACB，BE⊥CD，
∴ ∠ECD=∠BCD，∠BDC=∠EDC=90°，
在△BCD与△ECD中，
∠ECD=∠BCDCD=CD∠BDC=∠EDC=90°，
∴△BCD≌△ECDASA，
∴BC=CE，
∴△BEC是等腰三角形，
∴ BD=12BE，
又∵∠A=∠ABE，
∴△ABE是等腰三角形，
∴AE=BE，
∴BD=12BE=12AE=12AC−CE，
∵AC=5，BC=3，
∴BD=12×5−3=1．
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质，等腰三角形的判定与性质．熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题的关键．
【变式1】（2023下·广东河源·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB=AC，点M在CA的延长线上MN⊥BC于点N，交AB于点O，若AO=3，BO=4，则MC的长度为（ ）

A．12B．9C．10D．11
【答案】C
【分析】由题意，根据等角对等边得到AM=AO=3，再结合AC=AB=7，即可求出答案．
【详解】解：∵MN⊥BC于点N，
∴∠C+∠M=90°，∠B+∠BON=90°，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠M=∠BON=∠AOM，
∴AM=AO=3，
∵AC=AB=AO+BO=3+4=7，
∴CM=AC+AM=7+3=10．
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，等角对等边，以及余角的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确得到AM=AO=3．
【变式2】（2023上·广东珠海·八年级珠海市第九中学校考期中）如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=30°，AB⊥AD，AD=4cm，则BC=（ ）

A．8B．10C．12D．14
【答案】C
【分析】根据等腰三角形的性质求出∠B=∠C=30°，根据三角形内角和定理求出∠BAC，求出∠DAC=∠C，根据等腰三角形的判定得出AD=DC=4cm，根据含30°角的直角三角形的性质得出BD=2AD=8cm，再求出答案即可．
【详解】解：∵AB=AC，∠C=30°，
∴∠B=∠C=30°，
∴∠BAC=180°−∠B−∠C=120°，
∵AB⊥AD，
∴∠BAD=90°，
∴∠DAC=∠BAC−∠BAD=120°−90°=30°=∠C，
∴AD=DC，
∵AD=4cm，
∴DC=4cm，
在Rt△BAD中，∠B=30°，
∴BD=2AD=8cm，
∴BC=BD+DC=8+4=12cm，
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，能求出∠B和∠DAC的度数是解此题的关键．
【变式3】（2023上·福建福州·八年级校考期中）如图，AC=BC=10cm，∠B=15°，AD⊥BC于点D，则AD的长为（ ）

A．3cmB．4cmC．5cmD．6cm
【答案】C
【分析】根据等腰三角形的性质可得∠B=∠CAB=15°，再根据三角形外角的性质可得∠ACD=30°，再根据直角三角形的性质可得AD=12AC=5cm，即可．
【详解】解：∵AC=BC=10cm，
∴∠B=∠CAB=15°，
∴∠ACD=∠B+∠CAB=30°，
∵AD⊥BC，
∴AD=12AC=5cm，
故选：C．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质、三角形外角的性质及直角三角形的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．
考点3：等腰三角形的性质——三线合一
典例3：（2023上·湖南岳阳·八年级校考期中）如图，AC，AD分别为△ABE 的中线和高，AC=AE，AD=5，DE=2，则△ABE面积为( )

A．5B．10C．15D．20
【答案】D
【分析】本题考查了三角形的高与中线的定义与性质，等腰三角形的性质，根据三角形的面积公式求得即可求解．
【详解】解：∵AC=AE，AD是高线，根据“三线合一”的性质，CD=CE=2，
∵AC是中线，
∴C是BE中点，
∴ BC=CE=4，
∴BE=8
∴ S△ABE=12×BE×AD=12×8×5=20
故选：D．
【变式1】（2023上·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，在△ABD中，点C在BD边上，∠CAD=90°，AC=AD，∠CBA=∠CAB，AB=5，则点D到AB边的距离是（ ）

A．2B．2.5C．3D．4
【答案】B
【分析】过点D作DE⊥BA，交BA延长线于点E，过点C作CF⊥BA于点F，首先根据等腰三角形“三线合一”的性质推导AF=12AB=2.5，再证明△ADE≌△CAF，由全等三角形的性质可得DE=AF=2.5，即可获得答案．
【详解】解：如下图，过点D作DE⊥BA，交BA延长线于点E，过点C作CF⊥BA于点F，

∵∠CBA=∠CAB，AB=5，CF⊥BA，
∴AF=BF=12AB=2.5，
∵DE⊥BA，CF⊥BA，
∴∠DEA=∠AFC=90°，
又∵∠CAD=90°，
∴∠CAF+∠DAE=∠DAE+∠ADE=90°，
∴∠CAF=∠ADE，
在△ADE和△CAF中，
∠DEA=∠AFC∠ADE=∠CAFAD=CA，
∴△ADE≌△CAF(AAS)，
∴DE=AF=2.5，
∴点D到AB边的距离是2.
故选：B．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键．
【变式2】（2022上·浙江台州·八年级校联考期中）如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AB=2，BC=5，点E在BA的延长线上，点D在BC边上，且ED=EC，若AE=4，则BD的长等于( )

A．1B．32C．2D．52
【答案】A
【分析】如图所示过点E作EF⊥BC，根据30°所对边为斜边一半可计算BF长度，进而可计算BD的长度．
【详解】解：如图所示过点E作EF⊥BC于F，在Rt△BEF中，

∵∠BFE=90°，∠B= 60°，
∴∠BEF=90°−60°=30°，
∵AB=2，AE=4，
∴ BF=12BE=12AB+AE=12×2+4=3，
∵ BC=5，
∴ CF=BC−BF=5−3=2，
∵ ED=EC，EF⊥BC于F，
∴ DC=2CF=4，
∴ BD=BC−DC=5−4=1，
故选：A．
【点睛】本题考查直角三角形30°所对的边等于斜边的一半，等腰三角形的性质，在图中构造合适的辅助线的解题的关键．
【变式3】（2023下·湖南邵阳·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点D为BC的中点，DE⊥AC于点E，AE=2，则CE为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】C
【分析】连接AD，利用等边对等角得∠B=∠C=30°，在Rt△ADE中，得AD=4，在Rt△ADC中，得AC=8，即可求出CE的长.
【详解】解：如图：连接AD，
∵AB=AC，∠BAC=120°，D 为BC的中点，
∴AD⊥BC，AD平分∠BAC，∠B=∠C=30°，
∴∠DAC=∠BAC=60°，
∵DE⊥AC于E，
∴∠AED=90°，
∴∠ADE=30°，
在Rt△ADE中，AE=2，∠ADE=30°，
∴AD=2AE=4，
在 Rt△ADC中，AD=4，∠C=30°，
∴AC=2AD=8，
则CE=AC−AE=8−2=6．
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三线合一和含30°的特殊直角三角形的性质，熟练运用三线合一的性质是解题关键．
考点4：等腰三角形的性质——规律探究
典例4：（2023上·浙江杭州·八年级校考开学考试）在平面直角坐标系中，若干个边长为1个单位长度的等边三角形，按如图中的规律摆放．点P从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿着等边三角形的边“OA1→A1A2→A2A3→A3A4→A4A5⋅⋅⋅”的路线运动，设第n秒运动到点Pn（n为正整数），则点P2023的坐标是（ ）

A．20212,−32B．20212,32C．20232,−32D．20232,32
【答案】D
【分析】每6个点一个循环，它们的纵坐标规律为32，0，32，0，−32，0，点P的横坐标规律为12，1，32，2，52，3，⋯，n2，即可求解．
【详解】解：由图可得，每6个点一个循环，它们的纵坐标规律为32，0，32，0，−32，0，
∵2023÷6=337……1，
∴点P2023的纵坐标为32，
点P的横坐标规律为12，1，32，2，52，3，⋯，n2，
∴点P2023的横坐标为20232，
∴点P2023的坐标为20232,32，
故选：D．
【点睛】本题考查点的规律，理解题意，根据所绘图形的特点，结合平面直角坐标系中点的特点及正三角形边的特点，确定点的坐标规律是解题的关键．
【变式1】（2023下·北京海淀·七年级校考期中）如图，在一单位为1的方格纸上，△A1A2A3,△A3A4A5,△A5A6A7⋅⋅⋅，都是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形，若△A1A2A3的顶点坐标分别为A12,0，A21,−1，A30,0，则依图中所示规律，A2012的坐标为（ ）

A．1008,0B．1006,0C．2,2012D．2,1006
【答案】D
【分析】由等腰直角三角形的性质可得：直角顶点的纵坐标的长度为斜边的一半，然后求出下标为偶数的点的坐标，找到规律，进而求解.
【详解】解：∵各三角形都是等腰直角三角形，
∴直角顶点的纵坐标的长度为斜边的一半，
可得：A21,−1，A42,2，A61,−3，A82,4，A101,−5，A122,6，……，
∵2012÷4=503，
∴点A2012在第一象限，横坐标是2，纵坐标是2012÷2=1006，
故选：D.
【点睛】本题考查了点的坐标规律探寻，找到规律是解题的关键.
【变式2】（2023·安徽滁州·校联考二模）如图所示，在平面直角坐标系中，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，⋯都是等边三角形，其边长依次为2，4，6，⋯其中点A1的坐标为2,0，点A2的坐标为1,−3，点A3的坐标为0,0，点A4的坐标为2,23，…，按此规律排下去，则点A100的坐标为（ ）

A．1,503B．1,513C．2,503D．2,513
【答案】C
【分析】观察所给图形，发现x轴上方的点是4的倍数，确定点A100在x轴上方，分别求出点A4的坐标为2,23，点A8的坐标为2,43，……，点A4n的坐标为2,2n3，即可求解．
【详解】解：观察所给图形，发现x轴上方的点是4的倍数，
∵100÷4=25，
∴点A100在x轴上方，
∵A3A4=4，
∴A54,0，
∵A5A7=6，
∴A7−2,0，
∵A8A7=8，
∴点A8的坐标为2,43，
同理可知，点A4n的坐标为2,2n3，
∴点A100的坐标为2,503.
故选：C．
【点睛】本题考查点的坐标的变化规律；能够通过所给图形，找到点的坐标规律，利用有理数的运算解题是关键．
【变式3】（2022·辽宁鞍山·统考一模）如图，直线OA的解析式为y＝x，点P1坐标为（1，0），过P1作PQ1⊥x轴交OA于Q1，过Q1作P2Q1⊥OA交x轴于P2，过P2作P2Q2⊥x轴交OA于Q2，过Q2作P3Q2⊥OA交x轴于P3，…，按此规律进行下去，则P100的坐标为（ ）
A．（2100﹣1，0）B．（5050，0）C．（299，0）D．（100，0）
【答案】C
【分析】根据直线解析式确定，∠AOP1＝45°，再根据等腰直角三角形的判定与性质求得前面几个点的坐标，找出规律即可求解．
【详解】解：∵直线OA的解析式为y＝x，
∴∠AOP1＝45°，
∵PQ1⊥x轴，
∴△OP1Q1为等腰直角三角形，
∵点P1坐标为（1，0），
∴P1Q1＝OP1＝1，
∵P2Q1⊥OA，
∴∠P1Q1P2＝45°，
∴△P1P2Q1为等腰直角三角形，
∴P1P2＝P1Q1＝1，
∴P2（2，0），
同理可得P3（4，0），P4（8，0），……，Pn（2n﹣1，0），
∴P100（299，0），
故选：C．
【点睛】此题考查了坐标类规律的探索问题，涉及了正比例函数的性质、等腰直角三角形的性质。解题的关键是根据题意，利用性质找出前面几个点的坐标，正确找出规律，然后求解．
考点5：等腰三角形的性质——动点问题
典例5：（2023上·广东惠州·八年级统考期中）如图，坐标平面内一点A3,−2，O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．1
【答案】C
【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①OA为等腰三角形底边；②OA为等腰三角形一条腰．
【详解】如图：
①OA为等腰三角形底边，符合条件的动点P有一个；
②OA为等腰三角形一条腰，符合条件的动点P有三个．
综上所述，符合条件的点P的个数共4个．
故选：C．
【变式1】（2023上·全国·八年级课堂例题）如图，P是射线ON上一动点，∠AON=30°，当△AOP为等腰三角形时，∠OAP的度数一定不可能是（ ）

A．120°B．75°C．60°D．30°
【答案】C
【分析】分AO=AP、AO=OP和OP=AP三种情况，利用等腰三角形的性质结合三角形的内角和定理解答即可．
【详解】解：若△AOP为等腰三角形则有AO=AP、AO=OP和OP=AP三种情况，
①当AO=AP时，则有∠O=∠APO=30°，故∠A=120°；
②当AO=OP时，则∠A=∠APO=12180°−30°=75°；
③当OP=AP时，则∠A=∠AON=30°，
综上可知：∠A不可能为60°；
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，正确分类、熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
【变式2】（2023·河北邢台·模拟预测）如图，在直角坐标系中，已知点A4,0，点B为y轴正半轴上一动点，连接AB，以AB为一边向下作等边三角形ABC，连接OC，则OC的最小值为（ ）

A．2B．23C．1+23D．4
【答案】A
【分析】以OA为对称轴作等边△ADE，连接EC并延长交x轴于F，证明△ADB≌△AECSAS得到∠OEC=60°，则点C在直线EF上运动，当OC⊥EF时，OC最小，利用等腰三角形的判定与性质，结合含30度角的直角三角形的性质求解OC=12OF=12OA即可．
【详解】解：如图，以OA为对称轴作等边△ADE，连接EC并延长交x轴于F，

则∠BAD=∠CAE=60°−∠DAC，AB=AC，AD=AE，
∴△ADB≌△AECSAS，
∴∠AEC=∠ADB=180°−60°=120°，
∴∠OEC=∠AEC−∠AED=60°，
∴点C在直线EF上运动，
当OC⊥EF时，OC最小，
∵∠OFE=∠OAE=90°−60°=30°，OE⊥AF，A4,0，
∴OC=12OF，OF=OA=4，
∴OC=2，即OC的最小值为2，
故答案为：
【点睛】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、垂线段最短，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加合适的辅助线构造等边三角形和全等三角形，进而确定点C的运动轨迹是解答的关键．
【变式3】（2023下·山西运城·八年级统考期末）如图，在折线段A−B−C中，BC可绕点B旋转，AB=6，BC=2，线段AB上有一动点P，将线段AB分成两部分，旋转BC，PA，当三条线段BC，BP，PA首尾顺次相连构成等腰三角形时，BP的长为（ ）

A．3B．2或3C．2或4D．2或3或4
【答案】A
【分析】分三种情况讨论，由等腰三角形的性质和三角形的三边关系可求解．
【详解】解：当AP=BP时，
∵AP+BP=6，
∴BP=3，
当AP=BC=2时，则BP=4，
∵2+2=4，
∴三条线段BC，BP，PA不能构成三角形，
当BP=BC=2时，则AP=4，
∵2+2=4，
∴三条线段BC，BP，PA不能构成三角形，
故选：A．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
考点6：等腰三角形的判定——等角对等边
典例6：（2023上·山东济宁·七年级济宁学院附属中学校考期中）已知：如图△ABC中AC=＝6cm，AB=8cm，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，过D作直线平行于BC，交AB，AC与E，F．
(1)求证：△DFC是等腰三角形；
(2)求△AEF的周长．
【答案】(1)见解析
(2)14cm
【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义等，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）首先根据平行线的性质可得∠FDC=∠DCB，再根据角平分线的定义可得∠FCD=∠BCD，可得∠FCD=∠FDC，据此即可证得；
（2）同理（1）可得DE=BE，根据△AEF的周长=AE+AF+DE+DF=AB+AC，求解即可．
【详解】（1）∵EF∥BC，
∴∠FDC=∠DCB，
∵CD平分∠ACB，
∴∠FCD=∠DCB，
∴∠FDC=∠FCD，
∴FD=FC，
∴△DFC是等腰三角形；
（2）∵EF∥BC，
∴∠EDB=∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD=∠DBC，
∴∠EDB=∠EBD，
∴ED=EB，
∵AC=6cm，AB=8cm，
∴△AEF的周长为：AE+EF+AF
=AE+ED+FD+AF
=AE+EB+FC+AF
=AB+AC
=8+6
=14cm．
【变式1】（2023上·福建福州·八年级校联考期中）如图，在△ABC中，AC>BC,∠A=45°，点D是AB边上一点，且CD=CB，过点B作BF⊥CD于点E，与AC交于点F，过点C作CG⊥BD，垂足为点G．
(1)求证：∠ABF=∠BCG；
(2)判断△BCF的形状，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)△BCF是等腰三角形．理由见解析
【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，同角的余角相等，三角形的外角，熟练掌握三线合一，等角对等边证明等腰三角形是解题的关键．
（1）等腰三角形三线合一得到∠DCG=∠BCG，∠DCG+∠CDG=90°，根据BF⊥CD，得到∠ABF+∠CDG=90°，推出∠ABF=∠DCG，即可得到∠ABF=∠BCG；
（2）先求出∠ACG=45°，再根据角之间的关系和三角形的外角得到∠ACB=∠ACG+∠BCG=45°+∠BCG, ∠BFC=∠A+∠ABF=45°+∠ABF,推出∠ACB=∠BFC，得到BC=BF，即可．
【详解】（1）证明：∵BC=DC,CG⊥BD,
∴∠DCG=∠BCG,∠DCG+∠CDG=90°．
∵BF⊥CD于点E,
∴∠ABF+∠CDG=90°,
∴∠ABF=∠DCG．
∴∠ABF=∠BCG.
（2）解：△BCF是等腰三角形．
理由：
∵∠A=45°,CG⊥AB,
∴∠ACG=45°，
∵∠ACB=∠ACG+∠BCG=45°+∠BCG, ∠BFC=∠A+∠ABF=45°+∠ABF,
由（1）知，∠ABF=∠BCG，
∴∠ACB=∠BFC．
∴BC=BF，
即△BFC为等腰三角形．
【变式2】（2023上·湖南长沙·八年级湖南师大附中博才实验中学校考期中）如图，把四边形纸片ABCD沿AC折叠，点B落在点E处，CE与AD相交于点O．已知在四边形纸片ABCD中，AD∥BC．
(1)求证：△AOC是等腰三角形；
(2)若BC⊥CD于点C，∠OCD=30°，CD=23，OD=2，求△AOC的面积．
【答案】(1)见解析；
(2)43．
【分析】（1）根据翻折的性质可得∠BCA=∠ECA，由AD∥BC得出∠BCA=∠OAC，从而即可证明；
（2）由BC⊥CD求出∠BCD=90°，根据平行线的性质得出∠D=90°，再通过勾股定理得OA=OC=4，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解．
【详解】（1）由折叠性质可知：∠BCA=∠ECA，
∵AD∥BC，
∴∠BCA=∠OAC，
∴∠OAC=∠ECA，
∴OA=OC，
∴△AOC是等腰三角形；
（2）∵BC⊥CD，
∴∠BCD=90°，
∵AD∥BC，
∴∠BCD+∠D=180°，
∴∠D=90°，
在Rt△OCD中，由勾股定理得：OC=OD2+CD2=22+232=4，
由（1）得：OA=OC=4，
∴△AOC的面积为12OA·CD=12×4×23=43．
【点睛】此题考查了翻折变换的性质，等腰三角形的判定，平行线的性质和勾股定理，熟练掌握以上知识的应用是解题的关键．
【变式3】（2023上·全国·八年级专题练习）如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AC上的一点，BE交AD于点F，已知AE=EF，求证：AC=BF．

【答案】见解析．
【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，三角形中线的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线．
延长AD到G，使得DG=AD，连接BG，证明△ADC≌△GDB(SAS) 得到AC=BG且∠CAD=∠G，再由等腰三角形的性质得到AE=EF，继而证明BG=BF，据此解题．
【详解】证明：延长AD到G，使得DG=AD，连接BG，

在△ADC和△GDB中 ，
AD=GD∠ADC=∠GDBCD=BD，
∴△ADC≌△GDB(SAS)，
∴AC=BG 且∠CAD=∠G，
∵AE=EF，
∴∠EFA=∠EAF，
∴∠G=∠EFA，
∵∠EFA=∠BFG，
∴∠G=∠BFG，
∴BG=BF，
∵AC=BG，
∴BF=AC．
考点7：等腰三角形的判定的实际应用
典例7：（2023下·北京朝阳·八年级北京八十中校考期中）上午10时，一条船从A处出发，以每小时15海里的速度向正北航行，12时到达B处．从A处望灯塔C为北偏东30°，从B处望灯塔C为北偏东60°，求轮船继续航行多长时间在灯塔C的正西方向？并求出此时轮船和灯塔的距离．（结果保留根号）
【答案】轮船继续航行12小时在灯塔C在正西方向，此时轮船和灯塔的距离为1532海里．
【分析】求出∠ACB=30°，∠BCD=30°，可证AB=BC，进而求出BD、CD的长即可．
【详解】如图，轮船与灯塔的距离是线段CD的长，由题意得，∠CAB=30°，∠CBD=60°，
∴∠ACB=60°−30°=30°，∠BCD=90°−60°=30°，
∴AB=BC．
∵AB=15×12−10=30海里，
∴BC=30海里，
∴BD=12BC=152海里，
∴CD=152−1522=1532海里，152÷15=12小时．
所以轮船继续航行12小时在灯塔C在正西方向，此时轮船和灯塔的距离为1532海里．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，证明AB=BC是解答本题的关键．
【变式1】（2022上·河北邯郸·九年级邯郸市第二十三中学校考期末）在一次海上救援中，两艘专业救助船A、B同时收到某事故渔船P的求救讯息，已知此时救助船B在A的正北方向，事故渔船P在救助船A的北偏西30°方向上，在救助船B的西南方向上，且事故渔船P与救助船A相距60海里．
(1)求收到求救讯息时事故渔船P与救助船B之间的距离（结果保留根号）；
(2)求救助船A、B分别以20海里/小时，15海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往事故渔船P处搜救，试通过计算判断哪艘船先到达．
【答案】(1)302海里
(2)救助船B先到达，计算过程见解析
【分析】（1）如图，作PC⊥AB于C，在△PAC中先求出PC的长，继而在△PBC中求出BP的长即可；
（2）根据“时间=路程÷速度”分别求出救助船A和救助船B所需的时间，进行比较即可．
【详解】（1）解：如图，过点P作PC⊥AB于C，
∴∠PCA=∠PCB=90°，
由题意得：PA=60海里，∠A=30°，∠BPC=45°，
∴PC=12PA=30海里，△BCP是等腰直角三角形，
∴BC=PC=30海里，PB=PC2+BC2=302海里，
答：收到求救讯息时事故渔船P与救助船B之间的距离为302海里；
（2）解：∵PA=60海里，PB=302海里，救助船A，B分别以20海里/小时、15海里/小时的速度同时出发，
∴救助船A所用的时间为6020=3(小时)，
救助船B所用的时间为30215=22(小时)，
∵3>22，
∴救助船B先到达．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，涉及了含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定，勾股定理的应用等，熟练正确添加辅助线构建直角三角形是解题的关键．
【变式2】（2022上·重庆·九年级重庆南开中学校考阶段练习）如图，A→B→C→D→A是某城市定向徒步挑战赛的四边形赛道，点B位于点A的东北方向56千米处．点C位于点B的正东方向5.7千米处，点D位于点A的正东方向且AD⊥CD．
(1)AD赛道上有一医疗救护站E，且点E位于点B的南偏东30°方向，求DE的长；
(2)主办方现准备从起点A开始沿该赛道顺次设置工作点，根据完事组织标准，主办方每5千米需设置1个工作点，每个工作点需安排至少3名志愿者，由于A点也是赛道的终点，额外再需要5名志愿者．若主办方拟安排35名志愿者．那么本次定向徒步挑战赛能否达到完事组织标准？请通过计算说明理由．
【答案】(1)2.5千米
(2)能，理由见解析
【分析】（1）根据一个角是45°的直角三角形和一个叫是30°的直角三角形的三边关系求解即可；
（2）先求四边形的总长度的近似值，然后根据题干要求进行计算比较即可．
【详解】（1）解：如图，过点B作BF⊥AD于F点，∠FBE=30°，BE交AD于E点，
由题意可知，AB=56，ΔABF为等腰直角三角形，BC=7.5，
四边形BCDF为长方形，
∴BF=AF=562=53，
∴EF=533=5，
∴DE=DF−EF=7.5−5=2.5（千米）；
（2）由（1）可知，
AB+BC+CD+AD=56+7.5+53+7.5+53=56+10+15，
∴需要设置的工作点：56+103+155=6+23+3≈9，
需要的工作人员：9×3+5=32（人），
∵32