北师大版初中数学八年级下册 专题02 等边三角形【知识串讲+9大考点】(原卷版+解析版）

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专题02 等边三角形 考点类型 知识一遍过（一）等边三角形（1）等边三角形性质①等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60º②在直角三角形中，如果一个锐角等于30º，那么它所对的直角边等于斜边的一半（2）等边三角形判定①三个角都相等的三角形是等边三角形。②有一个角是60º的等腰三角形是等边三角形。（二）解题方法（1）三角形三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三边的距离等。（2）三角形三个边的中垂线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。（3）常用辅助线： = 1 \* GB3 ①三线合一； = 2 \* GB3 ②过中点做平行线[来源:（4）含30°角的直角三角形性质（三）等腰三角形与等边三角形的区别 考点一遍过考点1：等边三角形的性质——求角典例1：（2023上·河南新乡·八年级新乡市第一中学校考期中）如图，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一条直线上，连接BE，则∠AEB的度数是（　　）A．60°B．56°C．45°D．30°【变式1】（2023上·广东广州·八年级校联考阶段练习）如图，等边△ABC中，AD为BC边上的高，点M、N分别在AD、AC上，且AM=CN，连BM、BN，当BM+BN最小时，∠MBN的度数为（　　）  A．15°B．22.5°C．30°D．47.5°【变式2】（2022上·福建福州·八年级校考期中）如图所示，ΔABC是等边三角形，BD⊥AB，且AB=BD，则∠ACD的度数为（    ）  A．45°B．50°C．55°D．60°【变式3】（2023下·安徽·九年级专题练习）如图，直线m∥n，△ABC是等边三角形，顶点B在直线n上，直线m交AB于点E，交AC于点F，若∠1=135°，则∠2的度数是（    ）  A．75°B．95°C．105°D．135°考点2：等边三角形的性质——求线段典例2：（2023上·广西南宁·九年级南宁三中校考期中）如图，过边长为4的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为（    ）A．95B．2C．115D．125【变式1】（2023上·福建福州·八年级福建省福州第十九中学校考期中）如图，△ABC是等边三角形，点D是AC的中点，DE⊥BC，CE=3，则AC等于（    ）A．6B．8C．9D．12【变式2】（2023上·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图：△ABC是等边三角形，AE=CD，AD，BE相交于点P，BQ⊥AD于Q，AD=9，PE=1，则PQ的长是（    ）A．4B．5C．6D．7【变式3】（2022下·陕西榆林·八年级统考期末）如图，△ABC是等边三角形，点D在BC的延长线上，点E是AC的中点，连接DE并延长交AB于点F，且CE=CD，若EF=2，则DF的长为（    ）  A．3B．4C．6D．8考点3：等边三角形的性质——手拉手全等典例3：（2023上·湖北武汉·八年级校联考期中）如图，△ABM和△CDM均为等边三角形，直线BC交AD于点F，点E、N分别为AD、BC的中点，下列结论：①AD=BC；②ME⊥CB；③AF−BF=MF；④△MNE为等边三角形；⑤MF平分∠BME，其中一定成立的有（    ）个A．1B．2C．3D．4【变式1】（2023上·辽宁抚顺·八年级统考期中）如图，△ABC和△CDE均是等边三角形，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接CO．以下五个结论：①AD=BE；②AP=BO；③QE=DP；④∠AOE=120°；⑤CO平分∠AOE．其中结论正确的有（　　）个．  A．1B．2C．3D．4【变式2】（2023上·黑龙江鸡西·八年级统考阶段练习）如图，C为线段AE上一动点（不与A、E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③CP=CQ；④BO=OE；⑤∠AOB=60°，恒成立的结论有（　　）A．①③⑤B．①③④⑤C．①②③⑤D．①②③④⑤【变式3】（2023上·广东江门·八年级校考阶段练习）如图，已知点B是AC边上的动点（不与A，C重合），在AC的同侧作等边△ABD和等边△BCE，连接AE，CD，下列结论正确的个数有（　　）①△ABE≌△DBC；②∠CHE=60°；③GF∥AC；④△BFG是等边三角形；⑤BH平分∠AHC；⑥AH=DH+BH．    A．3个B．4个C．5个D．6个考点4：等边三角形的性质——证明典例4：（2023上·山东临沂·八年级校考阶段练习）如图，△ABE和△ACD都是等边三角形，BD和CE相交于点O．(1)求证：△AEC≌△ABD(2)求∠BOC的度数．【变式1】（2023上·山东菏泽·八年级统考期中）已知：如图，点E是正方形ABCD内一点，△EBC是等边三角形，求∠AED的度数．  【变式2】（2023上·广西河池·八年级统考期中）如图，边长为4cm的等边△ABC中，点P、Q分别是边AB、BC上的动点（端点除外），点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，AQ，CP交于点M，在点P、Q的运动过程中．(1)求证：△ABQ≌△CAP；(2)∠QMC的大小是否发生变化？若无变化，求∠QMC的度数；若有变化；说明理由．【变式3】（2023上·湖南长沙·八年级校联考期中）如图，等边三角形ABC中，D为BC边的中点，F为CA的延长线上一点，过点F作FG⊥BC于G点，并交AB于E点，  (1)求证：AD∥FG；(2)若AC=6，GD=1，求AF的长．考点5：含30°角直角三角形性质典例5：（2023上·浙江金华·八年级校联考期中）如图，∠AOB=30°，点P在OA上，且OP=3，M是OA上的点，在OB上找点N，以PM为直角边，P，M，N为顶点作等腰直角三角形，则MN的长不可能是（  ）  A．6B．3C．33+32D．33−32【变式1】（2023上·吉林·八年级校联考期中）如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是（    ）  A．1.8B．2.2C．3.5D．3.8【变式2】（2023上·天津西青·八年级校考期中）如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，DE垂直平分AB于点D，交BC于点E，若DE=2，则CE长为（    ）  A．4B．6C．8D．10【变式3】（2023上·河南商丘·八年级校考期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=6，CD是高，则AD的长为（　　）  A．6B．7C．8D．9考点6：等边三角形的判定典例6：（2023上·湖南长沙·八年级校联考期中）如图，点E在△ABC的外部，点D在边BC上，DE交AC于点F，若∠1=∠2，AE=AC，∠B=∠ADE．  (1)求证：AB=AD；(2)若∠1=60°，判断△ABD的形状，并说明理由．【变式1】（2023上·江西南昌·八年级校联考期中）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的中线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．  (1)若∠BDE=30°，求证：△ABC是等边三角形；(2)求证：△BDE≌△CDF；(3)若∠B=60°，BD=4，求AF的长．【变式2】（2023上·福建福州·八年级福建省福州第一中学校考期中）如图，在△ABC中，点P为AB边上一点．  (1)尺规作图：请在AC上求作一点D，使得PD∥BC（保留作图痕迹，不写作法）．(2)在（1）的条件下，AB=AC，∠A=60°，求证：△APD是等边三角形．【变式3】（2023下·辽宁沈阳·八年级统考期中）如图，已知∠AOB=120°，点P是∠AOB的平分线OC上一点，点M，N分别是边OA，OB上的点，且∠MPN=60°．  (1)求证：△MNP是等边三角形；(2)若点P到OB的距离为8，则OM+ON= ______ ．考点7：等边三角形综合典例7：1．（2022上·湖北咸宁·八年级咸宁市温泉中学校考期中）如图，点D，E，F分别在等边△ABC的三条边上，且BE=CF，AB=6．  (1)若BF=CD，试判断△DEF的形状，并说明理由；(2)若△BEF是直角三角形，求BE的长；(3)如图2，若点D是AC边中点，点E，F分别在边AB，BC上运动，当△DEF的周长最小时，直接写出此时∠EDF的度数．【变式1】（2023上·全国·八年级专题练习）如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB=110°，∠OCD=60°，∠BOC=α，△BOC≌△ADC，连接OD．(1)求证：△OCD是等边三角形；(2)当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；(3)探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．【变式2】（2023上·福建泉州·八年级福建省泉州市培元中学校考期中）如图，在等边三角形ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，且BD=CE，BE与AD交于点F，在FA上截取FG=FE，连接GE．  (1)求证：△ABD≌△BCE；(2)若∠AEG=20°，求∠EAG的度数．【变式3】（2023上·天津西青·八年级校考期中）已知：如图，点P是等边△ABC内一点，点Q是BP延长线上一点，且∠ABP=∠ACQ，BP=CQ．  (1)求证：△ABP≌△ACQ；(2)求证：△APQ是等边三角形；(3)线段CQ、AP、BQ三者之间有怎样的数量关系?并请你说明理由．考点8：等边三角形综合——动点典例8：（2023上·江苏苏州·八年级校考阶段练习）点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC的边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都是1cm/s，设运动时间为ts．(1)连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由；若不变，则求出它的度数；(2)连接PQ，当运动时间为多少时，△BPQ是等边三角形，并说明理由；(3)连接PQ，当△BPQ为直角三角形时，则t=________s．（直接写出结果）【变式1】（2023上·内蒙古巴彦淖尔·八年级校考期末）如图，C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．  (1)求证：△BEC≌△ADC ；(2)求证：△ACP≌△BCQ； (3)判断△PCQ的形状，并说明理由．【变式2】（2023下·山东济南·七年级统考期末）在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点(不与B、C重合)，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．(1)如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90°．  ①则△ABD与△ACE全等吗？请说明理由；②求∠BCE的度数；(2)如图2，如果∠BAC=60°，当点D在线段BC上移动，则∠BCE的度数是 °；  (3)如图2，当点D在线段BC上，如果∠BAC=60°，D点为△ABC中BC边上的一个动点(D与B、C均不重合)，当点D运动到什么位置时，△DCE的周长最小？【变式3】（2022上·江苏苏州·八年级统考期中）如图，等边△ABC的边长为6cm，现有两动点M、N分别从点A、B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s，当点N第一次到达点B时，点M、N同时停止运动．    (1)点M、N运动几秒后，M、N两点重合？(2)点M、N运动几秒后，以点A、M、N为顶点的三角形是等边三角形？(3)当点M、N在边BC上运动时，连接AM、AN，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如能，请求出此时点M、N运动的时间．考点9：等边三角形综合——规律典例9：（2022上·北京昌平·八年级统考期末）如图，△ABC是等边三角形，D是线段BC上一点（不与点B，C重合），连接AD，点E，F分别在线段AB,AC的延长线上，且DE=DF=AD，点D从B运动到C的过程中，△CDF周长的变化规律是（    ）A．不变B．一直变小C．先变大后变小D．先变小后变大【变式1】（2023·河南安阳·统考一模）在平面直角坐标系中，将若干个边长为2个单位长度的等边三角形按如图所示的规律摆放，点P从原点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿着等边三角形的边OA1→A1A2→A2A3→A3A4→A4A5…的路线运动，设第n秒运动到点Pn（n为正整数），则点P2023的坐标是（        ）A．2022,0B．2022,−3C．2023,3D．2023,−3【变式2】（2022上·山东济宁·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A坐标是0，4，以为边在右侧作等边三角形OAA1，过点A1作x轴的垂线，垂足为点O1，以O1A1为边在右侧作等边三角形O1A1A2，再过点A2作x轴的垂线，垂足为点O2，以O2A2为边在右侧作等边三角形O2A2A3，……，按此规律继续作下去，得到等边三角形O2022A2022A2023，则点A2023的纵坐标为（    ）A．122021B．122022C．122023D．122024 同步一遍过一、单选题1．（2022上·九年级课前预习）等边三角形的一边与这边上的高的比是（    ）A．3：2B．3：1C．2：3D．1：32．（2022上·四川广安·八年级统考期末）下列说法正确的是（    ）A．等腰三角形的中线，高线、角平分线重合B．若多边形的边数增加，则它的外角和和内角和都会增加C．一条线段的垂直平分线的垂足，也是这条线段的中点D．有一个外角是60°的等腰三角形是等边三角形3．（2022上·河北廊坊·八年级校联考期末）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，以顶点B为圆心、适当长为半径作弧，在边BC、BA上截取BE、BD；然后分别以点D、E为圆心、以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F；作射线BF交AC于点G．若BG=2，P为边AB上一动点，则GP的最小值为（    ）  A．12B．2C．1D．无法确定4．（2023下·河北保定·八年级校考阶段练习）如图，OM平分∠AOB，MC∥OA，MD⊥OA于D，若∠OMD=75°，OC=8，则MD的长为（    ）  A．2B．3C．4D．55．（2022下·甘肃兰州·八年级校考期中）如图，等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE=3，当EF+CF取得最小值时，则∠ECF的度数为（   ）A．15°B．22.5°C．30°D．45°6．（2022上·山东临沂·八年级统考期中）已知等边△ABC的边长为6，D是AB上的动点，过D作DE⊥AC于点E，过E作EF⊥BC于点F，过F作FG⊥AB于点G．当G与D重合时，AD的长是（     ）     A．1          B．2          C．3             D．47．（2022上·海南海口·八年级海南中学校考期中）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥AB交BC于点D，∠BAC=120°，AD=3，则BC的长为（　　）A．6B．7.5C．9D．10.58．（2022上·山东济宁·八年级统考期中）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，AD⊥BC于D，BE是∠ABC的平分线，且交AD于P，如果AP=2，则AC的长为（    ）A．2B．4C．5D．69．（2022下·山东菏泽·八年级统考期末）如图，在△ABC中,∠C=90°，∠A=30°，CD=2，AB的垂直平分线MN交AC于D，连接BD，则AC的长是（  ）A．4B．3C．6D．510．（2022上·河南洛阳·八年级统考期末）如图，已知AF=AB，∠FAB=60°，AE=AC，∠EAC=60°，CF和BE交于O点，则下列结论：：①CF=BE；②∠COB=120°；③OA平分∠FOE；④OF=OA+OB．其中正确的有（    ）A．①②B．①②③C．①②③④D．①②④二、填空题11．（2022上·重庆开州·八年级校联考期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE是AB的垂直平分线，BE=5，则AC的长为 12．（2023上·北京海淀·八年级北京市十一学校校考期中）已知等边△ABC中AD⊥BC，AD=12，若点H在线段AD上运动，12AH+CH取最小值时，DH的值为 ．13．（2022上·安徽阜阳·八年级统考期末）AB=AC=7cm，DB=DC，若∠ABC=60°，BE= cm．14．（2022上·江苏连云港·八年级统考阶段练习）如图1．在平面内取一定点O，引一条射线Ox，再取定一个长度单位，那么平面上任一点M的位置可由OM的长度m与∠xOM的度数α确定，有序数对(m，α)称为M点的极坐标，这样建的坐标系称为极坐标系，如图2，在极坐标系下，有一个等边三角形AOB，AB＝4，则点B的极坐标为 ．15．（2022上·北京·八年级期中）如图，ΔABC为等边三角形，点D与点C关于直线AB对称，E，F分别是边BC和AC上的点，BE=CF，AE与BF交于点G，DG交AB于点H．下列四个结论中：①ΔABE≅ΔCBF；②AG+BG=DG；③HG+GE=GF；④ΔAHF为等边三角形．所有正确结论的序号是 ．16．（2023·四川成都·成都七中校考三模）如图，△ABC中，以点A为圆心任意长为半径画弧交线段AB、AC于点M、N，分别以点M、N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP，交BC于点D，折叠△ABC，使点A与点D重合，折痕交线段AB、AC于点E、F，若∠BAC=60°，AD=23，则AE= ．  三、解答题17．（2023上·吉林松原·八年级统考期末）如图，在△ABC中，D为边BC延长线上的一点，已知∠A=60°，∠ACD=120°．求证：△ABC是等边三角形．  18．（2022上·江苏泰州·八年级校考期中）如图，已知点D、E在△ABC的边BC上，AB=AC，AD=AE．（1）求证：BD=CE；（2）若AD=BD=DE=CE，求∠BAE的度数．19．（2022上·陕西商洛·八年级统考期末）如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，且DE//AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．（1）求∠F的度数；（2）若CD=6，求DF的长．20．（2022上·吉林长春·八年级吉林省第二实验学校校考阶段练习）图①中所示的遮阳伞，伞柄垂直于地面，其示意图如图②．当伞收紧时，点P与点A重合；当伞慢慢撑开时，动点P由A向B移动；当点P到过点B时，伞张得最开．已知伞在撑开的过程中，总有PM＝PN＝CM＝CN＝6.0分米，CE＝CF＝18.0分米，BC＝2.0分米．(1)求AP长的取值范围；(2)当∠CPN＝60°时，求AP的值．21．（2023上·福建福州·八年级校考阶段练习）如图，△ABC是等边三角形，D、E分别是BC、AC边上的点，连接AD、BE，且AD、BE相交于点P，∠AEB=∠CDA．  (1)求∠BPD的度数；(2)过点B作BQ⊥AD于Q，若PQ=3，PE=1，求BE的长．22．（2022下·九年级单元测试）已知O是等边三角形ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝135°，试问：（1）以OA，OB，OC为边能否构成一个三角形？若能，求出该三角形各角的度数；若不能，请说明理由；（2）如果∠AOB的大小保持不变，那么当∠BOC等于多少度时，以OA，OB，OC为边的三角形是一个直角三角形？23．（2022上·吉林·八年级统考期中）在等边△ABC中，点E在AB上，点D在CB延长线上，且ED＝EC．（1）当点E为AB中点时，如图1，AE　 　DB（填“＞”、“＜”“＝”）；（2）当点E为AB上任意一点时，如图2，AE　 　DB（填“＞”、“＜”“＝”），并说明理由．（提示：过点E作EF∥BC，交AC于点F）．24．（2022上·安徽淮南·八年级统考期末）在等边△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的动点，以DE为一边作等边△DEF．（1）如图1，若等边△DEF的顶点F恰好在BC上，求证：△ADE≌△CEF；（2）如图2，若BD=2AE，当点D从点A向点B运动（不运动到点B）时，连接CF，请判断∠ECF的大小是否变化并说明理由．25．（2022上·福建莆田·九年级统考期中）如图，∠AOB＝120°，OC平分∠AOB，∠MCN＝60°，CM与射线OA相交于M点，CN与直线BO相交于N点．把∠MCN绕着点C旋转．（1）如图1，当点N在射线OB上时，求证：OC＝OM+ON；（2）如图2，当点N在射线OB的反向延长线上时，OC与OM，ON之间的数量关系是　 　（直接写出结论，不必证明）