北师大版初中数学八年级下册 微专题02 等边三角形手拉手模型通关专练(原卷版+解析版）

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微专题02 等边三角形的手拉手模型通关专练 一、单选题1．（2023上·广东汕头·八年级汕头市龙湖实验中学校考期中）如图，已知△ABC和△CDE都是等边三角形，且A、C、E三点共线．AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下五个结论： ①AD=BE；②∠AOB=60°；③AP=BQ； ④△PCQ是等边三角形；  ⑤PQ∥AE．其中正确结论的有（　　）个．A．5B．4C．3D．2【答案】A【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定和性质，熟练应用三角形全等的证明是正确解答本题的关键．求出∠ACD=∠BCE，证明△ACD≌△BCESAS，可得AD=BE，①正确；求出∠BCQ=∠ACP，证明△CQB≌△CPAASA，可得AP=BQ，CP=CQ，③正确；证明△PCQ为等边三角形，故④正确；求出∠PQC=∠DCE=60°，可得PQ∥AE，⑤正确；证明BC∥DE，利用平行线的性质和三角形外角的性质可得∠AOB=60°，②正确．【详解】解：∵△ABC和△CDE为等边三角形，∴AC=BC，CD=CE，∠BCA=∠DCE=60°，∴∠ACD=∠BCE，∴△ACD≌△BCESAS，∴AD=BE，故①正确；∴∠CBE=∠DAC，∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠BCQ=180°−60°−60°=60°=∠ACP，又∵AC=BC，∴△CQB≌△CPAASA，∴AP=BQ，CP=CQ，故③正确；∴△PCQ是等边三角形，故④正确；∴∠PQC=∠DCE=60°，∴PQ∥AE，故⑤正确；∵∠ACB=∠CED=60°，∴BC∥DE，∴∠CBE=∠BED，∵∠CBE=∠DAE，∴∠AOB=∠OAE+∠AEO=∠CBE+∠AEO=∠ACB=60°，故②正确；故选：A．2．（2023上·四川达州·九年级四川省渠县中学校考开学考试）如图，在等边△PQB中，点A为PQ上一动点（不与P，Q重合），连接PC．有以下结论：①PB平分∠ABC；②AQ=CP；④PB=PA+PC；⑤当BC⊥BQ时（　　）  A．①②③B．②③④C．③④⑤D．②③④⑤【答案】D【分析】根据点A为PQ上一动点（不与P，Q重合），∠ABC=60°，可知∠ABP与∠PCQ不一定相等，可判断①；证明出△QBA≅△PBC(SAS)，可得PC∥QB，PB=PQ=PA+AQ=PA+PC，即可判断出②③④，根据垂线段最短可知，当BA⊥PQ时，AB最小，即可判断⑤．【详解】解：∵点A为PQ上一动点（不与P，Q重合），∴∠ABP与∠PCQ不一定相等，故①不正确；∵△PQB和△ABC都为等边三角形，∴PQ=QB=PB，AB=CB=AC，∴∠QBA+∠ABP=∠PBC+∠ABP=60°，∴∠QBA=∠PBC，∴△QBA≅△PBC(SAS)，∴AQ=PC，∠Q=∠BPC=∠QBP=60°，∴PC∥QB，PB=PQ=PA+AQ=PA+PC，∴②③④都正确，根据垂线段最短可知，当BA⊥PQ时，∴当BC⊥BQ时，△ABC的周长最小．故选：D．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质和最短路线问题，判断出△QBA≅△PBC是解本题的关键．3．（2023上·浙江·九年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=2，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A′B′C，此时点A′恰好在边AB上，则点B′与点B之间的距离为（    ）  A．4B．23C．3D．3【答案】B【分析】由旋转的性质，可证△ACA′、△BCB′都是等边三角形，由勾股定理求出BC的长即可．【详解】解：如图，连接BB′，  ∵将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A′B′C，∴∠BCB′=∠ACA′，CB=CB′，CA=CA′，∵∠A=60°，∴△ACA′是等边三角形，∠ABC=30°，∴∠ACA′=60°，AB=2AC，∴∠BCB′=60°，∴△BCB′是等边三角形，∴BB′＝BC，在Rt△ABC中，AB=2AC=4，∴BC= AB2−AC2 = 42−22 =2 3，∴BB′=2 3，故选：B．【点睛】本题考查了旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，找到旋转角是解题的关键．4．（2023下·陕西咸阳·八年级统考期中）如图，△ABC为等边三角形，AB=4,AD⊥BC于点D，点E为线段AD上的动点，连接CE，以CE为边在下方作等边△CEF，连接BF、DF，则线段DF的最小值为（　　）  A．2B．3C．1D．23【答案】C【分析】由等边三角形的性质可得三角形全等的条件，从而可证△BCF≌△ACE，推出∠CBF=∠CAE=30°，再由垂线段最短可知当DF⊥BF时，DF值最小，利用含30°角的直角三角形的性质定理可求DF的值．【详解】解：∵△ABC为等边三角形，AB=4,AD⊥BC，∴BC=AC=AB=4,BD=DC=2,∠BAC=∠ACB=60°,∠CAE=30°，∵△CEF为等边三角形，∴CF=CE,∠FCE=60°，∴∠FCE=∠ACB，∴∠BCF=∠ACE，∴在△BCF和△ACE中，BC=AC∠BCF=∠ACECF=CE，∴△BCF≌△ACESAS，∴∠CBF=∠CAE=30°,AE=BF，当DF⊥BF时，DF值最小，此时∠BFD=90°,∠CBF=30°,BD=2，∴DF=12BD=1，即线段DF的最小值为1．故选：C．【点睛】本题考查了旋转的性质，构造全等三角形来求线段最小值，同时也考查了30°所对直角边等于斜边的一半及垂线段最短等几何知识点，具有较强的综合性．5．（2023下·陕西咸阳·七年级统考期末）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上的一点，∠BAD=28°，在AD的右侧作△ADE，使得AE=AD，∠DAE=∠BAC，DE交AC于点O，连接CE，若CE∥AB，则∠DCE的度数为（   ）A．120°B．102°C．150°D．124°【答案】A【分析】根据已知条件证明△ABD≅△ACESAS，可得∠B=∠ACE，由AB=AC可得∠B=∠ACB，再根据CE∥AB可得∠B+∠ACD+∠ACE=180°，求出∠B=∠ACE=∠ACD=60°，然后证明△ABC，△ADE是等边三角形，进而根据三角形内角和定理即可解决问题．【详解】∵∠DAE=∠BAC，∴∠DAE−∠DAC=∠BAC−∠DAC，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE∴△ABD≅△ACESAS，∴∠B=∠ACE，∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∵CE∥AB，∴∠B+∠ACD+∠ACE=180°，∴∠B=∠ACE=∠ACD=60°，∵AB=AC AE=AD，∴△ABC，△ADE是等边三角形，∴∠BAC=60°，∠ADE=60°，∵∠BAD=28°，∴∠DAC=∠BAC−∠BAD=32°，∵∠ACD=60°， ∴∠DCE=∠ACD+∠ACE=120°．故选：A．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，判定△ABC，△ADE是等边三角形是解题的关键．6．（2023上·四川自贡·八年级校考期中）如图，分别以△ABC的边AB，AC所在直线为对称轴作△ABC的对称图形△ABD和△ACE，∠BAC=150°，线段BD与CE相交于点O，连接BE、ED、DC、OA．有如下结论：①∠EAD=90°；②∠BOE=60°；③△ABE是等边三角形；④BP=EQ．其中正确的结论个数是（    ）个    A．1B．2C．3D．4【答案】C【分析】本题考查了三角形内角和定理，等边三角形的判定与性质，轴对称的性质，根据轴对称的性质可得∠BAD=∠CAE=∠BAC，再根据周角等于360°列式计算即可求出∠EAD=90°，判断出①正确；再求出∠BAE=∠CAD=60°，根据翻折可得∠AEC=∠ABD=∠ABC，利用三角形的内角和定理可得∠BOE=∠BAE，判断出②正确；根据全等三角形的对应边上的高相等，即可判断出③正确；在Rt△AEQ中，EQ>AE，在等边△ABE中，BP≤AB（当点P在点A或者点E时取等号），即有EQ>BP，判断出④错误．【详解】解：∵△ABD和△ACE是△ABC的轴对称图形，∴∠BAD=∠CAE=∠BAC，AB=AE，AC=AD，∴∠EAD=3∠BAC−360°=3×150°−360°=90°，故①正确．∴∠BAE=∠CAD=12(360°−90°−150°)=60°，由翻折的性质得，∠AEC=∠ABD=∠ABC，又∵∠EPO=∠BPA，∴∠BOE=∠BAE=60°，故②正确．∵△ABC的对称图形△ABD和△ACE，∴S△ACE=S△ADB，AB=AE，∵∠BAC=∠BAD=150°，∠EAD=90°，∴∠EAB=60°，∴∠BEA=∠ABE=60°，∴△ABE是等边三角形，故③正确．∵∠EAQ=90°，∴在Rt△AEQ中，EQ>AE，在等边△ABE中，BP≤AB（当点P在点A或者点E时取等号），AB=AE，∴EQ>BP，∴BP≠EQ，故④错误；综上所述，结论正确的是①②③共3个．故选：C．7．（2022上·福建厦门·八年级校考期中）如图，△ABC是等边三角形，F是AC的中点，D在线段BC上，连接DF，以DF为边在DF的右侧作等边△DFE，连接EC，若存在实数k，使得kBC+ECDC为定值a，则k和a分别是（    ）    A．k=12，a=1B．k=13，a=1C．k=1，a=32D．k=2，a=3【答案】A【分析】在BC上截取CG=CF，连接FG，通过证明△DFG≌△EFC，可得DG=EC，即可求解．【详解】解：如图，在BC上截取CG=CF，连接FG，  ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB=60°，∵ F是AC的中点，∴CF=CG=12AB=12BC，∴△FCG是等边三角形，∴∠GFC=60°，FG=CF，∵△DFE是等边三角形，∴FD=FE，∠DFE=60°，∴∠DFG=∠EFC，在△DFG与△EFC中，FD=EF∠DFG=∠EFCFG＝CF，∴△DFG≌△EFCSAS．∴DG=EC，∴CF+EC=CD，∴12BC+EC=CD，∴12BC+ECCD=1，∴ k=12，a=1；故选：A．【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，本题的难点是作出辅助线，构成全等三角形．8．（2022上·福建福州·八年级福州华伦中学校考期中）如图，边长为a的等边△ABC中，BF是AC上中线且BF=b，点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，则△AEF周长的最小值是（    ）  A．12a+23bB．12a+bC．a+12bD．32a【答案】B【分析】由题意等边三角形性质和全等三角形判定得出△BAD≌△CAESAS，进而作点A关于直线CE的对称点M，连接FM交CE于E′，此时AE+FE的值最小，最后依据△AEF周长的最小值=AF+FE+AE=AF+FM求值即可得出答案．【详解】解：如图，∵△ABC，△ADE都是等边三角形，∴AB=AC=a，AD=AE，∠BAC=∠DAE=∠ABC=60°∴∠BAD=∠CAE∴△BAD≌△CAESAS∴∠ABD=∠ACE∵AF=CF=12a，BF=b∴∠ABD=∠CBD=∠ACE=30°，BF⊥AC∴点E在射线CE上运动(∠ACE=30°)，作点A关于直线CE的对称点M，连接FM交CE于E′，此时AE+FE的值最小，∵CA=CM，∠ACM=60°∴△ACM是等边三角形，∴AM=AC∵BF⊥AC∴FM=BF=b∴△AEF周长的最小值=AF+FE+AE=AF+FM=12a+b．故选：B．【点睛】本题考查轴对称最短路径问题和等边三角形的性质和判定以及全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是利用轴对称性质得出AE+FE的值最小．9．（2022·福建福州·八年级福州日升中学校考期中）如图，在△ABC中，分别以AB、AC为边作等边三角形ABD与等边三角形ACE，连接BE、CD，BE与CD交于点F，连接AF．有以下四个结论：①BE=CD；②FA平分∠DFE；③EF=FC；④AF+BF=FD．其中结论一定正确的个数有（    ）A．①②③④B．①②C．①②③D．①②④【答案】D【分析】根据等腰三角形得性质证明△ADC≌△ABE(SAS)，可证明结论①；作作AP⊥CD于P，AQ⊥BE于Q，证明△ADC≌△ABE，可证明结论②；在DF上截取DO=BF，证明△ADO≌△ABF(SAS)，可证明△AOF为等边三角形，由此可证明结论④；根据结论④即可证明结论③．【详解】解：结论①，∵△ABD等边三角形，△ACE等边三角形，∴AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠EAC=60°，∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠CAB，∴△ADC≌△ABE(SAS)，∴DC=BE，故结论①正确；结论②，如图所示，作AP⊥CD于P，AQ⊥BE于Q，∵△ADC≌△ABE，∴S△ADC=S△ABE，DC=BE，∴AP=AQ，∵AP⊥CD，AQ⊥BE，∴点A在∠PFE的平分线上，∴FA平方∠DFE，故故结论②正确；结论④，在DF上截取DO=BF，连接AO，如图所示，∵△ADC≌△ABE，∴∠ADO=∠ABF，在△ADO和△ABF中，AD=AB∠ADO=∠ABFDO=BF，∴△ADO≌△ABF(SAS)，∴∠DAO=∠BAF，AO=AF，∵∠DAB=∠DAO+∠OAB=60°，∴∠OAF=∠BAF+∠OAB=60°，∴△AOF是等边三角形，∴AF=OF，∴AF+BF=DO+OF=FD，故结论④正确；结论③，由结论④正确，可知，AF+BF=DO+OF=FD，∴BE−BF≠CD−DF，即EF≠FC，故结论③错误．综上所述，正确的有①②④．故选：D．【点睛】本题主要考查三角形综合题，包括等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，三角形内角和定理，掌握等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键．10．（2022上·浙江·八年级专题练习）如图，在△ABC中，AB=AC，点D是△ABC外一点，连接AD、BD、CD，且BD交AC于点O，在BD上取一点E，使得AE=AD，∠EAD=∠BAC，若∠ABC=62°，则∠BDC的度数为（   ）A．56°B．60°C．62°D．64°【答案】A【分析】根据SAS证明△ABE≌△ACD，再利用全等三角形的性质、三角形的外角性质和三角形的内角和解答即可．【详解】解：∵∠EAD=∠BAC，∴∠BAC−∠EAC=∠EAD−∠EAC，即：∠BAE=∠CAD；在△ABE和△ACD中，{AB=AC∠BAE=∠CADAE=AD，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴∠ABD=∠ACD，∵∠BOC是△ABO和△DCO的外角，∴∠BOC=∠ABD+∠BAC，∠BOC=∠ACD+∠BDC，∴∠ABD+∠BAC=∠ACD+∠BDC，∴∠BAC=∠BDC，∵∠ABC=∠ACB=62°，∴∠BAC=180°−∠ABC−∠ACB=180°−62°−62°=56°，∴∠BDC=∠BAC=56°，故选：A．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键，也是本题的难点．11．（2022下·江苏南京·八年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC=22，将△ABC绕点A逆时针旋转60°，得到Rt△ANM，连接CN，则CN的长是（    ）A．2B．23−2C．3D．4−22【答案】B【分析】连接CM，延长CN交AM于点O．由题意可求出AC的长，并易证△ACM，即可利用“SSS”证明△ACN≅△MCN，从而可证明CO为∠ACM的角平分线，进而可证明CO⊥AM，即得出△AON为等腰直角三角形，即可求出ON的长．最后在△ACO中，利用勾股定理可求出CO的长，再利用CN=CO−ON，即可求出CN的长．【详解】如图，连接CM，延长CN交AM于点O．由题意可知AC=BA2+BC2=4．由旋转可知∠CAM=60°，AC=AM，AB=BC=AN=MN=22，∴△ACM为等边三角形，∴AC=MC，∠ACM=60°，∴在△ACN和△MCN中，AC=MCCN=CNAN=MN，∴△ACN≅△MCN(SSS)，∴∠ACN=∠MCN=12∠ACM=30°，即CO为∠ACM的角平分线，∴CO⊥AM，AO=OM，∴△AON为等腰直角三角形，∴AO=ON=OM=2．在Rt△ACO中，CO=AC2−AO2=23，∴CN=CO−ON=23−2．故选B．【点睛】本题考查旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形三线合一的性质以及勾股定理．正确的作出辅助线并利用数形结合的思想是解答本题的关键．12．（2022下·四川雅安·八年级校考阶段练习）如图，P 是等边三角形 ABC 内的一点，且 PA＝3，PB＝4，PC＝5，以 BC 为边在△ABC 外作△BQC≌△BPA，连接 PQ，则以下结论中正确的有（     ）①△BPQ 是等边三角形 ； ②△PCQ 是直角三角形；③∠APB＝150°；④∠APC＝120°；A．①②B．①③C．①②③D．①②④【答案】C【分析】①根据△ABC是等边三角形，得出∠ABC=60°，根据△BQC≌△BPA，得出∠CBQ=∠ABP，PB=QB=4，PA=QC=3，∠BPA=∠BQC，求出∠PBQ=60°，即可判断①；②根据勾股定理的逆定理即可判断得出②；③根据△BPQ是等边三角形，△PCQ是直角三角形即可判断；④求出∠APC=150°-∠QPC，和PC≠2QC，可得∠QPC≠30°，即可判断④．【详解】解：①∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°，∵△BQC≌△BPA，∴∠CBQ=∠ABP，PB=QB=4，PA=QC=3，∠BPA=∠BQC，∴∠PBQ=∠PBC+∠CBQ=∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°，∴△BPQ是等边三角形，所以①正确；②PQ=PB=4，PQ2+QC2=42+32=25，PC2=52=25，∴PQ2+QC2=PC2，∴∠PQC=90°，∴△PCQ是直角三角形，所以②正确；③∵△BPQ是等边三角形，∴∠PQB=∠BPQ=60°，∴∠APB=∠BQC=∠BQP+∠PQC=60°+90°=150°，所以③正确；④∠APC=360°-150°-60°-∠QPC=150°-∠QPC，∵∠PQC=90°，PC≠2QC，∴∠QPC≠30°，∴∠APC≠120°．所以④错误．所以正确的有①②③．故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的性质、等边三角形的性质、勾股定理的逆定理，解决本题的关键是综合应用以上知识．13．（2022上·广西柳州·八年级统考期末）如图，ΔABC和ΔCDE都是等边三角形，且∠EBD=62∘，则∠AEB的度数是（  ）A．124∘B．122∘C．120∘D．118∘【答案】B【分析】由等边三角形的性质，得到AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=60°，然后证明△ACE≌△BCD，则∠CAE=∠CBD，由角的关系，求出∠ABE+∠BAE=58°，即可得到答案．【详解】解：如图：∵ΔABC和ΔCDE都是等边三角形，∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=60°，∴∠ACE+∠BCE=∠BCD+∠BCE=60°，∴∠ACE=∠BCD，∴△ACE≌△BCD，∴∠CAE=∠CBD，即60°−∠BAE=62°−∠EBC，∵∠EBC=60°−∠ABE，∴60°−∠BAE=62°−(60°−∠ABE)，∴∠ABE+∠BAE=58°，∴∠AEB=180°−58°=122°；故选：B．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，以及角的和差关系，解题的关键是掌握所学的知识，正确求出∠ABE+∠BAE=58°．14．（2022·浙江宁波·统考中考真题）△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内．若求五边形DECHF的周长，则只需知道（　　）A．△ABC的周长B．△AFH的周长C．四边形FBGH的周长D．四边形ADEC的周长【答案】A【分析】由等边三角形的性质和三角形的内角和定理可得：FH＝GH，∠ACB＝∠A＝60°，∠AHF＝∠HGC，进而可根据AAS证明△AFH≌△CHG，可得AF＝CH，然后根据等量代换和线段间的和差关系即可推出五边形DECHF的周长＝AB+BC，从而可得结论．【详解】解：∵△GFH为等边三角形，∴FH＝GH，∠FHG＝60°，∴∠AHF+∠GHC＝120°，∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠ACB＝∠A＝60°，∴∠GHC+∠HGC＝120°，∴∠AHF＝∠HGC，∴△AFH≌△CHG（AAS），∴AF＝CH．∵△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，∴BE＝FH，∴五边形DECHF的周长＝DE+CE+CH+FH+DF＝BD+CE+AF+BE+DF＝（BD+DF+AF）+（CE+BE），＝AB+BC．∴只需知道△ABC的周长即可．故选：A．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及多边形的周长问题，熟练掌握等边三角形的性质以及全等三角形的判定和性质是解题的关键．15．（2017·安徽淮南·九年级淮南第二中学校考自主招生）如图，正△ABC的边长为4，过点B的直线l⊥AB，且△ABC与△A′BC′关于直线l对称，D为线段BC′上一动点，则AD+CD的最小值是（    ）．  A．43B．62C．8D．4+23【答案】C【分析】如图（见解析），连接A′D，先根据轴对称性得出△A′BC′也是边长为4的等边三角形，再根据等边三角形的性质、三角形全等的判定定理与性质得出CD=A′D，然后根据三角形的三边关系定理、两点之间线段最短找出AD+A′D取得最小值时，点D的位置，由此即可得出答案．【详解】如图，连接A′D∵正△ABC的边长为4∴AB=BC=4,∠ABC=60°∵ △ABC与△A′BC′关于直线l对称∴ △A′BC′也是边长为4的等边三角形∴A′B=4,∠A′BC′=60°∴∠CBD=180°−∠ABC−∠A′BC′=60°在△BCD和△BA′D中，BC=BA′=4∠CBD=∠A′BD=60°BD=BD∴△BCD≅△BA′D(SAS)∴CD=A′D∴AD+CD=AD+A′D由三角形的三边关系定理、两点之间线段最短可知，当点D与点B重合，即点A,D,A′共线时，AD+A′D取得最小值，最小值为AA′=AB+A′B=4+4=8即AD+CD的最小值为8故选：C．  【点睛】本题考查了轴对称的性质、等边三角形的性质、三角形全等的判定定理与性质、两点之间线段最短等知识点，依据题意，正确找出AD+A′D取得最小值时，点D的位置是解题关键．二、填空题16．（2023上·江苏镇江·八年级统考期中）如图，AD是△ABC的中线，∠ADC=60°，BC=10，把△ADC沿直线AD折叠后，点C落在C′的位置上，那么BC′= ．【答案】5【分析】本题考查了折叠的性质，等边三角形的判定与性质．熟练掌握折叠的性质是解题的关键．由题意知，BD=CD=12BC=5，由折叠的性质可知，C′D=CD=BD=5，∠C′DA=∠ADC=60°，证明△BDC′是等边三角形，根据BC′=BD，求解即可．【详解】解：∵AD是△ABC的中线，BC=10，∴BD=CD=12BC=5，由折叠的性质可知，C′D=CD=BD=5，∠C′DA=∠ADC=60°，∴∠BDC′=180°−∠C′DA−∠ADC=60°，∴△BDC′是等边三角形，∴BC′=BD=5，故答案为：5．17．（2023上·甘肃定西·八年级统考期中）如图，△DAC和△EBC均是等边三角形，A、C、B三点在一条直线上，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N．现有如下结论：①AM=DN；②EM=BN；③∠CAM=∠CDN；④∠CME=∠CNB．上述结论正确的有 ．  【答案】①②③④【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质．根据等边三角形的性质可得∠ACE=∠BCD，∠DCE=∠BCE=60°，可证明△ACE≌△DCB，可得到∠CAM=∠CDN，∠AEC=∠DBC，AE=BD，故③正确；再证明△ECM≌△BCN，EM=BN，∠CME=∠CNB，故②④正确；进而得到AM=DN，故①正确．【详解】解：∵△DAC和△EBC均是等边三角形，∴AC=CD,BC=CE,∠ACD=∠BCE=60°，∴∠ACE=∠BCD，∠DCE=∠BCE=60°，∴△ACE≌△DCBSAS，∴∠CAM=∠CDN，∠AEC=∠DBC，AE=BD，故③正确；∵∠DCE=∠BCE=60°，CE=BC，∠AEC=∠DBC，∴△ECM≌△BCN，∴EM=BN，∠CME=∠CNB，故②④正确；∴AE−EM=BD−BN，∴AM=DN，故①正确；故答案为：①②③④18．（2023上·四川绵阳·八年级盐亭县富驿镇初级中学校考阶段练习）如图，已知△ABC≌△A′B′C，点B′在边AB上，若∠ABC=60°，∠ACB=75°，则∠A′CB的度数为 ．  【答案】135°/135度【分析】利用全等三角形的性质得出BC=B′C，∠ACB=∠A′CB′=75°，证出△BB′C是等边三角形，再根据性质即可求解．【详解】∵△ABC≌△A′B′C，∠ABC=60°，∠ACB=75°，∴BC=B′C，∠ACB=∠A′CB′=75°，∴△BB′C是等边三角形，∴∠BCB′=60°，∴∠A′CB=∠BCB′+∠A′CB′=60°+75°=135°，故答案为：135°．【点睛】此题考查了全等三角形和等边三角形，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和等边三角形的判定与性质及其应用．19．（2023下·湖北鄂州·八年级统考期末）如图，△ABC中，∠B=30°，∠ACB=90°，AB=4，动点D在边BC上运动，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得AP，取AP的中点M，当点D从点B开始向右运动到点C时结束，则对应的点M所经过的路线的长度为 ．  【答案】3【分析】如图，取AP2的中点M2，连接CM2，由题意得，AD=AP，则△AD2P2是等边三角形，根据等边三角形的性质，得CM2⊥AP2，∠ACM2=∠P2CM2=30°，根据直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半，再根据勾股定理，即可．【详解】如图所示：把AC绕点A逆时针旋转60°得AP2，取AP2的中点M2，连接CM2，∵线段AD绕点A逆时针旋转60°得AP，∴AD=AP，∠BAP=60°，∠CAP2=60°，∴当点D与点B重合时，点M与点C重合时，△ABP1是等边三角形；当点D与点C重合时，点M在M2处，△ACP2是等边三角形，∴连接C、M2两点，CM2为点M的运动路线，∵M2是AP2的中点，∴CM2⊥AP2，∠ACM2=∠P2CM2=30°，∴AC=2AM2，∵在△ABC中，∠B=30°，∠ACB=90°，AB=4，∴AC=12AB=2，∴AM2=1，∴在Rt△ACM2中，AC2=AM2+CM22，∴CM2=3．故答案为：3．  【点睛】本题考查动点问题与几何的综合，旋转，三角形的知识，解题的关键是掌握等边三角形的判定和性质，勾股定理的运用，旋转的性质，动点的运动轨迹．20．（2022上·贵州铜仁·八年级统考期中）如图，在△ABC中，AB=AC，D为线段BC上一动点（不与点B、C重合），连接AD，作∠DAE=∠BAC，且AD=AE，连接CE．若CE∥AB，∠BAD=40°，则∠DEC的度数为 ．【答案】20°/20度【分析】证明△ABD≌△ACE(SAS)，可得∠B=∠ACE，可证△ABC是等边三角形，可得∠BAC=∠DAE=∠ACB=∠ACE=60°，即可求解．【详解】解：∵∠DAE=∠BAC，∴∠BAC−∠CAD=∠DAE−∠CAD，即∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴∠B=∠ACE，∵CE∥AB，∴∠BAC=∠ACE，∴∠BAC=∠B，∴AC=BC，∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC=∠DAE=∠ACB=∠ACE=60°，∴△DAE是等边三角形，∴∠AED=60°，∴∠DEC=180°−40°−60°−60°=20°，故答案为：20°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，证明△ABC是等边三角形是解题的关键．21．（2023上·辽宁·八年级统考期中）如图，在等边△ABC中，BF是AC上中线且BF＝4，点D在线段BF上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，则AE+EF的最小值为 ．【答案】4【分析】根据等边三角形的性质可得AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，利用SAS得△BAD≌△CAE，进而可得∠ABD=∠ACE，作点A关于CE的对称点M，连接FM交CE于E′，此时AE+EF的值最小，此时AE′+E′F=FM，利用AAS可得△ACM≌△ACB，进而可得FM=FB=4，于是得到结论．【详解】解：∵△ABC、△ADE都是等边三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∴∠BAD=∠CAE，∴△BAD≌△CAESAS，∴∠ABD=∠ACE，∵AF=CF，∴∠ABD=∠CBD=∠ACE=30°，∴点E在射线CE上运动（∠ACE=30°），作点A关于CE的对称点M，连接FM交CE于E′，此时AE′+E′F的值最小，即AE′+E′F=ME′+E′F=FM，∵CA=CM，∠ACM=2∠ACE=60°，∴△ACM是等边三角形，∵△ABC是等边三角形，∴△ACM≌△ACB(AAS)，∴BF=FM=4，即：AE+EF的最小值是4，故答案为：4．【点睛】本题考查的是轴对称的性质——最短路径问题、全等三角形的判定及性质、等边三角形的判定及性质，掌握轴对称的性质、全等三角形的判定及性质、等边三角形的判定和性质是解题的关键．22．（2023上·四川泸州·八年级泸县五中校考阶段练习）如右图，C是线段AB上的一点，△ACD和△BCE都是等边三角形，AE交CD于M，BD交CE于N，交AB于O，则：①DB=AE；②∠AMC=∠DNC；③△MCE是等腰三角形；④△MCN是等边三角形；⑤∠AOD=60°，其中，正确的有 ．  【答案】①②④⑤【分析】通过证明△ACE≌△DCBSAS和△ACM≌△DCNASA，逐步判断，得到正确结论．【详解】解：∵△ACD和△BCE都是等边三角形，∴∠ACD=∠BCE=60°，AC=DC,CE=BC，∴∠DCE=60°，∴∠ACE=∠BCD=120°，在△ACE和△DCB中，AC=DC∠ACE=∠DCBCB=CE，∴△ACE≌△DCBSAS，∴∠BDC=∠EAC，DB=AE，①正确；在△ACM和△DCN中，∠CAM=∠CDNAC=DC∠ACM=∠DCN=60°，∴△ACM≌△DCNASA，∴∠AMC=∠DNC，MC=NC，故②正确，∴△MCN是等边三角形，故④正确，∵∠DCE=60°，若△MCE是等腰三角形，则△MCE是等边三角形，则MC=CE显然不成立，∴△MCE不是等腰三角形，故③错误，∵△ACE≌△DCBSAS，∴∠CBD=∠AEC，∴∠AOD=∠CAE+∠CBD=∠CAE+∠AEC=∠BCE=60°，故⑤正确，综上可知，正确的是①②④⑤，故答案为：①②④⑤【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，本题中证明△ACM≌△DCNASA和△ACE≌△DCBSAS是解题的关键．23．（2022上·上海静安·八年级上海市市北初级中学校考期中）如图，点O是等边△ABC内一点，联结OA,OB,OC且∠AOB=110°．点D在△ABC外且∠ACD=∠BCO,OC=CD．联结AD．若△AOD是以AO为腰的等腰三角形，则∠BOC= 度．  【答案】125或110【分析】利用等边三角形的性质结合∠ACD=∠BCO，OC=CD，可证得△COD是等边三角形，△ADC≌△BOCSAS，可知∠COD=∠CDO=60°，∠BOC=∠ADC，设∠BOC=α，则∠BOC=∠ADC=α，可得则∠AOD=190°−α，∠ADO=α−60°，∠OAD=180°−∠AOD+∠ADO=50°，分两种情况：当AO=AD时，∠AOD=∠ADO，当AO=DO时，∠OAD=∠ADO，分别求解即可．【详解】解：∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC，∠ACB=60°又∵∠ACD=∠BCO，则∠ACD+∠ACO=∠BCO+∠ACO∴∠DCO=∠ACB=60°，∵OC=CD， ∴△COD是等边三角形，△ADC≌△BOCSAS，∴∠COD=∠CDO=60°，∠BOC=∠ADC，设∠BOC=α，则∠BOC=∠ADC=α，则∠AOD=360°−∠AOB−∠COD−∠BOC=360°−110°−60°−α=190°−α，∠ADO=∠ADC−∠CDO=α−60°，∠OAD=180°−∠AOD+∠ADO=180°−190°−α+α−60°=50°，当AO=AD时，∠AOD=∠ADO，即：190°−α=α−60°，解得：α=125°，即∠BOC=125°；当AO=DO时，∠OAD=∠ADO，即：α−60°=50°解得：α=110°，即∠BOC=110°；综上，∠BOC=125°或∠BOC=110°，故答案为：125或110．【点睛】此题考查等边三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，解题关键在于掌握相关图形的性质．24．（2023上·全国·八年级专题练习）如图，在等边△ABC中，点D、E分别在BC和AC边上，以DE为边作等边△DEF，连接CF．若BD=1，AE=3．则CF的长是 ．  【答案】2【分析】过D点作DM∥AB于M，证明△DMC为等边三角形，再证明△MDE≌△CDFSAS，结合全等三角形的性质可得答案．【详解】解：∵等边△ABC，∴AB=BC=AC，∠A=∠B=∠ACB=60°，过D点作DM∥AB于M，∴∠A=∠DME=60°，∠MDC=∠B=60°，∴∠MDE+∠EDC=60°， △DMC为等边三角形，∴DM=DC=MC，∴AM=BD=1，  ∵△DEF为等边三角形，∴∠FDC+∠EDC=60°，DE=DF=EF，∴∠MDE=∠FDC，∴△MDE≌△CDFSAS，∴ME=CF，∵AM=BD=1，AE=3．∴ME=AE−AM=2．∴CF=2．故答案为：2．【点睛】本题考查的是的是等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键．25．（2023下·江苏常州·八年级统考期中）如图，在等边△ABC中取点P，使得PA，PB，PC的长分别为m，m，2m，将线段BP以点B为旋转中心顺时针旋转60°得到线段BQ，连接CQ，则∠APB的大小为 ．【答案】150°【分析】由“SAS”可证ΔABP≅ΔCBQ，可得AP=CQ=a，∠APB=∠BQC，由勾股定理的逆定理可得∠PQC=90°，∠BQC=150°=∠APB．【详解】解：∵将线段BP以点B为旋转中心顺时针旋转60°得到线段BQ，∴BP=BQ，∠PBQ=60°，∴ΔBPQ是等边三角形，∴PQ=BP=BQ=m，∠BQP=60°=∠PBQ=∠BPQ，∴∠ABC=∠PBQ=60°，∴∠ABP=∠CBQ，又∵BP=BQ，AB=BC，∴ΔABP≅ΔCBQ(SAS)，∴AP=CQ=m，∠APB=∠BQC，∵PC2=2m2，PQ2+CQ2=2m2，∴PC2=PQ2+CQ2，∴∠PQC=90°，∴∠BQC=150°=∠APB．故答案为：150°．【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．三、证明题26．（2023上·广东珠海·八年级校联考期中）如图，△DAC、△EBC均是等边三角形，A，C，B三点在一条直线上，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，求证：  (1)△ACE≌△DCB；(2) CM=CN；(3)MN∥BC．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】（1）利用等边三角形的性质及利用SAS利用求证结论．（2）利用全等三角形的判定及性质和等边三角形的性质即可求证结论．（3）利用等边三角形的判定及性质和平行线的判定即可求证结论．【详解】（1）证明：∵△DAC、△EBC均是等边三角形，∴AC=DC，EC=BC，∠ACD=∠BCE=60°，∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，即∠ACE=∠DCB， 在△ACE和△DCB中，AC=DC∠ACE=∠DCBCE=BC，∴△ACE≌△DCB(SAS)．（2）∵由（1）可知：△ACE≌△DCB，∴∠CAE=∠CDB，即∠CAM=∠CDN，∵△DAC、△EBC均是等边三角形，∴AC=DC，∠ACM=∠BCE=60°， 又点A、C、B在同一条直线上，∴∠DCE=180°−∠ACD−∠BCE=180°−60°−60°=60°，即∠DCN=60°，∴∠ACM=∠DCN， 在△ACM和△DCN中∠MAC=∠NDCAC=DC∠ACM=∠DCN，∴△ACM≌△DCN(ASA)，∴CM=CN．（3）由（2）可知CM=CN，∴ △CMN是等腰三角形，又∵∠MCN=60°∴△CMN为等边三角形（有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形），∴∠CMN=∠CNM=∠DCN=60°，∴∠CMN=∠ACM=60°，∴MN∥BC．【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质、等边三角形的判定及性质、平行线的判定，熟练掌握其判定及性质是解题的关键．27．（2023上·湖北·八年级校考周测）（1）如图1，P为等边△ABC内一点，△PAE为等边三角形，则BP____EC（填，>，