初中数学1 等腰三角形同步测试题

这是一份初中数学1 等腰三角形同步测试题，文件包含北师大版数学八下考点练习专题11等腰三角形-重难点题型原卷版doc、北师大版数学八下考点练习专题11等腰三角形-重难点题型解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共36页， 欢迎下载使用。

【知识点1 等腰三角形】
（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.
（2）等腰三角形性质
①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°.
（3）等腰三角形的判定
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）.
【题型1 等腰三角形的性质（角度问题）】
【例1】（2021•绍兴）如图，在△ABC中，∠A＝40°，点D，E分别在边AB，AC上，BD＝BC＝CE，连结CD，BE．
（1）若∠ABC＝80°，求∠BDC，∠ABE的度数；
（2）写出∠BEC与∠BDC之间的关系，并说明理由．
【变式1-1】（2020春•益阳期末）如图，已知∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，EF过点O且EF∥BC．
（1）若∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，求∠BOC的度数；
（2）若∠BOC＝130°，∠1：∠2＝3：2，求∠ABC、∠ACB的度数．
【变式1-2】（2020春•宁德期末）如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＜90°，CD是△ABC的高，BE是△ABC的角平分线，CD与BE交于点P．当∠A的大小变化时，△EPC的形状也随之改变．
（1）当∠A＝44°时，求∠BPD的度数；
（2）设∠A＝x°，∠EPC＝y°，求变量y与x的关系式；
（3）当△EPC是等腰三角形时，请直接写出∠A的度数．
【变式1-3】（2020秋•仓山区期中）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点E，AC＝AD，∠BAC＝∠BDC＝α，∠CAD＝β．
（1）求证：∠ABD＝∠ADC；
（2）当∠AED＝65°时，求β﹣2α的度数；
（3）α+2β＝180°时，求证：BD＝CD．
【题型2 等腰三角形的性质（周长问题）】
【例2】（2020秋•罗庄区期中）如图，在△ABC中，AB＝BC，中线AD将这个三角形的周长分成18和15两部分，则AC的长为 ．
【变式2-1】（2020春•卧龙区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4cm，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF，若DE＝6cm，EC＝1cm，则四边形ABFD的周长为 cm．
【变式2-2】（2020秋•延津县期中）一个等腰三角形的周长为28cm．
（1）如果底边长是腰长的1.5倍，求这个等腰三角形的三边长；
（2）如果一边长为10cm，求这个等腰三角形的另两边长．
【变式2-3】（2020春•东营期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是边AB的垂直平分线，交AB于E、交AC于D，连接BD．
（1）若∠A＝40°，求∠DBC的度数；
（2）若△BCD的周长为16cm，△ABC的周长为26cm，求BC的长．
【题型3 等腰三角形的性质（多结论问题）】
【例3】（2021春•商河县期末）如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，D为线段BC上一动点（不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E，以下四个结论：①∠CDE＝∠BAD；②当D为BC中点时，DE⊥AC；③当△ADE为等腰三角形时，∠BAD＝20°；④当∠BAD＝30°时，BD＝CE．其中正确的结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式3-1】（2020春•宿州期中）如图所示，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，则下列四个结论中，①AB上一点与AC上一点到D的距离相等；②AD上任意一点到AB、AC的距离相等；③∠BDE＝∠CDF；④BD＝CD，AD⊥BC．其中正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式3-2】（2020春•开福区校级期末）如图，CE、CB分别是△ABC和△ADC的中线，且AC＝AB，则下列结论中：①BC＝BD；②∠ECB＝∠BCD；③∠ACE＝∠BDC；④CD＝2CE．正确结论的序号为 ．
【变式3-3】如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，D为线段BC上一动点（不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E．以下四个结论：
①∠CDE＝∠BAD；
②当D为BC中点时，DE⊥AC；
③当∠BAD＝30°时，BD＝CE；
④当△ADE为等腰三角形时，∠BAD＝30°．
其中正确的结论是 （把你认为正确结论的序号都填上）．
【题型4 等腰三角形的性质（三线合一问题）】
【例4】（2019秋•红花岗区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连结AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F．
（1）若∠C＝40°，求∠BAD的度数；
（2）求证：FB＝FE．
【变式4-1】（2020秋•伊犁州期末）如图，已知：△ABC中，AB＝AC，BD和CE分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且相交于O点．
①试说明△OBC是等腰三角形；
②连接OA，试判断直线OA与线段BC的关系，并说明理由．
【变式4-2】如图，在△ABC中，点D是AB的中点，点F是BC延长线上一点，连接
DF，交AC于点E，连接BE，∠A＝∠ABE
（1）求证：ED平分∠AEB；
（2）若AB＝AC，∠A＝38°，求∠F的度数．
【变式4-3】（2021春•宣汉县期末）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，点E、F分别是边AB、AC上的点，且EF∥BC．
（1）试说明△AEF是等腰三角形；
（2）试比较DE与DF的大小关系，并说明理由．
【题型5 等腰三角形的判定（个数问题）】
【例5】（2020秋•汇川区期末）如图所示的正方形网格中，网格的交点称为格点，已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C的个数是（ ）
A．6B．7C．8D．9
【变式5-1】 （2020秋•西华县期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在y轴和x轴上，∠ABO＝60°，在坐标轴上找一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的P点的个数是（ ）
A．5B．6C．7D．8
【变式5-2】（2020春•蕲春县期中）已知在平面直角坐标系xOy中，O（0，0），A（4，3）点B在x轴或y轴上移动，若O、A、B三点可构成等腰三角形，则符合条件的B点有（ ）
A．9个B．8个C．7个D．6个
【变式5-3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝36°，以C为原点，AC所在直线为y轴，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，在坐标轴上取一点M使△MAB为等腰三角形，符合条件的M点有（ ）
A．6个B．7个C．8个D．9个
【题型6 等腰三角形的判定（证明问题）】
【例6】（2021春•新城区期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点E在BC上，点F在AB的延长线上，连接AE，CF，且AE＝CF，BF＝BE．求证：△ABC是等腰三角形．
【变式6-1】（2020秋•鼓楼区校级期中）如图，在△ABC中，点E在AB上，点D在BC上，BD＝BE，∠BAD＝∠BCE，AD与CE相交于点F．
（1）证明：BA＝BC；
（2）求证：△AFC为等腰三角形．
【变式6-2】（2020秋•包河区期末）如图，在△ABC中，已知点D在线段AB的反向延长线上，过AC的中点F作线段GE交∠DAC的平分线于E，交BC于G，且AE∥BC．
（1）求证：△ABC是等腰三角形．
（2）若AE＝8，AB＝10，GC＝2BG，求△ABC的周长．
【变式6-3】如图：E在△ABC的AC边的延长线上，D点在AB边上，DE交BC于点F，DF＝EF，BD＝CE．求证：△ABC是等腰三角形．（过D作DG∥AC交BC于G）