2024年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（新高考通用）专题3-1三角函数图像与性质-2

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题型09 分式型最值
【解题攻略】
【典例1-1】
（2022上·浙江绍兴·高三诸暨中学阶段练习）
1．函数的最大值是 ，最小值为 ．
【典例1-2】
（2023上·新疆克拉玛依·高三校考阶段练习）
2．函数的值域为
【变式1-1】
（2022上·上海徐汇·高三上海市南洋模范中学校考阶段练习）
3．函数的值域为 .
【变式1-2】
（2020下·安徽六安·高三六安一中校考阶段练习）
4．函数的值域为 ．
【变式1-3】
5．函数的最小值是（ ）
A．B．C．D．
题型10 最值型综合
【典例1-1】
（2021·全国·高三专题练习）
6．已知，为锐角，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】
7．已知锐角满足，则的最小值为 ．
【变式1-1】
8．若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】
（2022·山东·高三开学考试）
9．已知，则的最小值为（ ）
A．B．1C．D．
【变式1-3】
10．已知函数 的图象过点（0， ），最小正周期为 ，且最小值为－1.若 ，的值域是 ，则m的取值范围是 .
题型11 恒等变形：求角
【解题攻略】
【典例1-1】
（2023上·全国·高三专题练习）
11．在△ABC中，tan A＋tan B＋tan C＝3，tan2B＝tan A·tan C，则角B等于（ ）
A．30°B．45°C．120°D．60°
【典例1-2】
（2023上·浙江杭州·高三学军中学校考阶段练习）
12．已知且，则=（ ）
A．B．
C．D．或
【变式1-1】
（2023上·山东·高三校联考阶段练习）
13．已知，，，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】
（2023上·山西临汾·高三山西省临汾市第三中学校校联考）
14．已知，，且，则（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】
（2023上·湖南长沙·高三周南中学校考开学考试）
15．已知，则（ ）
A．B．C．D．
题型12恒等变形：拆角求值（分式型）
【解题攻略】
【典例1-1】
（2021·广西·统考一模）
16．＝ （ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】
（2022上·云南昆明·高三东川明月中学校考）
17．若，则的值为（ ）
A．1B．4C．D．2
【变式1-1】
（2023·四川资阳·统考模拟预测）
18．（ ）
A．B．C．D．1
【变式1-2】
（2023上·山东泰安·高三新泰市第一中学校考阶段练习）
19．（ ）
A．B．1C．D．2
【变式1-3】
（20219上·西藏山南·高三山南二中校考阶段练习）
20．求的值（ ）
A．1B．3C．D．
题型13 恒等变形：拆角求值（复合型）
【解题攻略】
【典例1-1】
（2023上·云南昆明·高三统考）
21．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】
（2023上·陕西渭南·高三统考）
22．已知,都是锐角,,,则（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】
（2020上·江西·高三奉新县第一中学校考阶段练习）
23．若均为锐角且，则
【变式1-2】
（2022下·上海闵行·高三上海市七宝中学校考开学考试）
24．已知，且，则 ．
【变式1-3】
（2023上·河北石家庄·高三校考阶段练习）
25．若，，，，则 .
题型14 恒等变形：拆角求值（正切型对偶）
【典例1-1】
（2023上·全国·高三专题练习）
26．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】
（2023下·江西赣州·高三校联考阶段练习）
27．已知角，且，则（ ）
A．B．C．D．-2
【变式1-1】
（2023·河南·校联考模拟预测）
28．已知，，，，则（ ）
A．B．C．D．1
【变式1-2】
（2023上·全国·高三专题练习）
29．已知角，且，则（ ）
A．B．C．D．2
【变式1-3】
（2023·全国·模拟预测）
30．已知，，则（ ）
A．B．C．D．
高考练场
（2023·江西九江·统考二模）
31．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．周期为π，在上单调递减
B．周期为，在上单调递减
C．周期为π，在上单调递增
D．周期为，在上单调递增
（2023下·江西九江·高三校考）
32．函数的周期不可能为（ ）
A．B．C．D．
（2021秋·江西南昌·高三南昌县莲塘第一中学校考阶段练习）
33．要得到函数的图像，只需将函数的图像上所有点的
A．横坐标缩短到原来的(纵坐标不变），再向左平移个单位长度
B．横坐标缩短到原来的(纵坐标不变），再向右平移个单位长度
C．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度
D．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变），再向右平移个单位长度
34．将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若对满足的有，则 .
（2022·陕西·西北工业大学附属中学一模（理））
35．已知函数的图象的一条对称轴与其相邻的一个对称中心的距离为，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象．若函数的图象在区间上是增函数，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
（2022·河南河南·模拟预测（理））
36．已知函数在处取得最大值，则（ ）
A．B．C．D．
（福建省2021届高三毕业班总复习数学试题）
37．已知直线与函数和函数的图象分别交于两点，若，则线段中点的纵坐标为 .
（2021下·高三课时练习）
38．函数，的值域为______.
（学海导航全国卷大联考2021届高三数学（理）试题）
39．已知函数，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
（2021·全国·高三专题练习）
40．设，均为锐角，且，则的最大值是（ ）
A．B．C．6D．
（2023下·安徽亳州·高三亳州二中校考）
41．若，，且，，则（ ）
A．B．C．D．
（2022上·辽宁·高三校联考开学考试）
42．化简（ ）
A．B．C．2D．
（2023上·山东青岛·高三青岛二中校考）
43．已知角，且，，则（ ）
A．B．C．D．2
（2023上·上海奉贤·高三校考）
44．若是第三象限角，且，则等于 .
分式型求值，主要方向是把分数的分子分母“因式分解”，再通过“约分”来达到求值的目的.
将ωx＋φ看作整体，先求出[0，2π]或[-π，π]的角，再通过周期推广到整个定义域内，最后解出x的值或范围.
分式型求值，主要方向是把分数的分子分母“因式分解”，再通过“约分”来达到求值的目的.
求复合型角，
1.以给了函数值的角度为基角来拆角.
2.讨论基角的范围，确认基角的正余弦值符号
3.所求复合型角的范围，以及对应的正（或者余）弦符号，确认对应复合型角度.
参考答案：
1．
【详解】∵， ，变形可得
即 ，其中
即 解得：
故答案为最大值是 ， 最小值为
2．
【分析】将函数式化简，利用正弦函数的有界性求出函数的值域；
【详解】由，得定义域为，且，
即有，所以，解得，
故函数的值域为．
【点睛】本题主要考查三角函数求值域的方法，常用解法有：直接法，化一法，换元法，数形结合法．
3．
【分析】化简得到，计算故得到答案.
【详解】
故，
故答案为：
【点睛】本题考查了函数的值域，化简是解题的关键.
4．
【解析】将函数，变形为，再根据求解.
【详解】因为函数，
所以，
因为，
解得或.
故答案为：
【点睛】本题主要考查三角函数的值域，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
5．B
【分析】对变形，得到，当时，利用的几何意义求解其取值范围，进而得到，当时，，从而求出的最小值.
【详解】当，
当时,因为，
令，的含义是点与单位圆上的点的连线的斜率，所以，所以
所以，即，
综合得，，
故最小值为：.
故选：B.
6．A
【分析】由已知结合诱导公式及两角和的正切公式，先进行化简，然后代入到所求式子后，结合基本不等式即可求出最值，即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
，
当且仅当即时取等号，
所以的最小值为.
故选：A.
【点睛】本题考查三角函数的恒等变换以及基本不等式的运用，涉及诱导公式、两角和的正切公式，考查化简计算能力.
7．8
【分析】根据两角差的余弦公式，可得，令，则，根据基本不等式“1”的活用，计算化简，即可得答案.
【详解】因为锐角满足，
所以，
令，则，
由题意得，，
则
当且仅当时取等号，此时的最小值．
故答案为：8
8．B
【分析】利用，及基本不等式中“1”的妙用即可求解.
【详解】解：∵，
∴，当且仅当时等号成立.
∴的取值范围为.
故选：B.
9．D
【分析】根据，可得，再根据两角和的正切公式可得，结合基本不等式即可得出答案.
【详解】解：因为，
所以，所以，
，
所以，即，
又因，
所以，
即，
解得或（舍去），
所以，
当且仅当，即时，取等号，
所以的最小值为.
故选：D.
10．
【分析】根据题意易求,，由图象过（0， ），，可得，从而得函数解析式，由可得，由余弦函数性质及值域，可得，求解即可.
【详解】由函数最小值为－1，，得，
因为最小正周期为，所以，故，
又图象过点（0， ）,所以 而，所以，
从而，
由，可得．
因为,且，
由余弦函数的图象与性质可知：，解得，
故填.
【点睛】本题主要考查了余弦型函数的解析式，图象与性质，重点考查了单调性，属于中档题.
11．D
【分析】由两角和的正切公式，结合诱导公式可证tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C，再结合已知条件求得tan B＝，进而得解.
【详解】由两角和的正切公式变形得：
tan A＋tan B＝tan(A＋B)(1－tan Atan B)＝tan(180°－C)(1－tan Atan B)
＝－tan C(1－tan Atan B)＝－tan C＋tan Atan Btan C，
∴tan A＋tan B＋tan C＝－tan C＋tan Atan Btan C＋tan C＝tan Atan Btan C＝3.
∵tan2B＝tan Atan C，∴tan3B＝3，
∴tan B＝，B＝60°.
故选：D.
12．C
【分析】根据给定条件利用三角恒等变换求出的值，再判断的范围即可得解.
【详解】因，则，
，
因，，则，又，有，
于是得，因此，，
所以.
故选：C
13．C
【分析】先对已知等式化简结合可求出，则可求出，然后对变形化简可得，从而可求出的值.
【详解】因为，
所以，所以．
因为，所以，
因为，所以，，所以．
由，得，
即，
所以，
所以．
又，所以．
故选：C
14．C
【分析】化切为弦，结合，得到，因为，所以，故，求出.
【详解】，
即，
故，
所以，
所以，
因为，，
所以，
因为，所以，
故，解得.
故选：C
15．C
【分析】根据给定的等式，利用平方关系及差角的余弦求出，再借助正弦函数的单调性求解作答.
【详解】由，得，
两边平方得，即，
由，知，又，即，
即有，因此，所以
故选：C
16．A
【解析】先求出，然后，利用，代入 的值求解即可
【详解】，
令，得， ，，所以，，
所以，
故选：A
【点睛】关键点睛：解题的关键在于，利用和 ，求出，然后利用余弦函数的两角和差公式进行求解，运算量较大，属于难题
17．B
【分析】依题意可得，再利用辅助角公式、二倍角公式及诱导公式计算可得；
【详解】解：因为，所以，即，即，所以，即，所以，所以；
故选：B
18．A
【分析】利用同角的商数关系、辅助角公式、两角和的余弦公式及二倍角公式化简即可得答案.
【详解】
.
故选：A.
19．B
【分析】化切为弦通分变形，逆用两角和的正弦公式与二倍角公式化简可得.
【详解】
，
故选：B.
20．D
【分析】化切为弦，通分后变形，利用两角和的正弦及余弦求解．
【详解】解：
．
故选：D．
【点睛】本题考查三角函数的求值，考查了两角和与差的三角函数的应用，是中档题．
21．D
【分析】利用二倍角余弦公式可求得，利用两角和差余弦公式可依次求得和.
【详解】，，
，，，则，
，，
.
故选：D.
22．B
【分析】根据题意判断的范围,从而求出的值,将写为,再用两角和与差的余弦公式代入化简即可.
【详解】由于,都是锐角,则,,
因为,,
所以,,
所以,,
所以
.
故选:B
23．
【分析】根据求出，根据可求得结果.
【详解】因为均为锐角且，
所以，，
所以
，
所以.
故答案为：.
【点睛】本题考查了同角公式，考查了两角差的余弦公式，考查了诱导公式，考查了二倍角的余弦公式，属于中档题.
24．##－0.8
【分析】已知等式变形为，引入函数，即有，根据正弦函数性质得的关系，再结合可得的表达式，从而利用诱导公式、二倍角公式求得结论．
【详解】由得，
设，其中，，为锐角，
已知条件即为，
所以，或，，
若，，则，与已知矛盾，
所以，，，
则，
故答案为：．
25．
【分析】结合角度范围及三角函数值，可求出，的角度值，进而可求
【详解】由，，则，
，所以或，
，
，则，
当时，，则，
当时，，则，
又，.故.
故答案为：
26．D
【分析】根据已知条件求得，再根据两角和与差的三角函数公式，即可得出答案．
【详解】，，
，则，
．
故选：D．
27．C
【分析】根据正余弦的和差角公式化简，由可得，再根据可得，进而求解即可.
【详解】由可得，即，故.
又，故，即，代入可得.
故.
故选：C
28．D
【分析】确定，计算得到，，计算得到答案.
【详解】，化简得，
故，解得，
又，则，
故.
故选：D.
29．D
【分析】由两角和与差公式化简后求解．
【详解】由，可得，即，
故.又，故，
即，代入可得.
故
故选：D
30．D
【分析】由两角和与差的正弦公式、同角三角函数的基本关系，进行计算即可求解.
【详解】根据，，
得，．
两式分别相加、减，可得，．
易得，，，所以上述两式相除，得．
故选：D．
31．B
【分析】根据正弦型函数的正负性、单调性，结合两角和差的正弦公式进行求解即可.
【详解】当时，即，
，
显然该函数此时在上单调递减，
当时，即，
，
因此函数的周期为，在上单调递减，
故选：B
32．D
【分析】令、、中的两个等于零分类，结合三角函数最小正周期，即可判断选项A，B，D；
而若时，，，即可化简得出，再分类为与判断其周期，与假设矛盾，即可证明最小正周期不可能是.
【详解】当，时，函数，最小正周期为，故选项A可能；
当，时，函数，最小正周期为，故选项B可能；
当，时，函数，最小正周期为，故选项C可能；
而对于选项D：
，
则若时，
，
令 ，
所以
与题设矛盾，故函数的最小正周期不可能是；
故选：D.
33．C
【分析】直接利用三角函数的图象的伸缩变换和平移变换，求出结果
【详解】因为，所以将函数的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变），再向左平移个单位长度，就可得到函数的图像.
故选C．
【点睛】本题考查三角函数的图象的变换，注意伸缩变换时不变换初相．
34．
【分析】写出的解析式，由可知一个取最大值一个取最小值，根据，分别取和进行判断，即可求出.
【详解】因为函数的周期为，
函数的图象向右平移个单位后，
得到函数的图象，
满足的可知，一个取最大值一个取最小值，
因为，
若，
在取最大值，在取得最小值，，
此时，不合题意，
若，
在取最小值，在取得最大值，，
此时，满足题意.
故答案为：.
【点睛】本题考查三角函数相关性质的应用，属于中档题.
35．B
【分析】由一条对称轴与其相邻的一个对称中心的距离求出，由平移得利用单调性列出的不等式求解即可
【详解】由题意，知，∴，∴，∴，∴，由，得，即的增区间为，∴，∴，，∴．
∵，∴，
故选：B．
36．A
【分析】根辅助角公式和正弦函数最值求解即可.
【详解】，其中为锐角，.
因为当处取得最大值，所以，，
即，，
所以.
故选：A
37．
【详解】由题意，知，则线段的中点为.
而.① ；设，②
①、②两式分别平方，相加，得，解得.
又，所以，故取.
所以线段中点的纵坐标为.
38．
【分析】利用平方关系将函数化为的二次函数，配方求值域即可.
【详解】，
，
故的值域为 ，
故答案为：.
39．B
【分析】首先根据换元法将函数的最小值与函数在区间的最小值，最后利用基本不等式求出函数的最小值即可.
【详解】，
令，则，
因此函数的最小值与函数在区间的最小值相同，
又因为，当且仅当即时等号成立，
所以函数的最小值2.
故选：B
【点睛】本题主要考查换元法求函数的最小值，特别注意的是，在换元前后要注意变量的取值范围的变化.
40．B
【分析】由已知条件可得，而目标三角函数式可化为，结合基本不等式即可求其最大值.
【详解】由题意，，得，即，
∴由为锐角，，当且仅当，即时等号成立．
故的最大值是．
故选：B.
【点睛】关键点点睛：应用三角恒等变换化简并转化条件及目标式，结合基本不等式，求目标三角函数式的最大值.
41．A
【分析】根据三角函数值确定角的范围，再根据角的变换有，根据三角函数值确定的值.
【详解】，符号相同，
又，，，
由可得，
又，，，
所以，，
，
由，，得，，
故选：A．
42．D
【分析】由三角恒等变换与诱导公式求解即可
【详解】
，
故选：D.
43．C
【分析】根据两角差的正弦、余弦、正切公式化简求解即可.
【详解】因为，
所以，，，
又，
所以，
所以，
所以.
故选：C.
44．
【分析】利用差角的正弦公式将已知条件化简后求出，再利用平方关系求出，进而求出.
【详解】 ，
，
是第三象限角，
，
.
故答案为：.