重难点08 立体几何中的外接球与内切球（9题型 高分技法 限时提升练）-2025年高考数学 热点 重点 难点 专练（北京专用）

这是一份重难点08 立体几何中的外接球与内切球（9题型 高分技法 限时提升练）-2025年高考数学 热点 重点 难点 专练（北京专用），共12页。

题型1 正（长）方体、柱体的外接球
1．（2024·25高三上·上海·期末）球O是棱长为 1 的正方体的外接球，则球O的内接正四面体体积为 .
【答案】
【详解】
如图，正四面体可以补形为正方体，可知图中正四面体和正方体有同一外接球，
即球O是棱长为 1 的正方体的外接球也是图中正四面体的外接球，
因为正方体棱长为1，则体积为1，
可得正四面体体积为正方体体积去掉四个角上的三棱锥体积，
即球O的内接正四面体体积为.
故答案为：.
2．（2022·北京·三模）一个底面积为1的正四棱柱的顶点都在同一球面上，若此球的表面积为，则该四棱柱的高为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】C
【详解】设球的半径为，则 ，解得
设四棱柱的高为 ，则 ，解得
故选：C
3．（2025届高三下学期天津市三校缓适性交流练习数学试题）直三棱柱的各条棱长均为2，为棱中点，则点到直三棱柱的外接球球心的距离是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由题意，分别取上下底面正三角形的中心为，取的中点，连接，如下图：
易知点为三棱柱的外接球球心，且平面，
因为平面，所以，
在正中，，易知，
在中，.
故选：B.
4．（2022·陕西西安·模拟预测）长方体的过一个顶点的三条棱长分别是2，4，4，则该长方体外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】长方体外接球直径，所以该长方体外接球的表面积
故选：C.
5．（2025届高三下学期东北三省部分高中联盟联合调研模拟数学试题）如图，宫灯又称宫廷花灯，是中国彩灯中富有特色的汉民族传统手工艺品之一.现制作一件三层六角宫灯模型，三层均为正六棱柱（内部全空），其中模型上、下层的底面周长均为120cm，高为5cm.现在其内部放入一个体积为的球形灯，且球形灯球心与各面的距离不少于9cm.则该模型的侧面积至少为
【答案】
【详解】依题意，上下两层是底面周长，高为的正六棱柱，
其侧面积为，
当球形灯球心到各面的距离等于时，中层正六棱柱的高为，
由球心到侧面距离为9，得中层正六棱柱底面边长为，
因此中层正六棱柱的侧面积，
所以该模型的侧面积至少为，
故答案为：
题型2 补成长方体模型
1．（2024·甘肃白银·一模）在三棱锥中，两两垂直，且该三棱锥外接球的表面积为，则该三棱锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由于两两垂直,将该三棱柱放入正方体中，如图：
故该三棱锥的外接球与正方体的外接球相同，
故该三棱锥外接球的半径为.
由，得.
由于平面，所以该三棱锥的体积为.
故选：B
2．（2023·北京·模拟预测）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．已知鳖臑的四个顶点均在表面积为的球面上，则该鳖臑体积的最大值为（ ）．
A．B．C．2D．4
【答案】B
【详解】把鳖臑放到长方体中，如下图所示：
设该长方体的长、宽、高分别为，显然该长方体的对角线长为，
所以有，
显然该鳖臑体积为，
因为，当且仅当时取等号，
即，
当且仅当时取等号，
故选：B
3．（2024·陕西商洛·一模）在四棱锥中，平面，四边形是正方形，，则四棱锥外接球的体积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】将四棱锥放入正方体中，则四棱锥的外接球与正方体的外接球相同，
设四棱锥外接球的半径为，则，所以，
故四棱锥外接球的体积．
故选：C
4．（2024·贵州遵义·模拟预测）在矩形中，，，为的中点，将和分别沿，折起，使点与点重合，记为点，若三棱锥的四个顶点都在球的球面上，则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】依题意，，，，平面，
则平面，
，，即有，则，
由此可将三棱锥补成以为相邻三条棱的长方体，
若三棱锥的四个顶点都在球的球面上，则该长方体的各顶点亦在球的球面上，
设球的半径为，则该长方体的体对角线长为，
所以球的表面积.
故选：B
5．（2024·海南海口·模拟预测）如图，在平面四边形中，与交于点，且，，，剪去，将沿翻折，沿翻折，使点与点重合于点，则翻折后的三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】依题意，在三棱锥中，，
因此三棱锥可以补形成以为共点三条棱的长方体，
该长方体的外接球即为三棱锥的外接球，设球半径为，
则，
所以三棱锥外接球的表面积为.
故选：C
题型3 线面垂直模型(补成柱)
1．（2024·安徽·模拟预测）已知三棱锥的四个顶点均在球上，平面．若，则球的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】在中，，
所以，所以．
因为平面平面，
所以．
又，所以．
如图将三棱锥，补形为长方体，
则三棱锥的外接球就是长方体的外接球，
长方体的体对角线是长方体的外接球的直径，球心为的中点．
又，即，
所以球的半径为2，
故球的体积．
故选：C．
2．（2024·河北·三模）已知三棱锥，平面，，，若三棱锥外接球的表面积为，则此三棱锥的体积为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【详解】因为，，所以，
，
设外接圆的半径为，则，即，
设三棱锥外接球的半径为，，解得（负值已舍去）；
因为平面，所以，即，解得（负值已舍去）；
所以.
故选：B
3．（2024·福建厦门·模拟预测）已知三棱锥中，平面，，，，，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】在中，因为，，，所以，
所以，取中点E，则E为的外心，且外接圆的半径为，
过E作底面的垂线，使，又平面，则O为三棱锥外接球的球心，
所以外接球的半径，
所以三棱锥外接球的表面积为，
故选：C.
4．（2024·内蒙古鄂尔多斯·二模）如图，平面四边形中，为等边三角形，现将沿翻折，使点移动至点，且，则三棱锥的外接球的表面积为 .
【答案】
【详解】因为，，平面，
所以平面，
将三棱锥补形为如图所示的直三棱柱，则它们的外接球相同，
外接球的球心在棱柱上下底面三角形的外心连线上，
令的外心为，由为等边三角形，，
得，
因为，所以在中，，
即外接球的半径为2，
所以外接球的表面积为.
故答案为：
5．（2024·贵州贵阳·三模）在三棱锥中，面，则三棱锥的外接球的表面积为 .
【答案】
【详解】如图，在中，，，
所以，
则由正弦定理可得外接圆半径为，
因为面，
所以三棱锥的外接球半径为，
所以表面积为，
故答案为：.
题型4 正锥体模型
1．（2024·广西来宾·模拟预测）圆锥的顶点为为底面直径，若，则该圆锥的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】

设圆锥底面圆的圆心为，底面圆的半径为，外接球的半径为，
做出圆锥的轴截面，可知为等腰三角形，又，
则为等边三角形，所以圆锥的外接球的球心即为外接圆的圆心，
且，，
则球的半径为，
所以外接球的表面积为，
故选：B
2．（2024·25高三上·江苏南京·开学考试）若正四棱锥的高为8，且所有顶点都在半径为5的球面上，则该正四棱锥的侧面积为（ ）
A．24B．32C．96D．128
【答案】C
【详解】
如图所示，设P在底面的投影为G，易知正四棱锥的外接球球心在上，
由题意球O的半径，
所以，，则，
故中，边AB的高为，
所以该正四棱锥的侧面积为.
故选：C
3．（2024·四川·一模）已知正四棱锥的各顶点都在同一球面上，且该球的体积为，若正四棱锥的高与底面正方形的边长相等，则该正四棱锥的底面边长为（ ）
A．16B．8C．4D．2
【答案】C
【详解】
如图所示，设P在底面的投影为G，易知正四棱锥的外接球球心在上，
不妨设球半径，
该球的体积为，即，
又正四棱锥的高与底面正方形的边长相等，
则，
即.
故选：C
4．（2024·江西·模拟预测）已知正四面体棱长为4，半径为的球与侧面、、都相切，则该球心到棱的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】取的中心为点Q，连接，则平面，
连接并延长交于点D，连接，可知点D为的中点，
因为球与侧面、、都相切，
所以球心O在线段上，记球O与平面的切点为点M，
可知点M在线段上，，
由正四面体棱长为4，球的半径为，
可得，，，，
由，可得，
在平面内，过点O作于点N，
可知球心O到棱的距离即为的长，
球心O到棱的距离等于球心O到棱的距离，
由，可得，
所以该球心到棱的距离为．
故选：B.
5．（2023·24高三下·江西·开学考试）在正四面体中，M为PA边的中点，过点M作该正四面体外接球的截面，记最大的截面半径为R，最小的截面半径为r，则 ；若记该正四面体和其外接球的体积分别为和，则 ．
【答案】 /
【详解】将正四面体放置于正方体中，可得正方体的外接球即为该正四面体的外接球，如图，

外接球球心为正方体的体对角线的中点，设正四面体的棱长为，则正方体棱长为，
由外接球直径等于正方体的体对角线，得正四面体外接球半径，
当过中点的正四面体外接球截面过球心时，截面圆面积最大，截面圆半径为，
当该截面到球心的距离最大时，截面圆面积最小，此时球心到截面距离为，
可得最小截面圆半径，因此；
正四面体外接球体积，
正四面体的体积，因此.
故答案为：；
题型5 面面垂直模型
1．（2025·四川德阳·二模）在三棱锥中，平面平面为等腰三角形，且，，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】如图取的中点，的中点，连接，则，
因为为等腰三角形，所以,
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
因为为直角三角形，且，所以为的外心，
设三棱锥的外接球的球心为，则平面，
所以‖，
在等腰中，，，
则，的外心在外，
所以，
在中，，则，
所以
设三棱锥的外接球的半径为，则，
过作交延长线于点，则，
在中，，则
，解得，
所以三棱锥的外接球的表面积为.
故选：A.
2．（2024·江西·一模）在体积为12的三棱锥中，，，平面平面，，，若点都在球的表面上，则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
如图，取的中点，连接，，
因为，，所以，因此点就是球心，
又，故是等腰直角三角形，所以．
因为平面平面，平面平面，
所以平面．
设球半径为，则，，
又，则，
所以三棱锥的体积，
所以，所以球O的表面积为．
故选：D．
3．（2024·福建南平·模拟预测）某雕刻师在切割玉料时，切割出一块如图所示的三棱锥型边料，测得在此三棱锥中，侧面底面，且，该雕刻师计划将其打磨成一颗球形玉珠，则磨成的球形玉珠的直径的最大值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】如图，设的中点为，连接，因为，
所以，所以，且，
又侧面底面且交线为，平面，所以平面，
由于平面，所以，
由于平面，所以平面，
又，所以，
因为，所以．
当球形玉珠为三棱锥的内切球时，球形玉珠的直径最大．
设三棱锥的表面积为，内切球的半径为，则，
又，
，故，
所以，
所以磨成的球形玉珠的直径的最大值为．
故选：C
4．（2025·浙江温州·模拟预测）将下列平面四边形中的沿对角线翻折成，使二面角为直二面角，其中四面体的外接球的半径不等于2的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】对于A，如图：,解得，故A正确，
对于B，底面圆的半径为,而，故B错误，
对于C，由于和均为直角三角形，且二面角为直二面角，故的中点即为球心，故,C正确，
对于D，由于和均为直角三角形，且二面角为直二面角，取中点为，中点为,则,结合二面角为直二面角，是两平面的交线，故平面，平面，故,
因此,
故的中点即为球心，故,D正确，
故选：B
5．（2024·黑龙江佳木斯·模拟预测）在体积为的三棱锥中，，，平面平面，，，若点、、、都在球的表面上，则球的表面积为 ．
【答案】
【详解】过点在平面内作作，垂足点为，
取线段的中点，连接、，如下图所示：
因为，，则，
所以，三棱锥的外接球的球心为中点，
因为平面平面，平面平面，，
平面，则平面，
设球的半径为，则，
又，，所以，，，，
所以，，
所以，三棱锥的体积为，
解得，因此，球的表面积为.
故答案为：.
题型6 二面角模型
1．（2024·陕西宝鸡·三模）与都是边长为2的正三角形，沿公共边折叠成的二面角，若点A，B，C，D在同一球的球面上，则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：由题，设正与的中心分别为，，
根据外接球的性质有平面，平面，
又二面角的大小为，故，
又正与的边长均为2，
故，
故，
，
，
故，
故，又，
故球的半径，
故球的表面积为．
故选：C．
2．（2023·24高三上·山东德州·期末）在三棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，是边长为2的正三角形，二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】如图，取的中点，连接，，
由题意，，所以，
所以为二面角的平面角，所以，
因为是以为斜边的等腰直角三角形，且，
所以，为外接圆的圆心，
又是边长为2的等边三角形，所以，
过点作与平面垂直的直线，则球心在该直线上，
设球的半径为，连接，可得，
在中，，
利用余弦定理可得，
所以，解得，
所以外接球的表面积为.
故选：A.
3．（2025·山西·一模）菱形中，，，对角线交于点，沿对角线将折起，使二面角的大小为，则不正确的是（ ）
A．平面B．平面平面
C．点到所在平面的距离为D．四面体的外接球的表面积是
【答案】C
【详解】如图：
对于A选项，菱形的对角线互相垂直，则，，，且在折起的过程中垂直关系保持不变，则平面AOC，所以A选项正确．
对于B选项，由A选项得平面AOC，平面BCD，∴平面平面BCD，所以B选项正确．
对于C选项，由二面角的定义知，又平面平面BCD，交线为OC，在平面AOC中，过A作，交CO的延长线于E，则平面BCD，AE为所求的点面距离．由，，得，所以C选项错误．
对于D选项，设，的外心分别为，，的外接球球心为M，
半径为R，根据的对称性，可知，，都在平面内，且，
如图：做平面.
则，
的外接圆是四边形的外接圆，外接圆直径，
，，，所以D选项正确．
故选：C
4．（2024·陕西咸阳·二模）已知三棱锥中，，三角形为正三角形，若二面角为，则该三棱锥的外接球的体积为 ．
【答案】
【详解】解：如图，∵，即，∴.
∴球心在过的中点与平面垂直的直线上，
同时也在过的中心与平面垂直的直线上，.
∴这两条直线必相交于球心.
∵二面角的大小为，
易知，，
，，
，
∴三棱锥的外接球的半径为.
∴三棱锥的外接球的体积为.
故答案为：
5．（2023·24高三上·海南·阶段练习）已知是边长为4的正三角形，是边上的中线．现将沿折起，使二面角等于，则四面体外接球的表面积为 ．
【答案】
【详解】因为是正三角形，且是边上的中线，
所以，且，平面，
所以平面；
记的中点为，的外接圆圆心为，
过作平面的垂线，则球心在该垂线上，连接，
因为二面角等于，所以，
由正弦定理可知，所以，
由垂径定理以及线面垂直的性质易知四边形是矩形，
所以，
所以，即外接球的半径，
所以外接球的表面积为，
故答案为：.
题型7 台体模型
1．（2024·25高三下·云南昆明·开学考试）正六棱台的上、下底面边长分别为3和4，侧棱长是，则该棱台的外接球半径为（ ）
A．3B．5C．D．6
【答案】B
【详解】因为正六棱台的上、下底面边长分别为3和4，
如图，为等边三角形，边长分别为3和4，
所以，过点分别作⊥于点，于点，
故，故，
侧棱长是，即，由勾股定理得，
即棱台的高为1，
设该棱台的外接球球心到下底面的距离为，
当球心在棱台内时，即，则，
由勾股定理得，
则，解得（舍），
当球心在棱台外时，同理可得，解得，
故棱台的外接球半径为；
故选：B．
2．（2023·河北·三模）已知正四棱台，其高为，则此正四棱台外接球的直径为（ ）
A．8B．C．D．16
【答案】B
【详解】由题意可知，正四棱台外接球的球心在正四棱台的高上，
设球心位置为，如图所示，距离下平面距离为，
因为高为，
所以，解得，
即正四棱台下底面中心即为球心，则直径为，
故选：B.
3．（2024·广东佛山·一模）已知圆台的高为1，下底面的面积，体积为，则该圆台的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】如图，圆台与外接球的轴截面，如下，

设上底面的半径为，下底面的半径为，外接球的半径为，
由下底面的面积为，则，
圆台的体积，
即，解得或（舍），
设，
和中，，，两式联立，
解得，，
所以圆台外接球的表面积为.
故选：C
4．（2024·湖南·模拟预测）如图，在正四棱台中，，为上底面的对角线，且下底面的面积和侧面的面积分别为20和，则该正四棱台外接球的表面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由于该棱台是正四棱台，故每条侧棱的长度都相等，且上下底面都是正方形.
而下底面的面积是，所以下底面的边长.
而，所以上底面的边长.
由于每个侧面都是上下底分别为和的等腰梯形，而面积为，
故每个等腰梯形的高，
所以每个等腰梯形的侧棱长.
由于每条侧棱在底面上的投影长都是，所以该棱台的高.
最后设该棱台外接球球心到下底面的距离为，则外接球球心到上底面的距离为，并设外接球的半径为.
则，，所以，
即.解得，
所以.
所以该外接球的表面积等于.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于设出外接球球心到下底面的距离，再列方程组求解.
5．（2023·福建漳州·模拟预测）已知正四棱台的上底面的边长为，下底面的边长为，记该正四棱台的侧面积为，其外接球表面积为，则当取得最小值时，的值是 .
【答案】
【详解】当取得最小值时，则球心在正四棱台的下底面内，为上底面的中心，如图所示，

由此可得外接球的半径为，进而可得，
进而可求侧面的斜高.
则侧面的面积，
又， 所以.
故答案为：.
题型8 内切球模型
1．（2024·江苏徐州·模拟预测）圆柱与圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥内切球半径为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】若圆柱与圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，
则，其中为圆锥底面圆的半径，
根据对称性，圆锥内切球半径为圆锥轴截面内切圆的半径，
设内切圆圆心为点，圆锥底面圆心为点，为圆锥的母线，
设，由题意，
由等面积法有.
故选：C.
2．（2024·吉林长春·模拟预测）把边长为的正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，则四面体ABCD的内切球的半径为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】如图所示，当平面平面DAC时，三棱锥体积最大，
记E为AC中点，因为，所以,
因为平面平面，平面平面，且平面，
所以平面BAC．
设内切球球心为I，内切球半径为r，由等体积法知，
，
其中，，
因为平面BAC，平面BAC，则，易知，
则，
则，
，
故
故选：C
3．（2025·湖南永州·模拟预测）正三棱台的上、下底边长分别为6，18，该正三棱台内部有一个内切球（与上、下底面和三个侧面都相切），则正三棱台的高为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】D
【详解】由题可知上下底正三角形的高分别为，
由几何体结构特征结合题意可知内切球与上、下底面切点为上下底的重心，
故如左图所示作截面，得到右图，设内切球半径为，
则有即，
所以正三棱台的高为6.
故选：D.
4．（2024·山西太原·二模）已知圆锥的顶点为P，底面圆的直径，，则该圆锥内切球的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由圆锥的性质易知为以P为顶点的等腰三角形，
又，所以，则为正三角形，边长为，
如图所示，作出圆锥及其内切球的轴截面，
设中点分别为，内切球球心为O，
由正三角形内心的性质易知

即内切球球半径为1，所以体积.
故选：C
5．（2023·24高三上·安徽·阶段练习）已知一个圆锥的轴截面为锐角三角形，它的内切球体积为，外接球体积为，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】设圆锥的外接球半径为，内切球半径为，圆锥的高为，底面半径为，
母线为，高与母线的夹角为，，如图，
在中，，在中，，则，得.
如图，
在中，，得，又，所以，
所以，
又圆锥的轴截面为锐角三角形，所以，
所以，
故当时，取得最大值，为，
所以.
故选：B.
题型9 外接球的最值问题
1．（2025·福建·模拟预测）在三棱锥中，已知平面，则三棱锥的外接球的表面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】设外接圆半径为，
在中，由余弦定理，，
即，整理得，
所以，故
由正弦定理得，所以，
三棱锥的外接球的半径
三棱锥的外接球的表面积的最小值为.
故选：A．
2．（2024·河北唐山·二模）已知长方体的一条棱长为2，体积为16，则其外接球表面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】设长方体的长、宽、高分别为，
所以长方体的体积为，解得：，
设长方体的外接球的半径为，
所以，即，
即，当且仅当时取等，
所以，
所以其外接球表面积的最小值为.
故选：C.
3．（2023·全国·模拟预测）在直三棱柱中，，侧面的面积为，则直三棱柱外接球的表面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
如图，设的外接圆半径为，直三棱柱外接球的半径为．
由正弦定理，得，所以，
又因为侧面的面积为，所以，
所以，
而，
所以，当且仅当，即时，取得最小值，
所以直三棱柱外接圆的表面积的最小值．
故选：B．
4．（2023·24高三上·河南·阶段练习）在三棱锥中，是等边三角形，平面，，，是的中点，球为三棱锥的外接球，是球上的一点，则三棱锥体积的最大值是 .
【答案】
【详解】在正中，为的中点，则，
又平面，平面，则，
又，、平面，则平面，
又平面，所以，
因为平面，平面，则，
所以的中点到点，，的距离相等，
即三棱锥外接球的球心为的中点.
设球的半径为，则，所以，
因为外接圆的圆心为的中点，设为，连接，
因为，分别为，的中点，则，故平面，
如图.则有，即到平面的距离为，
因此到平面距离的最大值为，
又，
所以三棱锥体积的最大值是.
5．（2024·山西太原·一模）已知圆锥的母线，侧面积为，若正四面体能在圆锥内任意转动，则正四面体的最大棱长为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】B
【详解】棱长为的正四面体如图所示，
则正方体的棱长为，体对角线长为，
所以棱长为的正四面体的外接球半径为.
如图，在圆锥中，设圆锥母线长为，底面圆半径为，
因为侧面积为，所以，即.
因为，所以，所以.
取轴截面，设内切圆的半径为，
则，解得，
即圆锥的内切球半径为.
因为正四面体能在圆锥内任意转动，所以，即，
所以正四面体的最大棱长为.
故选：B
（建议用时：60分钟）
1．（2024·湖北·模拟预测）已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，，，则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】如图：
在中，，
由余弦定理：,
所以，所以外接圆半径为，即.
在直角三角形中，，，所以.
设棱锥外接球半径为，在直角三角形中，，
解得：.
所以球的表面积为：.
故选：A
2．（2024·福建·模拟预测）已知正四棱台下底面边长为，若内切球的体积为，则其外接球表面积是（ ）
A．49πB．56πC．65πD．130π
【答案】C
【详解】正四棱台下底面边长，设其内接球半径为，则，解得，
取的中点，则四边形内切圆是正四棱台内接球的截面大圆，
则四边形是等腰梯形，，而，
，整理得，而，则，
设为正四棱台外接球球心，为该球半径，则，
令分别为正四棱台上下底面的中心，则，，
，，
当球心在线段时，，解得，球的表面积为；
当球心在线段的延长线时，，无解，
所以所求外接球表面积是.
故选：C
3．（2024·海南·模拟预测）已知正方体的棱长为2，点为侧面四边形的中心，则四面体的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】如图：
四面体 的面是直角三角形，
为面与的中心，所以面，
因为斜边的中点是三角形外心，所以球心在的直线上，
面也为直角三角形，分别为与的中点，所以，
面，所以面，
因为斜边的中点是三角形外心，所以球心在的直线上，
故球心为直线与直线的交点，
正方体的棱长为2，
所以球的半径为，
所以四面体的外接球的表面积为：.
故选：D
4．（2024·陕西榆林·模拟预测）如图，是边长为4的正三角形，D是BC的中点，沿AD将折叠，形成三棱锥．当二面角为直二面角时，三棱锥外接球的体积为（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由于二面角为直二面角，且和都是直角三角形，
故可将三棱锥补形成长方体来求其外接球的半径R，
即，解得，
从而三棱锥外接球的体积．
故选：D

5．（2024·青海·二模）如图，已知在四棱锥中，底面四边形为等腰梯形，，，底面积为，且，则四棱锥外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】取的中点为，因为，等腰梯形的面积为，
所以梯形的高为，所以，则，所以，连接、，
所以、为等边三角形，点为梯形外接圆的圆心，
连接，在中，根据余弦定理得，即，解得.
因为，，所以，所以.
因为，，平面，所以平面，
过的中点作交于点，则平面，且为的中点，
所以点为外接圆圆心，所以为四棱锥外接球球心，
所以外接球半径为，故表面积.
故选：D
6．（2024·安徽芜湖·模拟预测）在△ABC中，，，将△ABC沿AC旋转，当点B到达点的位置时，平面平面，则三棱锥外接球表面积为 ．
【答案】
【详解】如图所示，面内作，因为，所以为的中点，
因为平面平面，且平面平面，且平面，
所以平面，又平面，所以，
由题意知，可得，且，所以，
对棱相等的三棱锥可放置在边长分别为的长方体中，
可得，，，
设三棱锥外接球的半径为，可得，
故外接球表面积为．
故答案为：.
7．（2023·北京·模拟预测）“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积过程中构造的一个和谐优美的几何模型.如图1，正方体的棱长为2，用一个底面直径为2的圆柱面去截该正方体，沿着正方体的前后方向和左右方向各截一次，截得的公共部分即是一个牟合方盖（如图2）.已知这个牟合方盖与正方体外接球的体积之比为，则正方体除去牟合方盖后剩余部分的体积为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】棱长为2的正方体的外接球的直径，故半径，
所以牟合方盖的体积为，
所以正方体除去牟合方盖后剩余部分的体积为.
故选：C.
8．（2024·内蒙古包头·三模）正方体的棱长为4，点E在对角线上，若，则三棱锥的外接球的表面积为 ．
【答案】
【详解】正方体的棱长为4，点E在对角线上，,若，E是中点，
则三棱锥的外接球与正四棱锥的外接球相同，
设正四棱锥的底面中心为O，则在中，
，所以，，
因为为正四棱锥，所以其外接球球心在上，设球心为，半径为.
连接，则有.在中，，由得，，整理得，.
所以外接球表面积.
故答案为：
9．（2024·25高三上·贵州贵阳·阶段练习）如图甲，在边长为2的正方形中，分别是的中点，将分别沿折起，使得三点重合于点，如图乙，若三棱锥的所有顶点均在球的球面上，则球的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】根据题意可得，且1，，
所以三棱锥可补成一个长方体，三棱锥的外接球即为长方体的外接球，
如图所示，设长方体的外接球的半径为，可得，所以，
所以外接球的体积为.
故选：A.
10．（2024·山东泰安·模拟预测）圆台内有一个球，该球与圆台的侧面和上下底面均相切，球的球心为.已知圆台上底面圆的半径为1，下底面圆的半径为，母线与底面所成的角为，且.若该圆台的上下两个底面都在同一个球的球面上，该球的球心为，记圆台的表面积为，体积为，球的表面积为，则 ， .
【答案】
【详解】设圆台的母线长为, 由圆台的轴截面,易知，解得，
所以.
设圆台的高为，则，
所以，
，
设圆台的上下底面圆心分别为，球的半径为,

当球心在线段上时, 设,则,
由球的截面性质得:
解得:.
当球心在的延长线上时, 同理可得: 此方程组无解
所以.
故答案为：①；②.
11．（2024·重庆·模拟预测）已知三棱锥的四个顶点均在球O上，平面为等腰直角三角形，A为直角顶点．若，且，则球O的表面积为 ．
【答案】
【详解】因为平面平面，所以．
所以在中，由，可求得．在等腰中，．
易知三棱锥是球O内接长方体的一部分（如图），是该长方体的体对角线，故球心O在的中点处．
因为，所以球O的半径为，故球O的表面积为．

故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题主要考查三棱锥的外接球表面积，将三棱锥的外接球转化为长方体的外接球为解题的关键.
12．（2024·湖北·模拟预测）已知菱形的边长为，，沿对角线将菱形折起，使得二面角为钝二面角，且折后所得四面体外接球的表面积为，则二面角的余弦值为 .
【答案】
【详解】如图，设O为四面体ABCD外接球的球心，半径为R，
令，分别为正和正的外心，
则，，平面ABD，平面CBD.
则，于是平面，
平面交BD点于E，连接，，则，
因此为二面角的平面角.
设其大小为，，，，.
连接，则，，
.

故答案为：.
13．（2024·四川遂宁·二模）一个圆锥的顶点和底面圆都在半径为2的球体表面上，当圆锥的体积最大时，其侧面积为 ．
【答案】
【详解】
设圆锥高为，底面半径为，则，，
，
，令得或（舍去），
当时，，函数是增函数；当时，．函数是减函数，
因此当，时函数取得极大值也最大值，此时圆锥体积最大．
故侧面积为
故答案为：．
14．（2024·辽宁葫芦岛·一模）《九章算术》中记录的“刍甍”是算学和建筑学术语，指的是一段类似隧道形状的几何体，如图，刍甍中，底面是正方形，平面，和均为等边三角形，且．则这个几何体的外接球的体积为 ．
【答案】
【详解】连接，分别取、、中点、、，连接、、，
由底面是正方形，平面，和均为等边三角形，
故，底面，又，故，
则，故，
由为底面正方形中心，，故羡除外接球球心在直线上，
连接、、，设半径为，，则,
由底面，平面，故，
又，、平面，故平面，
又平面，故，故，
又，故有，即，
又，
故有，解得，
故，即，
则这个几何体的外接球的体积为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题考查几何体外接球问题，关键在于借助题目条件，找出垂直底面且过底面外接圆圆心的直线，则该几何体的外接球球心必在该直线上，设出该点位置，从而可结合勾股定理计算出该球半径，即可得解.
15．（2022·全国·模拟预测）在几何学中，截角立方体是一种十四面体，由八个正三角形与六个正八边形组成，共有个面，个顶点以及条边，是一种阿基米德立体，属于半正多面体.下图是一个所有棱长均为的截角立方体，则该截角立方体的外接球的表面积为 .
【答案】
【详解】如图，将该截角立方体补全为正方体，
由对称性知，该截角立方体的外接球的球心即为正方体的中心，
因为该截角立方体的棱长为，
所以正方体的棱长为，
则，，
设该截角立方体的外接球的半径为，
则，
所以外接球的表面积.
故答案为：
三年考情分析
2025年考向预测
该难点以选择题、填空题为主，重点考查几何体的外接球半径或表面积计算。高频考点包括直棱柱外接球（需确定球心位置及勾股定理）、正四面体外接球（通过补形为正方体求半径）、圆锥/圆柱模型（结合体积公式推导）
可能延续多面体外接球计算，重点关注组合体（如直三棱柱与球体的结合）或动态几何问题，需强化典型题型训练，提升空间思维与计算效率
①长（正）方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半，即
②.柱体模型：外接球半径公式：（为柱体的高，为底面（外接）圆的半径）
模型1：三棱锥的三条侧棱两两互相垂直
模型2：有一侧棱垂直于底面，底面为直角三角形的三棱锥
模型3：若三棱锥的对棱两两相等，则每条对棱为长方体的面对角线，如图，则外接球直径公式为（其中为三组对棱的长度）
模型1：模型2：模型3：
线面垂直模型一般可补成柱体模型进行求解
正锥体模型解题步骤：①取底面的外心，则三点共线；②先算出圆的半径（利用正弦定理），再算出锥体的高；③在利用勾股定理：，解出.
若两个平面垂直，则分别找出两垂直多边形的外接圆圆心，然后分别作过圆心的垂直线，交点即球心
多是可以借助外心垂线相交法来计算解决：①等边三角形中心（即外心）做面垂线，必过球心；②直角三角形斜边中点（即外心）做面垂线，必过球心；
注意：外心垂线夹角与二面角相等或者互补.
球内接圆台，棱台：，其中分别为圆台的上底面、下底面、高．
基本规律：正棱台外接球，以棱轴截面为主
内切球球心到多面体各面的距离均相等，故可用等体积法：(为几何体的体积，为多面体的表面积，为内切球的半径)