江苏省苏州市工业园区唯亭区2024-2025学年高一下学期3月月考数学检测试题（附答案）

这是一份江苏省苏州市工业园区唯亭区2024-2025学年高一下学期3月月考数学检测试题（附答案），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列各式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】B
【分析】由向量的加减法法则计算．
【详解】；
；
；
．
故选：B．
2. 如果函数的图象关于点中心对称，那么的值可以是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】根据对称中心列方程，解方程即可.
详解】由题意得，解得，
所以的值可以是.
故选：D.
3. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】先应用二倍角余弦及正弦公式化简，再应用弦化切计算求解.
【详解】，
故选:A．
4. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】由同角三角函数的基本关系可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，可得出的值，再利用两角和的正切公式可求得的值.
【详解】由已知可得，解得，
所以，，
故.
故选：D.
5. 下列选项中，值为的是（ ）
A. 2sinsinB. －cs215°
C. ＋D. cs 72°·cs 36°
【正确答案】D
【分析】根据二倍角公式和辅助角公式依次讨论各选项即可得答案.
【详解】对于A，，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，＝＝，故C错误；
对于D，＝＝＝，故D正确.
故选：D.
6. 已知函数，下列说法正确的是（ ）
A. 若函数周期为4，则
B. 当时，函数的对称轴为
C. 若函数在单调，则有最大值2
D. 若函数可以由先向右平移个单位长度，再横坐标变为原来的3倍得到，则
【正确答案】C
【分析】利用周期公式计算可得A错误，再由对称轴方程可判断D错误，由余弦函数单调性计算可得C正确，根据平移规则可判断D错误.
【详解】对于A，若函数周期为4，可得，解得，即A错误；
对于B，当时，函数的对称轴满足，解得，即B错误；
对于C，当时，，所以，
若函数在单调，可得，解得，即有最大值2，可得C正确；
对于D，先向右平移个单位长度可得，
再横坐标变为原来的3倍可得，
若能得到函数，可得，此时无解，即D错误.
故选：C
7. 下列命题：
①若，则或 ②的充要条件是且
③若，，则； ④起点相同的单位向量，终点必相同
其中，真命题的个数是（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【正确答案】A
【分析】根据向量共线，相等向量、单位向量的概念依次判断各选项即可得答案
【详解】对于①，若，则模相等，方向不一定相同或相反，故错误；
对于②，当时也满足且，故错误；
对于③，当时，满足，但不一定成立；
对于④，起点相同的单位向量，方向不一定相同，则其终点不一定相同，故错误.
故真命题的个数是0个.
故选：A
8. 已知函数，当时函数恰有3个零点，则正整数的取值可以是（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 9
【正确答案】A
【分析】解方程得到的零点，然后列不等式求解.
【详解】，
令，即，则，
整理得，
因为时函数恰有3个零点，所以，解得，
所以正整数的取值可以是5、6.
故选：A.
二、多选题
9. 函数的部分图象如图，若的相邻两个零点间的距离为，则（ ）

A.
B.
C. 的零点形成的集合为
D. 的单调递减区间为
【正确答案】ABD
【分析】对于A，由周期即可求解；对于B，由得，再结合且在单调递增区间内即可得解；对于C，令结合正弦函数性质即可求解；对于D，根据正弦函数单调性令并求解即可得解.
【详解】对于A，由已知得最小正周期，又，
所以，故A正确；
对于B，因为，所以，
又因为，且由图可知在单调递增区间内，所以，故B正确；
对于C，由选项A和B得，令得，，
所以，故C错误；
对于D，令，解得，
所以当时，单调递减，故D正确.
故选：ABD.
10. 下列选项正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若．且，则
C.
D.
【正确答案】ABD
【分析】对选项A，由分子分母同除以求解判断；对选项B，利用两角和的余弦公式求解判断；对选项C，利用二倍角的正弦公式求解判断；对选项D，利用两角和的正切公式求解判断.
【详解】对选项A，分子分母同除以得，即，故A正确；
对选项B，∵，∴，
∴，
∵，∴，∴．故B正确；
对选项C，，
，故C错误；
对选项D，，
，故D正确．
故选：ABD.
11. 已知函数，若存在实数（）满足，则正确的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】BCD
【分析】画出的图象，根据图象可得的取值范围，再根据图象的局部对称性可得，且，故可判断各项的正误.
【详解】作出函数的图象，如图：
令，得或或，
由存在实数满足，
得直线与函数的图象有4个不同交点，由图象知，D正确；
由与关于对称，得，B正确；
由，得，
即，则，
整理得，C正确；
，由图象得，于是，
即，因此，A错误.
故选：BCD
关键点点睛：分段函数的零点问题，可先刻画其图象，根据图象的性质可得各零点的性质，结合基本不等式等考虑目标代数式的范围等.
三、填空题
12. 在平行四边形中，．设，请用表示_______．
【正确答案】
【分析】利用平面向量的线性运算计算.
【详解】
.
故答案为.
13. 若，则__________.
【正确答案】##0.28
【分析】令，代入，利用三角公式变形计算即可.
【详解】令，则，
所以
.
故答案为.
14. 近年来，淮安市依托地方资源优势，用风能等清洁能源替代传统能源，因地制宜实施新能源项目，在带来了较好经济效益的同时，助力了本地农户增收致富．目前利用风能发电的主要手段是风车发电．如图，风车由一座塔和三个叶片组成，每两个叶片之间的夹角均为，现有一座风车，塔高90米，叶片长40米．叶片按照逆时针方向匀速转动，并且每6秒旋转一圈，风车开始旋转时某叶片的一个端点P在风车的最低点（此时P离地面50米）．设点P转动t（秒）后离地面的距离为S（米），则S关于t的函数关系式为________，叶片旋转一圈内点P离地面的高度不低于70米的时长为________秒．

【正确答案】 ①. ②. 4
【分析】（1）由题意，根据物理意义，结合三角函数定义得，待定系数即可；
（2）解不等式即得.
【详解】（1）由题意，塔高即风车中心距地面的高度，风车半径，
风车转动一圈为秒，则角速度，
如图，以风车中心为坐标原点，以与地面平行的直线为轴，建立直角坐标系，
设时，风车开始旋转时某叶片的一个端点P在风车的最低点，设，
以为始边，为终边的角不妨取，
那么经过（秒）后，运动到点，
于是，以为始边，为终边的角为，
由三角函数定义知，
则，
所以.
（2）令，
所以,
所以.
当时，，
所以叶片旋转一圈内点P离地面的高度不低于70米的时长为4秒.
故；.

四、解答题
15. 已知，且均为锐角.
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求值.
【正确答案】（1）
（2）
（3）2
【分析】（1）直接由弦化切化成的方程即可得解.
（2）直接由二倍角公式、平方关系化成齐次式即可得解
（3）首先由平方关系结合角的范围得，结合两角差的正切公式即可得解.
【小问1详解】
由，可得，解得.
【小问2详解】
.
【小问3详解】
，
因为，所以，
又因为均为锐角，所以，而，
所以，故，
所以，
所以.
16. 已知函数的最小正周期为．
（1）求．
（2）在图中给定的平面直角坐标系中，画出函数在区间上的图象，并根据图象写出其在上的单调递减区间．
【正确答案】（1）
（2）图象见解析，
【分析】（1）根据周期得到，然后计算函数值即可；
（2）利用五点法画图，然后写单调区间即可.
【小问1详解】
由题意得，又，所以，，
则.
【小问2详解】
因为，所以，
列表如下：
画出函数在区间上的图象如下：
所以图象在上的单调递减区间为.
17. 已知函数为奇函数．且图象的相邻两对称轴间的距离为．
（1）将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求函数的值域．
（2）设，若恒成立，求实数c的最小值．
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）根据的性质得到，然后根据图象的平移变换得到，最后求值域即可；
（2）利用换元法得到的最大值，即可得到的范围.
【小问1详解】
,
因为为奇函数，所以，解得，
又，所以，
因为图象的相邻两对称轴间的距离为，所以的最小正周期为，
所以，解得，
所以，
由题意得，
当时，，则，
所以的值域为.
【小问2详解】
，
令，
则，
所以当时，取得最大值，最大值为，
因为恒成立，所以，
所以的最小值为.
18. 已知函数,的最小正周期为.
(1)求的单调增区间;
(2)方程在上有且只有一个解,求实数的取值范围;
(3)是否存在实数满足对任意,都存在,使得成立.若存在,求的取值范围;若不存在,说明理由.
【正确答案】(1);(2)或;(3)存在,.
【分析】
（1）利用降幂公式和辅助角公式化简得，再利用周期公式求得的值，从而得到的解析式，再利用整体代入求单调区间；
（2）方程;在上有且有一个解,转化为函数与函数只有一个交点；
（3）由(1)可知,则；实数满足对任意,都存在,使得成立，即成立，再将问题转化为恒成立问题.
【详解】(1)函数
∵最小正周期为.∴,∴.
那么的解析式
令得:
∴的单调增区间为.
(2)方程;在上有且有一个解,
转化为函数与函数只有一个交点.
∵,∴
因为函数在上增,在上减,
且，
∴或,所以或.
(3)由(1)可知,∴.
实数满足对任意,都存,
使得成立.
即成立
令
设,那么
∵,∴,
可得在上恒成立.
令,其对称轴，
∵上,
∴①当时,即,,解得;
②当,即时,,解得;
③当,即时,,解得;
综上可得,存在,可知的取值范围是.
本题考查三角恒等变换、三角函数的单调性、三角函数的图象、不等式的恒成立问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意换元法的应用.
19. 已知函数的图象与x轴的两个相邻交点之间的距离为，直线是的图象的一条对称轴.
（1）求函数的解析式；
（2）将图象上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象，若对于任意的，当时，恒成立，求实数m的最大值.
（3）若，方程存在4个不相等的实数根，求实数a的取值范围.
【正确答案】（1）
（2）
（3）或
【分析】（1）根据函数的图象性质，求解函数的解析式；
（2）首先求函数，利用函数单调性求参数的取值范围.
（3）先解方程，再根据方程有4个根，再根据交点个数求参.
【小问1详解】
由条件可知，周期，所以，又，得，
，因为，所以，
即函数；
【小问2详解】
将图象上所有的点向左平移个单位长度，，
若对于任意的，
当时，恒成立，
所以，单调递减，
单调递减，
所以，
所以,m的最大值为.
【小问3详解】
因为，
可得或，
当，设，
由条件转化为与的交点，
在上的图象恰有2个不同的交点，
方程存在4个不相等的实数根，
则与必有2个交点，
即在上的值域为时，函数与有2个交点，
则或，即或
方法点睛：先解方程，再根据方程有4个根，再根据交点个数结合给定范围值域求参.